初中数学常见解题模型及思路-名师总结的“自有定理”

初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理）

A ． 代数篇：

1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。 例.把0.108108108⋅⋅⋅化为分数。

设S=0.108108108⋅⋅⋅ （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108⋅⋅⋅（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S=

108

999

余例仿此—— 2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ；

22x y + 中，知二求二。

222222()2()2x y x y xy x y x y xy +=++⇒+=+- 2222()2()4x y x y xy x y xy -=+-=+- 加减配合，灵活变型。

3．特殊公式22112x x x x ±=+±2（）的变型几应用。

4．立方差公式：3322a b a b a ab b ±=

±+（）（）

5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。 例.求：1+2+3+···+2017的和。三种方法举例：略

6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。

例.求1+2+4+8+16+32+···2n 令S=1+2+4+8+16+32+···+2n （1）

两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+···+2n +12n + （2） （2）-（1）得：2S-S=12n +- 1 从而求得S 。 7．

11n m m n --=mn 的灵活应用：如：1111

62323

==-⨯等。 8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。 9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：

⑴．对称式：变和积。22221111

x y x y x y

+++22；；；xy +x y 等（x 、y 为一元二次方程方程的两

根）

⑵．非对称式：根的定义—降次—变和积（一代二韦）。 10. 三大非负数：三大永正数；

11．常用最值式：2

x y ±±（）正数 等（非负数+正数）。

12．换元大法。

13．自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型（如配方）只能加一个数，同时

减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。 14．拆项法；配方法。原理同上。 15．十字相乘法。

16．统计概率：两查（抽样；普查）；三事（必然；不可能；随机）；四图（折线；

条形；扇形；直方）；三数；三差；两频（频数、频率）一率（概率）等。 17．一元二次方程应用题：每每问题套路；利率问题套路；握手、送花问题套路。 18. |a|=|b|,则a=±b 在动点问题中的巧妙应用（避免烦琐的因为点的相对位置变化

起的符号变化问题（平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值的代数解法）。

19.四个角的正切值：22.5度的正切值为： 根号2-1 67.5度的正切值为根号2+1 75度的正切值为2+根号3 15度的正切值为2-根号3

B ． 几何篇：

1．两套：等线套；等角套。

①等角套（如图所示）：条件 ： ∠AOB ＝∠COD 结论：∠AOC ＝∠BOD 说明：

O

A

B

C

D

O

A

C

B

D

②可以视做由旋转产生的“共点等角”

等线套（如图所示）：条件：AB=CD 结论：AC=BD 说明：可以看做由平移产生。

A

B

C

D

2．两条平行线夹一角。一角=两旁角的和。 条件：AB ∥CD 结论：∠P ＝∠AEP ＋∠PFC

A

B

C D

E

P

F

3．平行线夹等（同）底三角形：面积相等。同底三角形面积相等，则过顶点的直线与

底所在直线平行。

C

m

A n

D

B

若：m ∥n 则ABC

ABD

S

S

= 反之：若 ABC

ABD

S

S

= 则：m ∥n （反比例模型中的

“垂平”模型的证明用之）

4．已知三角形两边定一边的范围。“大于两边的差，小于两边的和”。 5．三角形的角分线角：

⑴两内角平分线交角：∠I=902A

∠+

⑵一内一外角分线交角：∠I=2A

∠

⑶两外平分线交角：∠I=902

A

∠-

5.三角形的角平分线：

两边的比=分线段（第三边）的对应比。

A

B

C

I

A

B

C

I

I

A

B

C

D

条件：AD 为角平分线 结论：

AB BD

AC DC

=

6．三角形中线性质定理；三中线交点分中线为12

33

和两部分。

条件：AD 、BE 、CF 为中线

结论：AK=2KD=23AD BK=2KE=2

3BE 。

CK=2KF=2

3

CF

7．大名鼎鼎的等面积法：底与高的积相等。三高造相似。三高造辅助圆。 条件：AD 、BE 、CF 为三角形的高—— 结论：AD ·BC=BE ·AC=CF ·AB △ADB ∽△CFB 等。

B 、

C 、E 、F 、四点共圆等。

8．高与角分线的夹角等于另外两角差的一半。(两中线垂直的三角形叫做：中垂三角形—— 2225a b c +=其中a 、b 为中线所在的边) ①条件：AD 、AE 分别为三角形的角平分线和高， （AB ≠AC ）。

结论：∠DAE=

2

C B

∠-∠ ②条件：BE 、CF 为三角形的中线，且BE ⊥CF

结论：2225a b c += 2225AC BC AB +=

③如图：∠D=∠A+∠B+∠C

A

B

C

D

E

F

k

A

B

C

D

F

E A

C

B

D E

C

A B

E

F

A

B

C

D