圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】

圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量的结合

一、PB AP λ=

【2004全国1理21】设双曲线C ：1x 2

22=-y a

（a ＞0）与直线l ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ．设直

线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 12

5

=

．求a 的值． 【解析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （0，1）

联立⎪⎩

⎪⎨⎧=+=-1x 1x 2

22y y a 整理得（1-2a ）2

x +22a x-22a =0.

又因为PB PA 125=，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1(125)1(125x 2121y y x 构造两根之和与两根之积得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=•=+②

x 125①1217x 2221221x x x x 由②①2消去

x 2得2

1221)x x x x +（=60289

，再由韦达定理得2

21a 2a -=60289，解得a=1317.

【2014四川理】已知3

x 2

2

y -=1（x>1）设直线y=﹣2x+m 与y 轴交于点P ，与C 相交于点Q 、R ，且|PQ|＜

|PR|，求

PQ

PR 的取值范围．

【解析】设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），

联立⎩⎨⎧+-==--m x y y 203x 32

2

整理得 2x +4mx-2m +3=0.因为直线与双曲线的右支相交，所以⎪⎩⎪⎨⎧>•>+>∆0

0x 0

2

121x x x 解得m>1.

又因为x ≠1，所以m ≠2.则可设PQ PR

=12x x =1

2

x x =λ（λ>1），则⎩⎨⎧=•+=+②

x ①)1(x 2

221221λλx x x x ，利用②①2

消去x 2

得21221)x x x x +（=λλ21）（+，再利用韦达定理得2

12

21)x x x x +（=316m 22+m ；316m 22+m =λλ2

1）（+，于是

316m 22+m ）

（），（16,764

7644⋃∈，解得1<λ<7或7<λ<7+43，故PQ

PR 的取值范围是（1,7）⋃（7，7+43）

【2012四川文21】 已知C:4

x 2

2

y -=1（x ≠1且x ≠-1）设直线(0)y x m m =+>与y 轴交于点P ，与轨

迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||

||

PR PQ 的取值范围。

【解析】解法一：设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），

联立⎩

⎨⎧+==--m x y y 04x 422整理得 32x -2mx-2m -4=0.则可设PQ PR =12x x =12-x x =λ（λ>1），即x 2=-λx 1,此时

△=（-2m ）2

-4x3(-m 2

-4)=16m 2

+48>0,而当x=1或x=-1为方程 的根时，m 的值为-1或1.

结合题设可知m>0且m ≠1.则⎩⎨⎧=•=+②x -①)-1(x 2

221221λλx x x x ，利用②①2消去x 2得21221)x x x x +（=λλ--12

）

（，再利用韦达定理得2

12

21)x x x x +（=12-3-4m 22m ；12-3-4m 22m =λλ--12

）（，，于是12-3-4m 22m ）（），（0,154-154-34-⋃∈，解得1<

λ<

35或35<λ<3，故PQ

PR 的取值范围是（1,35）⋃（35

， 3）. 解法二： 由⎩⎨⎧=--+=0

442

2y x m x y 消去y ，可得3x 2-2mx-m 2

-4=0. 其判别式∆=（-2m)2

－4×3（-m 2

-4）=16m 2

+48>0①

而当x=1或x=-1为方程 的根时，m 的值为-1或1. 结合题设（m>0）可知，m>0，且m ≠1

设Q 、R 的坐标分别为（X Q ,Y Q ）,(X R ,Y R ),则为方程①的两根. 因为PR PQ <,所以

X

X

R

Q

<，

3

3

2

,3

3

2

2

2

++=

+-=

m

X m

X

m m P Q

所以

1

3

1221131213

122

2

2-+

+

=++

++

==m

m

X

X m

PQ

PR

R

P 。

此时23

1,13

12

2

≠+

>+

m

m

且

所以3

51

3

1221,31

3

12211m

2

2

≠

-+

+

<-+

+

<且m

所以3

5,31≠

=

<=<

X

X X

X P

R P

R PQ

PR PQ

PR 且 综上所述，

）

，（），的取值范围是（33

5

351⋃PQ PR

【2010重庆理15】已知以F 为焦点的抛物线x y 42

=上的两点B A 、满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为___________.

【解析】解析一：设l:x=ty+1，A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),联立⎩⎨

⎧=+=x

y ty 41

x 2

，整理得y 2

-4ty-4=0,由韦达定理得

y 1+y 2=4t,y 1y 2=-4.又3AF FB =，⎩⎨⎧=--=21213)

1(3)x -1y y x （构造两根之和与两根之积得⎩⎨⎧-=-=+2

22

122132y y y y y y 则2

1221)y y y y +（=-34

，即t=33±.

因此AB 中点到准线的距离为d=2)1x )1x 21+++（（=24)(t 21++y y =3

8

.

解法二：设BF m =，由抛物线的定义，知13AA m =，1BB m =，

ABC ∆∴中，2AC m =，4AB m =，