初中几何十大模型-无水印

初中几何十大模型

模型，可理解为数学定理（培训辅导机构总结归纳出来的定理）。但是不是课本上出现的定理，故不能在证明题中直接使用其结论（需要证明一遍）。模型主要作用还是简化图形，为证明或者添加辅助线提供思路。 一、 中位线模型 多个中点构造中位线

【例】

①在Rt △ABC 中，F 为斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，且满足∠DFE=90°，AD=3，BE=4，求线段DE 长度．

②如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=

∠=°，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．

E

D

F

C

B

A

二、 角平分线模型

角平分线+垂线=等腰三角形

角平分线+垂线=等腰三角形

【例】如图所示，△

ABC 中，∠

A=60°，BD 、CE 是△ABC 的角平分

线，交于F 点，求证：DF=EF

三、 三垂直模型与弦图

【例】在平面直角坐标系中，A （0,3

），点B 的纵坐标为2，点C 的

纵坐标为0，当A 、B 、C 三点围成的等腰直角三角形时，求B 、C 坐标。

四、 手拉手模型

【例】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连

接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC

五、 倍长中线与婆罗摩笈多模型

倍长中线、倍长类中线、中点遇平行延长相交

条件：

1、两个等腰三角形

2、顶角相等

3、顶点重合

结论：

1、手相等

2、三角形全等

3、手的夹角相等

4、顶点连手的交点得平分

D

【例】如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、ACFG .

AD 为ABC ∆中线．

求证：AD EG ⊥．

六、 弦图与婆罗摩笈多模型

【例】如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、

ACFG ．过A 作AH BC ⊥于H

，AH 与EG 交于P ．求证：

①EP PG =，②2BC AP =．

七、 将军饮马模型

费马点

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。 这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

G

A

B

D

E

F

H P

1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

垂足三角形

锐角三角形三条高的垂足形成的三角形。

锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形的周长最短。

【例】在△ABC 中，∠A=45°，∠B=60°，AB=10，D 、E 、F 分别是

BC 、AC 、AB 上的点，求△DEF 的周长最小值.

八、 半角模型

B

【例】在正方形ABCD 中，∠EAF=∠ECF=45°，求证：①BE 与DF

平行或共线；②阴影部分面积相等

九、 边边角模型

如图，AC=AB ，BD=CE 得EF=DF

辅助线思路：

作垂线/平行线

【例】已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在

CD边上的P点处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．

①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；

（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；

（3）如图2，在(1)的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

十、截长补短模型

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。常用于证明不在同一条直线的几条线段的数量关系，形如a+b=c。

截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。截长常用的方法：1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短常用的方法：1.延长短边2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

【例】

①如图，△BDE 为等边三角形，A 在BE 延长线上，C 在BD 延长线上，且AD=AC ，求证：DE+DC=AE

②已知：如图，中，是外一点且．

求证：．

ABC △AB AC =D ABC △60ABD ACD ∠=∠=°BD CD AB +=

A

B

C

D