场论和张量初步
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1_场论与张量基础
2.张量表示法
张量表示法
张量表示法具有书写简洁，运算方便的优点。 在张量表示法中我们将坐标改写成 x1，x2，x3。 并引进以下 几种符号。 （1）ai 表示一个矢量， i 是自由指标，可取1，2，3，符号
a 可任取。
例如的 grad 张量表示法为
xi
18/72
第二节 张量
张量表示法
（2）约定求和法则。为书写简便，我们约定在同一
张量表示法
ijk
例如：
0 1
两个以上（含两个）下标相同 下标为偶排列或奇排列
a b ijk a j bk ak rota ijk x j
ijk ist js kt jt ks
20/72
第二节 张量
3. 二阶张量
二阶张量性质
(1)二阶张量的主值、主轴及不变量
场论中的奥高公式可以推广到张量中去。设 P 是 n 阶张量，则张量情形下的奥高公式可写为：
rotn a lim
S 0
a d r
L
S
11/72
第一节 场论
8.无旋场及其性质
环量与旋度
rota 0 的矢量场称为无旋场。
无旋场最重要的性质是无旋场和位势场的等价性。
即若 a 是位势场，则 a 必为无旋场。
a grad rota 0
反之，若矢量 a 是无旋场，则 a 必为位势场。
（ 1） P的反对称性不因坐标转化而改变；
（2）反对称张量的三个分量 1 ,2 , 3 组成一矢量 ；
（3）反对称张量 P 和矢量 b 的内积等于矢量 和 b 的矢积，即:
P b aij bj ijk b jk ikjkb j b
张量表示法
张量表示法具有书写简洁，运算方便的优点。 在张量表示法中我们将坐标改写成 x1，x2，x3。 并引进以下 几种符号。 （1）ai 表示一个矢量， i 是自由指标，可取1，2，3，符号
a 可任取。
例如的 grad 张量表示法为
xi
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第二节 张量
张量表示法
（2）约定求和法则。为书写简便，我们约定在同一
张量表示法
ijk
例如：
0 1
两个以上（含两个）下标相同 下标为偶排列或奇排列
a b ijk a j bk ak rota ijk x j
ijk ist js kt jt ks
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第二节 张量
3. 二阶张量
二阶张量性质
(1)二阶张量的主值、主轴及不变量
场论中的奥高公式可以推广到张量中去。设 P 是 n 阶张量，则张量情形下的奥高公式可写为：
rotn a lim
S 0
a d r
L
S
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第一节 场论
8.无旋场及其性质
环量与旋度
rota 0 的矢量场称为无旋场。
无旋场最重要的性质是无旋场和位势场的等价性。
即若 a 是位势场，则 a 必为无旋场。
a grad rota 0
反之，若矢量 a 是无旋场，则 a 必为位势场。
（ 1） P的反对称性不因坐标转化而改变；
（2）反对称张量的三个分量 1 ,2 , 3 组成一矢量 ；
（3）反对称张量 P 和矢量 b 的内积等于矢量 和 b 的矢积，即:
P b aij bj ijk b jk ikjkb j b
场论与张量
lim
S 0
L
a dr S a dr S
定义矢量a的旋度矢量rota在n方向的投影为(微分形式的斯托克斯公式)：
rot a lim
n S 0
L
1.6 矢量的环量、旋度、斯托克斯定理
证明上述极限存在。设矢量a的三个分量具有连续一级偏导数，利用斯托克斯 公式，有：
L
a dr
an a n ax cos(n, x) a y cos(n, y) az cos(n, z )
为a在法线方向的投影，定义矢量a通过面积元dS的通量为andS，则沿曲面S积 分，可得矢量a通过S面的通量：
