2019年北京初三数学汇编 代数综合

1

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y ＝mx 2

－4mx ＋4m －2 的顶点为M

（1）顶点M 的坐标为_______ __

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 若MN ∥y 轴且MN = 2

①点N 的坐标为_____________

②过点N 作y 轴的垂线l ，若直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，该抛物线在P 、Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m 的取值范围

2

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+3y ax bx a =+过点A （-1，0）

（1）求抛物线的对称轴

（2）直线4y x =+与y 轴交于点B ，与该抛物线对称轴交于点C ，如果该抛物线与线段BC 有交点，结合函数的图象，求a 的取值范围

3

在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：224844y x ax a =-+-，(1,0),(,0)A N n -

（1）当1a =时

①求抛物线G 与x 轴的交点坐标 ②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围

（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围

4

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax ax c =++（其中a 、c 为常数，且a ＜0）与x 轴交于点A ()3,0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4

（1）求抛物线的表达式

（2）求CAB ∠的正切值

（3）如果点P 是x 轴上的一点，且ABP CAO ∠=∠，直接写出点P 的坐标

5

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2

40y ax ax m a =-+≠与x 轴的交点为A 、B ，（点A 在点B 的左侧），且AB =2 （1）求抛物线的对称轴及m 的值(用含字母a 的代数式表示)

（2）若抛物线()2

40y ax ax m a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，求a 的取值范围 （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点

若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围

6

在平面直角坐标系xOy 中，点()4,2A --，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B

（1）直接写出点B 的坐标

（2）若抛物线2

y x bx c =-++经过点A ,B ，求抛物线的表达式

（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线2y x =+上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++经过点A （0，2），B （3，4-）

（1）求该抛物线的函数表达式及对称轴

（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），如果直线CD 与图象G 有两个公共点，结合函数的图象，直接写出点D 纵坐标t 的取值范围

8

在平面直角坐标系中xoy 中，抛物线()()02212

≠--+=a x a ax y 与y 轴交于点C ，当a=1时，该抛物线与x 轴的两个交点为A ，B （点A 在点B 左侧）

（1）求点A ，B ，C 的坐标

（2）若该抛物线与线段AB 总有两个公共点，结合函数的图像，求a 得取值范围

9

在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线a ax ax y 342

+-= （1）求抛物线的对称轴

（2）当a >0 时，设抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ，若△ABC 为等边三角形，求a 的值

（3）过T （0，t ）（其中21≤≤-t ）且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于M ，N 两点. 若对于满足条件的任意t 值，线段 MN 的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a 的取值范围

已知抛物线()m x m x y -+-+-=652

（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点

（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 得取值范围

（3）设抛物线()m x m x y -+-+-=652与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线x y -=的对称点

恰好是点M ，求m 的值

11

在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c bx x y ++-=2

经过点A ，B ，C ，已知A （-1,0）C （0,3） （1）求抛物线的表达式

（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D ，当BCD ∆的面积最大时，求点P 的坐标

（3）如图2，抛物线顶点为E ，x EF ⊥轴于F 点，N 是线段EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴上一动点，若090=∠MNC ，

直接写出实数m 的取值范围

在平面直角坐标系xoy 中，抛物线的表达式为m m mx x y 22422

2+-+-=，线段AB 的两个端点分别为A （1,2）B （3,2）

（1）若抛物线经过原点，求出m 的值

（2）求抛物线顶点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）

（3）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图像，求出m 的取值范围

13

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2

+bx +3（a ≠0）经过（1,0），且与y 轴交于点C

（1）直接写出点C 的坐标

（2）求a ,b 的数量关系

（3）点D （t ，3）是抛物线y =ax 2+bx +3上一点（点D 不与点C 重合）

①当t =3时，求抛物线的表达式

②当3