齿轮基础_渐开线的形成

③分度圆压力角 由 rb＝ri cosαi 得:αi＝arccos(rb/ri) 对于同一条渐开线：ri ↓→αi ↓αb＝0
定义分度圆压力角为齿轮的压力角：
N
rb
作者：潘存云教授
α
rf r
ra
Ki αi
Bi
B1 ri K1
α A i作者：潘存云教授
α1
ω
r1
O rb
O
α＝arccos(rb/r)
pb1= pb2
pb1
O1
将pb=πmcosα代入得： m1cosα1=m2cosα2
因m和α都取标准值，使上式成立的条
件为： m1=m2 ， α1=α2
N2
rb1
ω1
r1
N 作者：潘存云教授1
B2 B1 P
结论：
r2 rb2
一对渐开线齿轮的正确啮合条件是它
作者：潘存云教授
b
O
基圆
① AB = BK;
②渐开线上任意点的法线切于基圆,切 点B点为曲率中心，BK为曲率半径。
渐开线起始点A处曲率半径为0
αk
③离中心越远，渐开线上的压力角越大。 vk
k
定义：啮合时K点正压力方向与速度方向 所夹锐角为渐开线上该点之压力角αk。
cosαk ＝ rb/rk
rk θ α A
由于O2 、O1为定点，故P必为一个定点。 o1
节圆： r’1 r’2
r’1
ω1
两节圆相切于P点，且两轮节点处
速度相同，故两节圆作纯滚动。 a
中心距： a=r’1+r’2 共轭齿廓：一对能实现预定传动
比(i12=ω1/ω2)规律 的 啮合齿廓。
节圆
n
k
作者：潘存云教授
P n
ω2 r’2
o2
2.齿廓曲线的选择
理论上，满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多，但考虑到便于制造和检测等因
素，工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线，如渐开线、其中应用最广的 是渐开线，其次是摆线(仅用于钟表)和变态摆线。(摆线针轮减速器)，近年来提 出了圆弧和抛物线。
渐开线 ----应用最广
摆线
变态摆线
圆弧
抛物线
渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史，目前还没有其它曲线可以替代。
顶隙系数: c*
（顶隙 c= c* m）
正常齿： c*＝0.25
短齿制： c*＝0.3
全齿高：h= ha+hf =(2ha* +c*)m 齿顶圆直径： da=d+2ha=(z+2ha*)m 齿根圆直径： df=d-2hf =(z-2ha*-2c*)m
基圆直径： db=dcosα =mzcosα
法向齿距：
K 作者：潘存云教授 K’ P C2 C1
为定直线。
rb2
两轮中心连线也为定直线，故交
ω2
点P必为定点。在位置K’时同样有此结论。
O2
i12=ω1/ω2=O2P/ O1P=const
要使两齿轮作定传动比
传动，则两轮的齿廓无
工程意义：i12为常数可减少因速度变化所
论在任何位置接触，过 接触点所作公法线必须
或rb＝rcosα，
对于分度圆大小相同的齿轮，
d ＝dcosα 如果α不同，则基圆大小将不
b
同，因而其齿廓形状也不同。
α是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数。
规定标准值：α＝20° 某些场合采用α＝14.5°、15°、22.5°、25° 如航空齿轮。
由d=mz知：m和z一定时，分度圆是一个大小唯一确 定的圆。
作者：潘存云教授
m=1 z=16
为了便于制造、检验和互换使用，国标GB1357-87 规定了标准模数系列。
标准模数系列表（GB1357－87）
0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 0.5 0.4 0.5 0.6 0.8 第一系列 1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8
10 12 16 20 25 32 40 50 0.35 0.7 0.9 1.75 2.25 2.75 (3.25) 3.5 (3.75) 第二系列 4.5 5.5 (6.5) 7 9 (11) 14 18 22 28 (30) 36 45
产生的附加动载荷、振动和噪音，延长齿
与两轮的连心线交于一 个定点。
轮的使用寿命，提高机器的工作精度。
2.齿廓间正压力方向不变 N1N2是啮合点的轨迹， 称为啮合线
啮合线与节圆公切线之间
O1 ω1
N1 α’
K 作者：潘存云教授 K’ P C2 C1 N2
的夹角α’ ，称为啮合角
rb2
实际上α’ 就是节圆上的压力角
N2
从外观看齿 1比齿2小
r2 rb2
pb1<pb2
ω2
m1<m2
O2
不能正确啮合!
r2 rb2
pb1=pb2
ω2
O2
能正确啮合!
外观齿1 比齿2大
r2 rb2
pb1>pb2
ω2
m1 > m2
O2
不能正确啮合!