dS dSn
S
an dS
定义面积矢量dS是大小为dS、方向为法线正方向的量，则通量表达式可表示为如 下形式：
S1 S
•
S1
an dS an dS
S
应该指出，该性质仅在特定的区域内成立，在此区域内，任一球面形曲面不 超出此区域而缩成一点。
1.6 矢量的环量、旋度、斯托克斯定理
给定一矢量场a，在场内任取一曲线L，作线积分：
a dr (a dx a dy a dz)
L L x y z
1.2 场的几何表示
例子：TTU模型屋盖的平均风压系数分布等值线图。
1.2 场的几何表示
现在研究矢量场的几何表示。包括方向和大小，更为复杂。 矢量的大小是一个标量，可以采用等位面的形式表示。 矢量的方向可采用矢量线来表示。矢量线的定义：线上每一点的切线方向与 该点矢量方向重合。 作出同一时刻通过场内任意一点M的矢量线(绘图表示)。 下面研究矢量线的方程。设dr是矢量线的切向元素，根据矢量线的定义，有：
高等流体力学之第1讲 —— 场论与张量初步
高等流体与气体动力学
Advanced Fluid and Gas Dynamics
大连理工大学能源与动力学院
主讲教师：刘宏升
二、怎样学习流体力学
1 透过数学公式抓物理本质 三大规律 守恒律 本构律 源律
2 结合实际问题（学位论文）
3 及时了解学科发展新动向
1
4
前言
一、关于流体力学
1 古老而年轻的科学 2 涉及众多学科与工程的基础科学 3 三大分支
练习题：设 u = f ( x , y , z ) ∈ C 2 , 求 grad u和 div(grad u ).
解： gradu = { f x , f y , f z }, div(gradu) = f xx + f yy + f zz .
散度定理——高斯定理
∫∫ S
An
d
若定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则 A·ds = An ds；若把A理解为流体的流速，则Ands就 表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。
对于闭曲面S，取其外侧为正，则： 表示A从S流出的通量.
ψ > 0 时，表示有净流量流出，存在流体源； ψ < 0 时，表示有净流量流入，存在流体负源； ψ = 0 时，表示没有净流量流出，无净流体源。
理论流体力学 实验流体力学 计算流体力学
2
三、补充参考书
1. 吴望一：流体力学(上，下）,北京大学出版社 2. 张兆顺等:流体力学(第二版),清华大学出版社 3. Zacrow,Hoffman: Gas dynamics Vol.1,2 4. 邹高万等：粘性流体力学，国防工业出版社 5. 王新月等：气体动力学基础，西北工业大学出版社
∂x ∂y ∂z 在点 M (x, y, z) 的散度。记为 :
Advanced Fluid and Gas Dynamics
大连理工大学能源与动力学院
主讲教师：刘宏升
二、怎样学习流体力学
1 透过数学公式抓物理本质 三大规律 守恒律 本构律 源律
2 结合实际问题（学位论文）
3 及时了解学科发展新动向
1
4
前言
一、关于流体力学
1 古老而年轻的科学 2 涉及众多学科与工程的基础科学 3 三大分支
练习题：设 u = f ( x , y , z ) ∈ C 2 , 求 grad u和 div(grad u ).
解： gradu = { f x , f y , f z }, div(gradu) = f xx + f yy + f zz .
散度定理——高斯定理
∫∫ S
An
d
若定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则 A·ds = An ds；若把A理解为流体的流速，则Ands就 表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。
对于闭曲面S，取其外侧为正，则： 表示A从S流出的通量.
