稳定性数学模型

x1 x2 0 1 f ( x1 , x2 ) r1 x1 1 N1 N2 g ( x , x ) r x 1 x1 x2 0 1 2 2 2 2 N1 N 2
平衡点：P ( N1 ,0), P2 (0, N 2 ), 1
• 鱼销售价格p
• 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE
单位时间利润
R T S pEx cE
稳定平衡点 x0 N (1 E / r )
E R ( E ) T ( E ) S ( E ) pNE (1 ) cE r r c r ER (1 ) E* 求E使R(E)最大 2 pN 2 rN c2 渔场 x N (1 ER ) N c hR (1 2 2 ) R 4 p N 2 2p 鱼量 r
平衡点P0(x10, x20) ~ 代数方程
f ( x1 , x2 ) 0 g ( x1 , x2 ) 0
t
的根
0
若从P0某邻域的任一初值出发，都有 lim x1 (t ) x1 ,
lim x2 (t ) x2 , 称P0是微分方程的稳定平衡点 t
0
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1 1
对甲增长的阻滞 作用，乙大于甲
乙的竞争力强
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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模型 t 时x1 (t ), x2 (t )的趋向 (平衡点及其稳定性) 分析
(二阶)非线性 (自治)方程
x1 (t ) f ( x1 , x2 ) x2 (t ) g ( x1 , x2 )
的平衡点及其稳定性
2>1 甲的竞争力强
甲达到最大容量，乙灭绝
• P2稳定的条件：1>1, 2<1 • P3稳定的条件：1<1, 2<1 通常1 1/2，P3稳定条件不满足
f x1 A g x1
2 x1 1 x2 r1 1 N1 N2 f x2 g x2 r2 2 x2 N1
r1 1 x1 N2
2 x1 2 x2 r2 1 N1 N 2
x x (t ) f ( x ) rx (1 ) N
设
r~固有增长率, N~最大鱼量 • 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex, E~捕捞强度
建模
记 F ( x ) f ( x ) h( x )
x x(t ) F ( x) rx (1 ) Ex N
c Es xs N (1 ) p r
S(E)
p , c
Es , xs
0
ER E*
T(E) Es r E
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6.2
目的
军备竞赛
• 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 • 解释(预测)双方军备竞赛的结局 1）一方军备越大，另一方军备增加越快；
假
2）一方军备越大，对自己军备增长的制约 越大； 3）每一方都存在增加军备的潜力。
kh g x0 , kl
k
l g h y0 kl
p ( ) 0 q det A kl
系数 A l 矩阵
平衡点(x0, y0)稳定的条件
p 0, q 0
kl
i
p ( f x1 g x 2 ) pi , q det A p , i 1,2,3,4
平衡点 Pi 稳定条件： p > 0 且 q > 0
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种群竞争模型的平衡点及稳定性
平 衡点
p
r1 r2 (1 2 )
q
r1r2 (1 2 )
稳定条件
模
•甲乙两种群独自生存时数量变化 均服从Logistic规律;
型
假 设 模型
x1 x1 (t ) r1 x1 (1 ) N1
•乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正 比; 甲对乙有同样的作用。
x2 x2 (t ) r2 x2 (1 ) N2
x1 x2 x2 x1 x1 (t ) r1 x1 1 1 x2 (t ) r2 x2 1 2 N N1 N 2 N2 1
f 与h交点P
hm h
y=rx y=E*x
P*
E r x0稳定

