数学竞赛基本知识集锦

数学竞赛基本知识集锦

常用公式

由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式

2

cos 12

sin

α

α

-±

=

2

cos 12

cos

αα

+±

=

α

α

ααααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

tan

+=

-=+-±

=

积化和差

()()[]βαβαβα-++=

sin sin 21

cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]

βαβαβα-++=cos cos 2

1

cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2

1sin sin 和差化积

2

cos

2sin

2sin sin β

αβ

αβα-+=+ 2

sin

2cos 2sin sin β

αβαβα-+=- 2

cos

2cos 2cos cos β

αβαβα-+=+ 2

sin

2sin 2cos cos β

αβαβα-+-=- 万能公式

αα

α2tan 1tan 22sin +=

α

α

α22tan 1tan 12cos +-=

α

αα2tan 1tan 22tan -=

三倍角公式

(

)

(

)α

ααααα+-=-=οο60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()(

)α

ααααα+-=-=οο60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3

二、某些特殊角的三角函数值

除了课本中的以外，还有一些

sin

cos

tan

ο15

426-

426+

32-

ο75

426+ 4

26-

32+

ο

18

4

1

5-

ο72

4

1

5-

三、三角函数求值

给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子

求值：7

6cos

74cos 72cos π

ππ++ 提示：乘以72sin 2π

，化简后再除下去。

求值：︒

︒-︒+︒80sin 40sin 50cos

10cos 2

2

题目:设n 为正整数，求证n

n n i n i 21212sin 1

+=

+∏=π

四、三角不等式证明

最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例

1.求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x

2.设12π

≥≥≥z y x ，且2

π=++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。

1给递推式求通项公式

(1)常见形式即一般求解方法

注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。 ①q

pa a

n n +=+1

若p=1，则显然是以a 1为首项，q 为公差的等差数列， 若p ≠1，则两边同时加上1-p q ，变为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+

=-++11

1

p q a p p q

a n n

显然是以1

1-+

p q

a 为首项，p 为公比的等比数列

②()

n f pa a

n n +=+1

，其中f(n)不是常数

若p=1，则显然a n =a 1+()∑-=11

n i i f ，n ≥2 若p ≠1，则两边同时除以p n+1

，变形为()1

1

1

++++

=

n n n n n p n f p a p a

利用叠加法易得

()∑-=++=1111n i i n

n p i f p a p

a ，从而()⎥

⎦⎤⎢⎣

⎡+=∑-=-1

111

n i i n n

p i f a p

a

注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方法，下面我们再介

绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。 (2)不动点法

当f(x)=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子：d

a c b

a a a

n n n +⋅+⋅=

+1

注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。

我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了

令d

x c b

x a x +⋅+⋅=，即()0

2

=--+b x a d cx

，

令此方程的两个根为x 1，x 2， 若x 1=x 2 则有

p

x a x a n n +-=-+1

111

1

其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。

注：如果有能力，可以将p 的表达式记住，p=d

a c

+2 若x 1≠x 2则有

2

1

2111x a x a q x a x a n n

n n --⋅=--++

其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通