ψ > 0 时，表示有净流量流出，存在流体源； ψ < 0 时，表示有净流量流入，存在流体负源； ψ = 0 时，表示没有净流量流出，无净流体源。
理论流体力学 实验流体力学 计算流体力学
2
三、补充参考书
1. 吴望一：流体力学(上，下）,北京大学出版社 2. 张兆顺等:流体力学(第二版),清华大学出版社 3. Zacrow,Hoffman: Gas dynamics Vol.1,2 4. 邹高万等：粘性流体力学，国防工业出版社 5. 王新月等：气体动力学基础，西北工业大学出版社
∂x ∂y ∂z 在点 M (x, y, z) 的散度。记为 :
张量与场论
3
标量场的方向导数和梯度
一、方向导数
设 M 0 为标量场 u uM 中的一点，从 M 0 出发引一条
射线 l ，在 l 上点 M 0 的邻近取一动点 M ，记 M0M
．若当 M M0 时比式 u uM u(M 0 ) 的极限存在，则
M0M
称它为函数 l u uM 在点 M 0 处沿 方向的方
29
（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算 张量乘积 设 A aij 、B bkl ，分量相乘，
cijkl aijbkl
cijkl 是 4 阶张量。 可以证明一个 m 阶张量和一个 n 阶张量的乘积是 m + n 阶张量。
30
（2）笛卡尔张量
共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
对称张量
若二阶张量分量 sij 之间满足
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
x1 a11x1 a12 x2 a13x3
x2 a21x1 a22 x2 a23x3
x3 a31x1 a32 x2 a33x3
在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
i, j, k 奇排列， 213，321，132
23
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk
ijk 有以下重要性质：
ijk ist js kt jt ks
ijk ijt 2 kt
ijk ijt jjkt jtkj 3kt kt 2kt
ijk ijk 2 kk 6
13
笛卡尔张量
14
§3 笛卡尔张量
一、张量
坐标旋转时能自身转换而保持不变的量，统称为张量
在三维空间和选定的坐标系中，需要用3n个数来 定义的量称为n阶张量
标量场的方向导数和梯度
一、方向导数
设 M 0 为标量场 u uM 中的一点，从 M 0 出发引一条
射线 l ，在 l 上点 M 0 的邻近取一动点 M ，记 M0M
．若当 M M0 时比式 u uM u(M 0 ) 的极限存在，则
M0M
称它为函数 l u uM 在点 M 0 处沿 方向的方
29
（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算 张量乘积 设 A aij 、B bkl ，分量相乘，
cijkl aijbkl
cijkl 是 4 阶张量。 可以证明一个 m 阶张量和一个 n 阶张量的乘积是 m + n 阶张量。
30
（2）笛卡尔张量
共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
对称张量
若二阶张量分量 sij 之间满足
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
x1 a11x1 a12 x2 a13x3
x2 a21x1 a22 x2 a23x3
x3 a31x1 a32 x2 a33x3
在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
i, j, k 奇排列， 213，321，132
23
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk
ijk 有以下重要性质：
ijk ist js kt jt ks
ijk ijt 2 kt
ijk ijt jjkt jtkj 3kt kt 2kt
ijk ijk 2 kk 6
13
笛卡尔张量
14
§3 笛卡尔张量
一、张量
坐标旋转时能自身转换而保持不变的量，统称为张量
在三维空间和选定的坐标系中，需要用3n个数来 定义的量称为n阶张量
预备知识-场论与张量基础
张量基础知识
张量的简单例子 张量的数学定义 对称张量的性质 张量与对称性的关系
张量的简单例子-电导率
对于均匀导体,电流密度J与电场强度E同向,其大小成比例关系-欧姆 定律
J=sE 或 Ji=sEi (i=1,2,3)。此处，s为电导率，标量。
对于晶体而言，J与E将不再同向。欧姆定律变为
[定理] 任何一个张量总可以分解为一个对称张量和一个反对 称张量之和，并且分解的方法是唯一的。
共轭张量：若Tij(i,j=1,2,3)为张量，则可以证明， Tji(i,j=1,2,3) 也为张量。我们称它们互为共轭张量。