y=h(x)=Ex y=f(x) x
P
0
x0*=N/2
x0
N
P ( x0 N / 2, hm rN / 4)
* *
* E * hm / x0 r / 2
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效益模型
假设
在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞 强度使效益最大.
x1 x2 ( x1 , x2 ) 1 1 N1 N2
x1 x2 ( x1 , x2 ) 1 2 N1 N 2 S1 : 0, 0
t x1, x2 t x1 , x2 t x1, x2
x2
N2 /1
S3
0
N1 (1 1 ) N 2 (1 2 ) P3 1 , 1 , P4 (0,0) 1 2 1 2
仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义
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平衡点稳 定性分析
x1 x2 1 f ( x1 , x2 ) r1 x1 1 N1 N2 g ( x , x ) r x 1 x1 x2 1 2 2 2 2 N1 N 2
P1稳定的条件：直接法2>1
P1
0
N1 / 2
加上与(4)相区别的 1<1
x1
N1
P1全局稳定
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结果解释
• P1稳定的条件：1<1, 2>1
对甲增长的阻滞 作用，乙小于甲 乙的竞争力弱
对于消耗甲的资源而言， 乙(相对于N2)是甲(相对 1 1 于N1)的1 倍。
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捕捞 • 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 E 过度 • 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
E R ( E ) T ( E ) S ( E ) pNE (1 ) cE r
R
r c (1 ) 2 pN
c Es r (1 ) pN
R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER
P2 稳定
0
x2
N2 /1
N2
0

(3) 1<1, 2<1 P3 稳定
0
N 1 / 2 x1
P3
0
0
x2
N2
N2 /1
N1
N 1 / 2 x1
0
N1
P2
0
(4) 1>1, 2>1
有相轨线趋向P1 有相轨线趋向P2
P1, P2都不 (局部)稳定
P3
0
p1 ( N1 ,0)
2>1, 1<1 1>1, 2<1
p2 (0, N 2 )
r1 (1 1 ) r2 r1r2 (1 1 )
N1 (1 1 ) N 2 (1 2 ) r1 (1 1 ) r2 (1 2 ) r1r2 (1 1 )(1 2 ) 1<1, 2<1 p3 1 , 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2
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6.3
种群的相互竞争
•自然环境中两个种群之间关系：相互竞争；相 互依存；弱肉强食。 • 当两个种群相互竞争时，常见的结局是，竞争 力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大 容量。 • 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程， 分析产生这种结局的条件。
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北方民族大学信息与计算科学系
第六章
6.1
6.2
稳定性模型
捕鱼业的持续收获
军备竞赛
6.3
6.4
种群的相互竞争
种群的相互依存
6.5
种群的弱肉强食
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稳定性模型
• 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状 态是否稳定。 • 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性。
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
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F ( x) 0
稳定性判断
x x(t ) F ( x) rx (1 ) Ex N E x0 N (1 ), x1 0 r
F ( x0 ) E r , F ( x1 ) r E
p4 (0,0)
(r1 r2 )
r r2 1
不稳定
P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点
P3 是两种群共存的平衡点
P1稳定的条件 1<1 ?
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平衡点稳 定性的相 轨线分析
(1) 2>1, 1<1
x1 x2 x1 (t ) r1 x1 1 1 N N2 1 x1 x2 x2 (t ) r2 x2 1 2 N1 N 2
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6.1
捕鱼业的持续收获
问 题 及 分 析
• 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。 • 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
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产量模型 假
x(t) ~ 渔场鱼量
• 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律
线性常系数 x(t ) ax by 的平衡点及其稳定性 微分方程组 y (t ) cx dy
ax by 0 cx dy 0
平衡点P0(x0,y0)=(0,0) ~代数方程
的根
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军备竞赛
平衡点 稳定性判断
模型
x (t ) x k y g y (t ) lx y h
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模型的定性解释
双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件
kl
1) 双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才 会稳定，否则军备将无限扩张。 2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 > kl 下 x(t), y(t)0,
即友好邻国通过裁军可达到永久和平。
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3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t) 很小，但因 x 0, y 0，也会重整军备。
4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0， 也会因 x ky g 使该方重整军备， 即存在互不信任( k 0 ) 或固有争端( g 0 ) 的单方面 裁军不会持久。
S2
0
S1 : x1 0, x2 0 S 2 : x1 0, x2 0
S3 : x1 0, x2 0
P1
N2
S1
0
N1 / 2
N 1 x1

P1(N1,0)是稳定平衡点
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x2
N2
N2 /1
P2
(2) 1>1, 2<1
设
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建
x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量
模
x(t ) x ky g
y(t ) lx y h
, ~ 本方经济实力的制约；
k, l ~ 对方军备数量的刺激；
g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。
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E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E~捕捞强度
x0稳定, x1不稳定
x0不稳定, x1稳定
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量
x1 稳定, 渔场干枯
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y
F ( x) 0