线代习题答案(6)

习题 六 （A 类）

1. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.

(1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； (2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

k ·αα=；

(3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法； (4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法. 【解】（1）是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1-8条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A ，B 均为2阶反对称矩阵，k 为任一实数，则

(A +B )′=A ′+B ′=-A -B =-(A +B ),

(k A )′=k A ′=k (-A )=-(k A ),

所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.

（2） 否.因为(k +l )·αα=,而2k l ⋅+⋅=+=ααααα,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.

（3） 否.因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）.

（4） 否.因为加法不封闭.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不属于这个集合.

2. 设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则U ＝Ｖ.

【证明】设U 的维数为m ，且m ,,,ααα 21是U 的一个基，因U ⊂V ,且V 的维数也是m ，自然m ,,,ααα 21也是V 的一个基，故U =V .

3. 在R ４

中求向量α＝(0,0,0,1)在基1ε＝(1,1,0,1),2ε＝

(2,1,3,1),

3ε＝(1,1,0,0), 4ε＝(0,1,－1,－1)下的坐标.

【解】设向量α在基1234,,,εεεε下的坐标为(1234,,,x x x x ),则11223344x x x x +++=εεεεα 即为

12341

21

00111100301011011x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

解之得(1234,,,x x x x )=(1,0,-1,0). 4. 在R ３

中，取两个基

1α＝(1，2，1)，2α＝(2，3，3)，3α＝(3，7，1)； 1β＝(3，1，4)，2β＝(5，2，1)，3β＝(1，1，－6)，

试求123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵与坐标变换公式. 【解】取R ３

中一个基（通常称之为标准基）

1ε=(1,0,0), 2ε=(0,1,0), 3ε=(0,0,1).

于是有

1231231231231

1231231

23(,,)(,,)2

37,1313

51(,,)(,,)1

21,416123351(,,)(,,)237121,131416αααεεεβββεεεβββααα-⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

所以由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为

1

1233512771412371219209.1314164128----⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A

坐标变换公式为 11

22332771419209,4128x x x x x x '---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

其中(123,,x x x )与（1

23,,x x x '''）为同一向量分别在基123,,ααα与123,,βββ下的坐标.

5. 设α1,α2,α3与β1,β2,β3为R 3的两个基，且由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵为

121012111A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

，

(1) 求由基β1，β2，β3到基α1,α2,α3的过渡矩阵B ；

(2) 若向量α在基β1,β2,β3下的坐标为(2，3，1)′，求α在基α1,α2,α3下的坐标.

解（1）123123(,,)(,,)A βββααα=，由于A 又逆，所以得1

123123(,,)(,,)A αααβββ-=，可见A -1为从123,,βββ到123,,ααα的过渡矩阵B 利用求逆矩阵方法

133312026131B A --⎛⎫

⎪

==- ⎪ ⎪-⎝⎭

（2）由定理3知，123212129301235111110x x A x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪

-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

6. 在R 4中取两个基

1122

3344(1,0,0,0),

(2,1,1,1),

(0,1,0,0),(0,3,1,0),(0,0,1,0),(5,3,2,1),(0,0,0,1).(6,6,1,3).

εαεαεαεα==-⎧⎧⎪⎪==⎪⎪⎨

⎨

==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩ (1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； (2) 求向量(1234,,,x x x x )在后一个基下的坐标； (3) 求在两个基下有相同坐标的向量.

【解】(1)

1234123420561

336(,,,)(,,,),11211

01

3ααααεεεε⎡⎤⎢⎥⎢

⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

A A 这里A 就是由基1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵. (2)

设

1234(,,,)

x x x x α=,由于

(1234,,,εεεε)=(1234,,,αααα)A -1,所以

11221

123412343344(,,,)(,,,),a A εεεεαααα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

x x x x x x x x

因此向量α在基1234,,,αααα下的坐标为

1211

3412927331129231,.90

0182773926A A ----⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

⎣⎦x x x x

(3) 设向量ξ在这两个基下有相同的坐标1234(,,,)k k k k ,那

么 1122

123412343344(,,,)(,,,),k k k k k k k k ξεεεεαααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

11223344,A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦k k k k k k k k 即 1234(),A E ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k k k k 0也就是 1341234

1234134560

2360020

++=⎧⎪+++=⎪⎨

-+++=⎪⎪++=⎩k k k k k k k k k k k k k k 解得1234(,,,)(,,,)=-k k k k c c c c ,其中c 为任一非零实数. 7. 说明xOy 平面上变换A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

x x T y y 的几何意义，其中

(1)1001-⎡⎤=⎢

⎥⎣⎦

A ； (2) 0001⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦A ； (3) 0110⎡⎤=⎢

⎥⎣⎦A ； (4) 0110⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

A . 【解】10(1)01--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

x x x T y y y ,T 把平面上任一点

变到它关于y 轴对称的点.

000(2)01⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

x x T y y y ,T 把平面上任一点变到它

在y 轴的投影点.