T11 T12 T13 T T21 T22 T23
T31 T32 T33
p
,je
, j
j1 i 1
j1
比较两边3系数,得
p
, j
a ji pi
(4)
i1
矢量的数学定义
同样可得
3
pi
a ij
p
, j
(5)
i 1
矢量的数学定义:若有一组数p1, p2, p3, 当坐标系变换后变为p1’, p2’, p3’, 并且满足(4)和(5)式的关系,则这一组数构成一个矢量。
T11 T21 T31
(13)
Tc T12 T22 T32
T13 T23 T33
张量分解定理之证明
设有一个张量T,我们假定它可以分解为对称张量S与反对 称张量A之和。即
T=S+A
(14)
两边取共轭，于是 Tc=Sc+Ac
而S=Sc, Ac=-Ac,所以
Tc=S-A
(15)
由式(14)与(15)解得
3
ei, aij ej
1 场论与张量基本知识
（3） 矢量的代数运算
1）矢量的加减
（a）矢量的加法
c a b
平行四边形法则 性质： 满足交换律： 满足结合律：
a b b a
(a b ) c a (b c )
（3） 矢量的代数运算
（b）减法为加法的逆运算
若从矢量 a 中减去矢量 b ，则可将矢量 a 加
a1b1 a 2 b2 a3b3 a1 a 2 a3
2 2 2
b1 b2 b3
2
2
2
（3） 矢量的代数运算
（c）、矢量的叉积（矢性积、矢量积） c a b
两矢量的叉积是一个矢量
a 模：absin(a, b ) ——以 , b 为棱边的平行四边形面积
、 若 a 、 b 、 c 为单位矢量， a 、 c u3 ， u1 b u2
则 d mu1 nu2 pu3 上式各项称为矢量 d 的可分解分量
u 1 、u 2 、u3 正交，则上式各项称为矢量 d 的投影分量 若 若 d 为零矢量 ，d ma nb pc 0 ，则矢量 a 、 b 、c 共面，退化为： c ma nb
rj rj rj rj
关于矢量的投影有下列基本定理
（3） 矢量的代数运算
三维笛卡尔坐标系中，任一矢量 a 可写为 a ax i a y j az k 其中， ax , a y , az ——矢量 a 在坐标轴 x,y,z上的投影 上述表达式称为矢量 a 的投影式
流体的温度、密度、浓度等均是标量。
只有大小，没有方向
第03讲预备知识-场论1
e3
顺时针为负
置换符号说明： i、j 、k取值不同值时， εijk取1 或-1（6个），其余分量（21个）为零。即：
e2 e1 逆时针为正
ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1
ε 132 = ε 213 = ε 321 = −1
置换法则：任意2个自由指标对换后差一个负号 正负取值规律：按右图中，逆时针取值为正，顺时针取值为负。
a = ax i + a y j + az k
任意一点M的矢径 矢径微分
r = xi + yj + z k
M z y o x
a
dr = dxi + dyj + dzk
dr × a = 0
r
叉积为零：
这就是向量线的微分方程(Differential Equation) 在直角坐标系(System Of Rectangular Coordinates)当中表示为
可以列表表示：
e1
′ e1
e2
e3
α 11 α12 α13 α 21 α22 α23
α 31 α 32 α 33
ei′ = α ij e j ei = α ji e ′j
e′ 2
′ e3
上述关系可简写为：
同理，老坐标的单位向量可用新坐标的单位向量表示：
根据上述单位向量的性质和关系可导出：
ei ⋅ e j = e′ ⋅ e′j i
a ⋅ bc = (a ⋅ b)c = (b ⋅ a )c = c (a ⋅ b)
ab ⋅ cd = a (b ⋅ c )d = (b ⋅ c )ad = ad (c ⋅ b) c ⋅ ab ⋅ d = (c ⋅ a )(b ⋅ d ) = (b ⋅ d )(c ⋅ a )
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步
ax ay az
10.01.2021
18
所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
15
二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
10.01.2021
16
二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
10.01.2021
12
数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
10.01.2021
③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
10.01.2021
25
梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
