第4章 快速傅里叶变换

为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造
了条件，大大推动了数字信号处理技术的发展。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
人类的求知欲和科学的发展是永无止境的。多年来，
人们继续寻求更快、更灵活的好算法。1984年，法国的
杜哈梅尔(P. Dohamel)和霍尔曼(H. Hollmann)提出的分裂 基快速算法，使运算效率进一步提高。本章主要讨论基 2FFT
N N CM M lbN 2 2
复数加次数为
CA N M N lb N
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
而直接计算DFT的复数乘为N2次，复数加为N(N－1)次。
当N>>1时，N2(N/2) lbN，所以，DIT-FFT算法比直接计
算DFT的运算次数大大减少。例如，N=210=1024时，
(4.2.8) 这样，就将N点DFT分解为两个N/2点DFT和(4.2.7)式以及 (4.2.8)式的运算。(4.2.7)和(4.2.8)式的运算可用图4.2.1所示 的流图符号表示，称为蝶形运算符号。采用这种图示法， 经过一次奇偶抽取分解后，N点DFT运算图可以用图4.2.2表 示。图中，N=23=8， X(0)~X(3)由(4.2.7)式给出，而X(4)~
X 1 (k )
X 2 (k )
N / 2 1

r 0
kr x1 (r )WN / 2 DFT[ x1 (r )]N
2
(4.2.5)
N / 21

r 0
kr x2 (r )WN / 2 DFT[ x2 (r )]N
2
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 WN X(k)又可表示为
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
当 N 1 时，N(N－1)≈N2。由上述可见，N点DFT
的乘法和加法运算次数均为N2。当N较大时，运算量相 当可观。例如N=1024时，N2=1 048 576。这对于实时信
号处理来说，必将对处理设备的计算速度提出难以实
现的要求。所以，必须减少其运算量，才能使DFT在各 如前所述，N点DFT的复乘次数等于N2。显然，把 N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大减 少。另外，旋转因子具有明显的周期性和对称性。其 周期性表现为
k 0， 1， ，
N 1 4
(4.2.11)
其中
X 5 (k ) X 6 (k )
N / 4 1

l 0 l 0
x5 (l )WNkl/ 4 DFT[ x5 (l )]N x6 (l )WNkl/ 4 DFT[ x6 (l )]N
4
N / 4 1

4
x5 (l ) x2 (2l ) ，l 0， 1， x6 (l ) x2 (2l 1)
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X1(k)又可表示为
X 1 (k )
N / 4 1 l 0
2 kl x ( 2 l ) W 1 N /2
N / 4 1 l 0
k ( 2 l 1) x ( 2 l 1 ) W 1 N /2 k N /2 N / 4 1 l 0 kl x ( l ) W 4 N /4
图4.2.4 8点DIT-FFT运算流图
第4章 快速傅里叶变换(FFT) 4.2.3 DIT-FFT算法与直接计算DFT运算量的比较
由DIT-FFT算法的分解过程及图4.2.4可见，N=2M 时， 其运算流图应有M级蝶形，每一级都由N/2个蝶形运算构成。 因此，每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶 形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要的复数乘 次数为

r 0
x(2r )WN2 kr
N / 2 1

r 0
N / 2 1

r 0
x1 (r )WN2 kr WNk
N / 2 1

r 0
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因为
2 kr WN e j 2π 2 kr N
e
j
2π kr N 2
kr WN /2
所以
X (k )
N / 21