10.01.2021
26
四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
教材张量分析及场论
张量分析与场论 第一章 张量代数任何物理现象的发展都是按照自身的规律进行的，这是客观的存在，而不以人们的意志为转移。
但是，在研究、分析这些物理现象时，采用什么样的方法则是由人们的意志决定的。
无数事实证明，研究方法的选取与当时人们对客观事物的认识水平有关，而研究方法的好坏则直接关系到求解问题的繁简程度。
由于物理量的分量与坐标的选择有关，所以由物理量的分量表示的方程，其形式就必然与坐标系的选取有关。
在建立基本方程时，每选用一种坐标系都要作一些繁琐的推导。
张量分析能以简洁的表达式，清晰的推导过程，有效地描述复杂问题的本质，并突出现象的几何和物理特点。
张量分析成功应用的根本在于由它表示的方程具有坐标变换下不变的性质，即由张量表示的方程，其形式不随坐标的选择而变化。
第一章中将着重介绍直角坐标系中的张量代数，第二章介绍正交曲线坐标系的张量分析及场论，作为进一步的学习的基础，在第三章还对一般曲线坐标系中的张量做了简单的介绍。
1.1点积、矢量分量及记号ij δ我们在以前的学习中已熟悉了用箭头表示的矢量，如位移u ρ，力F ρ等。
这些量满足平行四边形运算的矢量加法法则，即设u ρ，v ρ为矢量，则v u w ρρρ+=的运算如右图所示。
在理论力学中我们还知道，如u ρ表示某一点的位移，F ρ表示作用在该点上的力，则该力对物体质点所做的功为 其中F ρ、|u ρ|分别表示矢量F ρ、u ρ的大小，θ表示矢量F ρ与矢量u ρ之间的夹角，这就定义了一种称为点积的运算。
点积的定义：设u ρ，v ρ为两个任意矢量，设|u ρ|，|v ρ|分别为其大小（也称为模）。
θ为这两个矢量之间的夹角，则u ρ与v ρ的点积为由点积定义可知，点积具有交换律，即u ρ•v ρ=v ρ•u ρ。
可以用几何的方法证明点积也具有分配率，即如w ρ=u ρ+v ρ，则或可写为如果0v u =⋅ρρ则称u ρ垂直于v ρ，记为u ρ⊥v ρ。
由点积的定义可知，2u u u ρρρ=⋅。
流体力学-第一讲,场论与张量分析初步
x2 y2
方向导数
f l
li m 0 f(xx,yy)f(x,y)
方向 f导 fc 数 o sfsin
运动学 动力学
以实际流体为主
24.11.2020
h
2
主要内容：
第一章 场论与张量分析初步
第二章 流体运动学
第三章 流体力学基本方程组
第四章 粘性流动基础
第五章 Navier-Stokes 方程的解
第六章 边界层理论
第七章 流体的旋涡运动
第八章 湍流理论
24.11.2020
h
3
第一章 场论与张量分析初步
h
8
矢量的标量积(数量积)（点积）(内积)：
功:当力F作用在质点上使之移动一无限小位移 ds,此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以
位移的大小.
a b a b co a ,b s
coa ,sb axbxa yb yazbz ab
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
cx cy cz
a a b b c c c a c a b b b c a
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
24.11.2020
h
13
数量三重积几何意义：作为平行六面体的体积 。
a b c
c a b = 0 ， 是 a ,b ,c 共 面 的 充 分 条 件
矢量线的描述是从欧拉法引出
矢量线方程：
设
dr
是矢量线的切向元素，
则据矢量线的定义有
a d r0
直角坐标：
d r id x jd k y d z a ia x ja y k a z
则有：
第一章-场论及张量初步分析
全国范围内温度场分布
速度场
速度场
速度场
电场
磁场
均匀场：同一时刻场内各点 函数值都相等
定常场：场内函数值不随时 间t改变
均匀场
定常场
1.2 场的几何表示
等高线
等高线
根据等高线的相对位置、疏密程度 看出标量函数-高度的变化状况
矢量场的几何表示
矢量的大小是一个标量，可以用等位 面的概念来几何表示，矢量的方向则 采用矢量线来表示。
rotxa
az y
a y z
rot y a
ax z
az x
rot z a
a y x
ax y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系 中值公式：面积分与函数值的关系
i jk
rota
x y z
ax ay az
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
矢量线：线上每一点的切线方向与该 点的矢量方向重合
dr
r r
根据矢量定义有： a dr 0
直角坐标形式：
1.3 梯度-标量场不均匀性的量度
对于给定标量场 (r,t)，用它的梯度
来表明在任一时刻标量场中每点邻域 内的函数变化。
函数在M点上沿曲线S方 向的方向导数：
表明函数φ(r,t)在M点上 沿曲线S方向的变化率
p31
p13
1 2
p23
p32
0
二阶反对称张量
2 1
0
张量分解定理
二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张 量和一个反对称张量之和。
P
1 2
P
Pc
1 2
P
Pc
1第一章-场论与张量基本知识
(r), a(r)
1.1 标量、矢量、场
场的几何表示
标量场可用函数等值面（线）来表示。 可直观看出函数值的大小分布，以及变 化快慢
矢量场可用矢量线来表示。 任一点的矢量方向可由矢量线的切线方 向定出；也可以从矢量线的疏密程度估 计矢量在各点的大小。
1.2 标量场的梯度
方向导数（Directional Gradient）
1. 如果一个方程式或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则 称之为自由指标，自由指标在表达式或方程的每一项中必须只 出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次， 则称之为哑指标，它表示从1到3求和。哑指标在其他任何项中 可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程中的一项中，一种指标出现的次数多 于两次，则是错误的。
2 3
2
ij ij ij ij
i 1 j 1
3
3
1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
1.4 张量表示法
自由指标： 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
i j k x y z
是一个矢性微分算子，即在运算中具有矢量和微分的双重性质， 其运算规则是：
u u u u i j k x y z
Ay Ax A A i j z k x y z
Az Ay Ax Az Ay Ax A y z i z x j x y k
2 ( ) ( ),ij xi x j
uk ,ij
2uk xi x j
1.5 坐标变换与张量定义
高等流体力学—场论及张量初步67页PPT
Than心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
高等流体力学—场论及张量 初步
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
高等流体力学—场论及张量 初步
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
第一章场论及张量初步知识分享
证明：其他方向的方向导数可以由过M点的法 线方向上的方向导数来表示
lim(M1)(M)
n MM 1 0
MM 1
lim (M)(M)
s M M 0 M M
当M1无限接近M时，近 似为过M1点的切线
(M)(M 1)
M1 M M M co n,s s)(
MM MM1 cosn(,s)
(M)(M 1)
对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一点M， 围绕M取无限小封闭曲线L，张于L上的曲面 为S，按右手螺旋法则定义S的法线方向n。
速度场
速度场
电场
磁场
均匀场：同一时刻场内各点 函数值都相等
定常场：场内函数值不随时 间t改变
均匀场
定常场
1.1 场的几何表示
等高线
等高线
根据等高线的相对位置、疏密程度 看出标量函数-高度的变化状况
矢量场的几何表示
矢量的大小是一个标量，可以用等位 面的概念来几何表示，矢量的方向则 采用矢量线来表示。
V a xx a yy a zz d V V a xx a yy a zz Q
函数在体积V上的积分
在积分体上Q点处的函数值
注意：Q点是积分体上的一个确定点
sandSVaxx
ay y
az z
Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
sandSVaxx
ay y
az z
Q
它来描述M点邻域内函数的变化状况，是标量 场不均匀性的量度。
g rad n
n
其他方向的方向导数可以由过M点的梯度 的大小来表示
g rad n
n
cosn,(s)
s
n
s•grad
梯度在直角坐标系中的表达式
场论和张量初步
w ∫∫ ρV ⋅ dS
Σ
K
K =− ∂ρ =单位体积空间内的质量变化率的负值， ∂t
δτ
即单位时间从单位体积空间流出的质量。为精确表述空间任意一点 M 0 处的质量变化率，可
对 δτ 取极限， lim
w ∫∫ ρV ⋅ dS
Σ
K
K =−
Σ→ M 0
δτ
K ∂ρ 。可见 div ( ρV ) 表示单位时间内从单位空间体积表 ∂t
δ ls
K
K M ( x + δ x, y + δ y , z + δ z , t ) ，密度沿方向 s 上的
变化率为
δ l →0
M ( x, y , z )
lim
ρ ( x + δ x, y + δ y, z + δ z , t ) − ρ ( x, y, z , t ) ∂ρ . = δl ∂l