r 0
x1 (r )W
kr N /2
W
r N
N / 21

r 0
x2 (r )WNkr/ 2 , N -1
(4.2.4)
X 1 (k ) WNk X 2 (k )
k 0,1, 2,
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其中Ｘ1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT, 即
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4.2 基2FFT
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的
有限长序列x(n)的N点DFT为
kn X (k ) x(n)WN n 0 N 1
k 0， 1， ， N 1 (4.2.1)
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值， 直接按(4.2.1)式计算X(k)的1个值需要N次复数乘法和 (N－1)次复数加法。因此，计算X(k)的所有N个值，共 需N2次复数乘法和N(N－1)次复数加法运算。
， N / 4 1
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这样，经过第二次分解，又将N/2点DFT分解为2个
N/4点DFT和(4.2.10)式或(4.2.11)式所示的N/4个蝶形运算， 如图4.2.3所示。依次类推，经过M次分解，最后将N点 DFT分解成N个1点DFT和M级蝶形运算，而1点DFT就是 时域序列本身。一个完整的8点DIT－FFT运算流图如图
当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换
FFT(Fast Fourier Transform)出现以前，直接用DFT算法 进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965 年提出DFT的一种快速算法以后，情况才发生了根本的
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自从1965年库利(T. W. Cooley)和图基(J.Байду номын сангаасW. Tuky)
N2 1 048576 204.8 N 5120 lbN 2 这样，就使运算效率提高200多倍。图4.2.5为FFT算法
和直接计算DFT所需复数乘法次数CM与变换点数N的关 系曲线。由此图更加直观地看出FFT算法的优越性，显 然，N
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图4.2.5 DIT-FFT算法与直接计算DFT所需复 数乘法次数的比较曲线
X(7)则由(4.2.8)式给出。
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图4.2.1 蝶形运算符号
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图4.2.2 8点DFT一次时域抽取分解运算流图
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由图4.2.1可见，要完成一个蝶形运算，需要一次复
数乘法和两次复数加法运算。由图4.2.2容易看出，经过 一次分解后，计算1个N点DFT共需要计算两个N/2点DFT 和N/2个蝶形运算。而计算一个N/2点DFT需要(N/2)2次复 数乘法和N/2(N/2－1)次复数加法。所以，按图4.2.2计算N
k X 1 (k ) X 3 (k ) WN / 2 X 4 (k )
(4.2.10)
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用同样的方法可计算出
k X 2 (k ) X 5 (k ) WN / 2 X 6 (k ) N k X 2 k X 5 (k ) WN X ( k ) /2 6 4
4.2.4所示。图中用到关系式
k mk WN W /m N。图中输入序
列不是顺序排列，但后面会看到，其排列是有规律的。 图中的数组A用于存放输入序列和每级运算结果，在后 面讨论编程方法和倒序时要用到。
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图4.2.3 8点DFT二次时域抽取分解运算流图
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mlN WN e j 2π ( mlN ) N j 2π m N
e
m WN
（4.2.2）
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其对称性表现为
N m * m m N m 或者 [WN ] WN WN WN
(4.2.3a) (4.2.3b)
WN
m
N 2
m WN
FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序
第4章 快速傅里叶变换(FFT) 4.2.4 DIT-FFT的运算规律及编程思想
1． 由图4.2.4可以看出，DIT-FFT的运算过程很有规律。 N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组 成。同一级中，每个蝶形的两个输入数据只对计算本蝶形 有用，而且每个蝶形的输入、输出数据结点又同在一条水 平线上，这就意味着计算完一个蝶形后，所得输出数据可 立即存入原输入数据所占用的存储单元(数组元素)。这样， 经过M级运算后，原来存放输入序列数据的N个存储单元 (数组A)中便依次存放X(k)的N个值。这种利用同一存储单 元存储蝶形计算输入、输出数据的方法称为原位(址)计算。
既然这样分解对减少DFT的运算量是有效的，且N=2M,
N/2仍然是偶数，故可以对N/2点DFT再作进一步分解。 与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4点
的子序列x3(l)和x4(l)，即
x3 (l ) x2 (2l )
x4 (l ) x1 (2l 1)
N l 0， 1， ， 1 4
N / 4 1 l 0
x3 (l )W
kl N /4
W
X 3 (k ) W
k N /2
X 4 (k )
N k 0， 1， ， 1 2
(4.2.9)
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式中
N / 4 1
X 3 (k )
X 4 (k )

l 0
kl x3 (l )WN / 4 DFT[ x3 (l )]N
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4.1 引言
4.2 基2FFT算法
4.3 进一步减少运算量的措施
4.4 其他快速算法简介
习题与上机题
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4.1 引
言
DFT是数字信号分析与处理中的一种重要变换。但
直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，
x1 (r ) x(2r )， x2 (r ) x(2r 1)，
r 0， 1 ， r 0， 1，
N ， 1 2 N ， 1 2
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则x(n)的DFT为
X (k )
n 偶数 N / 2 1

x(n)WNkn
n 奇数

x(n)WNkn x(2r 1)WNk (2 r 1) x2 (r )WN2 kr
列的DFT，并利用 WNkn 的周期性和对称性来减少DFT
的运算次数。算法最简单最常用的是基2FFT。
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4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
基2FFT算法分为两类：时域抽取法FFT(Decimation
In Time FFT，简称DIT－FFT )； 频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT)。本节介 绍DIT－FFT 设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。 按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
4
N / 4 1

l 0
kl x4 (l )WN / 4 DFT[ x4 (l )]N
4
m 同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和 WN / 2 的对称性
W
kN / 4 N /2
k WN /2
最后得到：
，k 0， 1， ， N / 4 1 k X 1 (k N / 4) X 3 (k ) WN / 2 X 4 (k )
k
N 2
k ，因此 WN
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k X ( k ) X 1 ( k ) WN X 2 (k )，
k 0， 1， ，
N 1 2
(4.2.7)
X (k N k ) X 1 ( k ) WN X 2 (k )， 2 k 0， 1， ， N 1 2
在《计算数学》(Math. Computation, Vol. 19, 1965)杂 志上发表了著名的《机器计算傅里叶级数的一种算法》 论文后，桑德(G. Sand)—图基等快速算法相继出现， 又经人们进行改进，很快形成一套高效计算方法，这 就是现在的快速傅里叶变换（FFT）。 这种算法使DFT的运算效率提高了1 ~ 2个数量级，
点DFT时，总共需要的复数乘法次数为
N2 N N N ( N 1) 2 2 2 2 2 N 1
2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
复数加法次数为
2 N 2 N N N 1 2 2 2
由此可见，仅仅经过一次分解，就使运算量减少近一半。