K K 磁通量 w B ∫∫ ⋅ dS = 0
Σ
一般地，对于任意矢量场 m ，定义其散度 div m = lim 散度是标量。 3）散度计算公式（直角坐标系）
K
K
K K m w ∫∫ ⋅ dS
Σ
Σ→ M 0
Hale Waihona Puke τ。以体积通量为例。 以 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 为中心取正六面体形状的闭合曲面 Σ ， 边长分别为
⎛ ∂u ⎜ ∂x K ⎛ δ u ⎞ ⎛ gradu ⋅ δ r ⎞ ⎜ K ⎟ ⎜ ∂v ⎜ ⎟ ⎜ δ δ = ⋅ =⎜ v gradv r ⎜ ⎟ ⎜ K⎟ ⎜ δ w ⎟ ⎜ gradw ⋅ δ r ⎟ ⎜ ∂x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜∂ w ⎜ ∂x ⎝ ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y ∂u ⎞ ⎟ ∂z ⎟ ⎛δ x ⎞ ∂v ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ δ y⎟ ∂z ⎟ ⎜ ⎜δ z ⎟ ⎝ ⎠ ∂w ⎟ ∂z ⎟ ⎠
高等流体力学—场论及张量初步
diva lim
Vz diva lim V 0 x y z Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
a x a y a z diva lim V 0 x y z Q
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系 中值公式：面积分与函数值的关系
az a y rotx a y z a x a z rot y a z x a y ax rotz a x y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
grad i j k x y x
dr dxi dyj dzk
梯度的主要性质
grad i j k x y z
dr dxi dyj dzk
dr grad
dx dy dz x y z
an：矢量a在法线方向的投影 an dS:矢量a通过面积元dS的通量
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
在整个曲面上积分，得矢量a通过S面的通量
a dS n
s
实质上相当于函数的面积分
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
当S面为封闭曲面时，通量为：
a dS n
s
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
S 0
a dr
L
S
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系
a dr a dx a dy a dz x y z
L L
a z a y cos(n, x) s z y
i rota x ax j y ay k i z x az x j y y k 0 z z
Vz diva lim V 0 x y z Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
a x a y a z diva lim V 0 x y z Q
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系 中值公式：面积分与函数值的关系
az a y rotx a y z a x a z rot y a z x a y ax rotz a x y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
grad i j k x y x
dr dxi dyj dzk
梯度的主要性质
grad i j k x y z
dr dxi dyj dzk
dr grad
dx dy dz x y z
an：矢量a在法线方向的投影 an dS:矢量a通过面积元dS的通量
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
在整个曲面上积分，得矢量a通过S面的通量
a dS n
s
实质上相当于函数的面积分
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
当S面为封闭曲面时，通量为：
a dS n
s
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
S 0
a dr
L
S
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系
a dr a dx a dy a dz x y z
L L
a z a y cos(n, x) s z y
i rota x ax j y ay k i z x az x j y y k 0 z z
复杂流体力学资料
s MM '0
MM '
MM1 MM 'cos(n, s)
由此可证， cos(n, s)
s n
n
s
M1
M’
C1
M
C
二、梯度
大小为 方向为n的矢量称为标量函数的梯度。
n
grad n
n
梯度描写了M点邻域内函数的变化状况，是标量场不均匀性的 量度。
在直角坐标系中的表达式为：
grad i j k
MM '
过M点可以作无穷多个方向，每个方
向都有对应的方向导数，且都可以用
过M点的等位面法线方向n上的方向导
数 及方向n，s来表示。
n
cos(n, s)
s n
n
s
M1
M’
C1
M
C
证明：过M点作等位面
(r) (M ) C
lim (M1) (M )
n MM10
MM1
lim (M ') (M )
为某一标量函数的梯度，即 a grad L
例 题:计算仅与矢径大小r有关的标量函数 (r) 的梯度 grad 。
(1)利用性质,标量函数 (r) 的等位面是以坐标原点为心的 球面，而球面的法线方向，即矢径r的方向，故 grad 的方
向就是矢径r的方向；其次 grad的大小是
'(r)
r
于是
第二章 场论和张量初步
§2－1 矢量和标量的区别
一、概念的区别
在选定测量单位以后，仅需用数字表示大小的量叫标量； 在选定测量单位后，除用数字表示其大小外，还需用一定的方向才能说 明性质，叫矢量。 二、运算法则区别 标量运算服从代数运算法则。 矢量的运算要遵循平行四边形法则或三角形法则。矢量常用带有箭头 的直线段表示。线段的长度代表矢量大小，箭头代表矢量的方向。 三、正负号区别 矢量正负号：在选定一个正方向的前提下，矢量的正负号实质上表示矢 量的方向。若矢量为正，表示该矢量跟选定正方向相同；矢量为负表示 跟选定正方向相反。 标量正负号：虽然标量无方向，但有的标量也存在正、负号问题。标 量常见的有以下几种类型：
第一章 场论和张量初步
第一章 场论和张量初步1.1 场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。
反之为不均匀场。
定常场：场内函数值不依赖于时间。
反之为不定常场。
1.2场的几何表示标量场：等位线。
矢量场：矢量线的微分方程：(,,,)(,,,)(,,,)x y z dx dy dza x y z t a x y z t a x y z t ==积分，将t 看成参数，即得矢量线的分析表达式。
1.3梯度——标量场不均匀性的量度梯度：大小为n ϕ∂∂，方向为n ，的矢量称为标量函数ϕ的梯度，以grad n n ϕϕ∂=∂表之。
在s 方向上的方向导数等于梯度矢量在s 方向上的投影。
梯度grad ϕ在直角坐标系中的表达式为grad i j k x y z ϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂总结起来，梯度的主要性质是：1）梯度grad ϕ描写了场内任一点M 领域内函数ϕ的变化状况，它是标量场不均匀性的量度。
2）梯度grad ϕ的方向与等位面的法线重合，且指向ϕ增长的方向，大小是n 方向上的方向导数n ϕ∂∂；3）梯度矢量grad ϕ在任一方向s 上的投影等于该方向的方向导数；4）梯度grad ϕ的方向，即等位线的法线方向是函数ϕ变化最快的方向。
定理1 梯度grad ϕ满足关系式d dr grad ϕϕ=∙定理2 若a grad ϕ=，且ϕ是矢径r 的单值函数，则沿任一封闭曲线L 的线积分La dr⋅⎰等于零，反之，若矢量a 沿任一封闭曲线L 的线积分La 0dr ⋅=⎰则矢量a 必为某一标量函数ϕ的梯度。
例：计算仅与矢径大小r 有关的标量函数ϕ（r ）的梯度ϕgrad 。
I ）利用性质（2），标量函数=ϕϕ（r ）的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径r 的方向，故ϕgrad 的方向就是矢径r 的方向其次的大小是=r r ϕϕ∂∂’（）于是rii ）利用性质（5），显然x d r dr x ϕϕ∂∂=∂∂，d r y dr y ϕϕ∂∂=∂∂，z d rdr z ϕϕ∂∂=∂∂因222r x y z =++故r x x r ∂=∂，r y y r ∂=∂，r z z r ∂=∂于是x d x r dr ϕϕ∂=∂，y d y r dr ϕϕ∂=∂，z z d r dr ϕϕ∂=∂而=r r xi yj zk d grad ij k x y z r dr ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂++∂=++==∂∂∂∂’（）iii ）利用定理1，r r dr rdrrϕϕϕ=’’（）d (r)=（）因2r r r ⋅=微分得r dr rdr ⋅=于是r d r drrϕϕ=⋅’（）根据定理1r最后我们指出，写成a grad ϕ=的矢量场亦称位势场，ϕ称为位势函数。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。