1.正确啮合条件
要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合， 两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等：
r α 作者：i 潘存云教授
α r θi
i
ra
θ
顶圆齿厚：Sa=(sra/r)-2ra(invαa-invα) φ rb
节圆齿厚：S’=(sr’/r)-2r’(invα’-invα)
基圆齿厚：Sb=(srb/r)+2rbinvα =scosα+2rcosαinvα
=cosα(s+mzinvα)
O
§1－7 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
B k作者：潘存k云教授
rb
O
④渐开线形状取决于基圆
K
⑤ 基圆内无渐开线。 当rb→∞，变成直线。
A1
A θ 2
k
θk 作者：潘存云教授
o1
B1 B2
B3
顺口溜： 弧长等于发生线， 基圆切线是法线，
o2
曲线形状随基圆， 基圆内无渐开线。 o3
)
3、渐开线函数
tgαk= BK/rb =AB/rb= rb(θk+αk)/rb θk = tgαk-αk 上式称为渐开线函数，用invαk 表示： θk ＝invαk ＝tgαk-αk 为使用方便，已制成函数表待查。
§1－14 齿轮传动设计
安徽工程科技学院专用
作者： 潘存云教授
§1－1 齿轮机构的应用和分类
作用：传递空间任意两轴（平行、相交、交错）的旋 转运动，或将转动转换为移动。
优点： ①传动比准确、传动平稳。 ②圆周速度大，高达300 m/s。 ③传动功率范围大，从几瓦到10万千瓦。 ④效率高(η→0.99)、使用寿命长、工作安全可靠。 ⑤可实现平行轴、相交轴和交错轴之间的传动。
αk k vk
rk θ α A
B k作者：潘存k云教授
rb
O
4、渐开线方程 （极坐标方程） rk=rb/cosαk θk ＝invαk ＝tgαk-αk
§1－4 渐开线齿廓的啮合特性
1.渐开线齿廓满足定传动比要求
O1 ω1
N1
两齿廓在任意点K啮合时，过K作 两齿廓的法线N1N2，是基圆的切线，N2
二、齿条 z→∞的特例。齿廓曲线（渐开线）→直线
特点：齿廓是直线，各点法线和速度方向线平行 1)压力角处处相等，且等于齿形角， α为常数。
2)齿距处处相等: p=πm pn=pcosα
其它参数的计算与外齿轮相同, 如：
s=πm/2 e=πm/2
ha=ha*m
hf=(ha* +c*)m
pn
α
α
作者：潘存云教授
响i12，这一特性称为运动可分性， 对加工和装配很有利。
O1 ω1 rb1
N1 K 作者：潘存云教授
P C2 C1
ω2 O2
由于上述特性，工程上广泛采用渐开线齿廓曲线。
§1－5 渐开线齿轮各部分的名称和尺寸
一、外齿轮 1.名称与符号
B
p
pk
齿顶圆－ da、ra 齿根圆－ df、rf
s ha
齿厚－ sk 任意圆上的弧长
渐开线具有很好的传动性能，而且便于制造、安装、 测量和互换使用等优点。本章只研究渐开线齿轮。
§1－3 渐开线的形成及其特性
1、 渐开线的形成和特性 ―条直线在圆上作纯滚动时，直线 上任一点的轨迹 －渐开线
BK－发生线，基圆－rb θk－AK段的展角
2、渐开线的特性
渐开线
t
k
t
A
rk 发生线
θk
B
r
动 的
按齿廓曲线分
摆线齿轮 (1650年) 圆弧齿轮 (1950年)
类
抛物线齿轮(近年)
型
按封闭形式分：开式齿轮传动、闭式齿轮传动。
ω1
作者：潘存云教授
ω2
1 2
椭圆齿轮
作者：潘存云教授
斜齿圆锥齿轮
作者：潘存云教授
曲线齿圆锥齿轮
准双曲面齿轮
§1－2 齿轮的齿廓设计
1.齿廓啮合基本定律
根据三心定律可知： P点为相对瞬心。
由db＝dcosα可知，基圆也是一个大小唯一确定的圆。
称 m、z、α为渐开线齿轮的三个基本参数。
齿轮各部分尺寸的计算公式：
分度圆直径： d=mz
齿顶高：ha=ha*m 齿顶高系数:ha*
ha h hf
正常齿： ha*＝1 短齿制： ha*＝0.8
齿根高：hf=(ha* +c*)m
Hale Waihona Puke Baidu
作者：潘存云教授
rf r ra
2.基本参数 ①齿数－z
②模数－m
分度圆周长：πd=zp,
出现无理数,不方便为了计算、 制造和检验的方便
d=zp/π
人为规定： m=p/π只能取某些简单值， 称为模数m 。
于是有：
d=mz， r = mz/2
m=4 z=16 m=2 z=16
模数的单位：mm， 它是决定齿轮尺 寸的一个基本参 数。齿数相同的 齿轮，模数大， 尺寸也大。
α
es
p
ha hf
B
三、内齿轮
结构特点：轮齿分布在空心圆柱体内表面上。
不同点：
1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。
2) df>d>da，da＝d-2ha ,df＝d+2hf
3) 为保证齿廓全部为渐开线，
要求da>db。
se p
B
作者：潘存云教授
hhfha
N
pn
rb
ra r
α
rf
O
§1－6 渐开线直齿圆柱齿轮任意圆上的齿厚
第一章 齿轮机构及其设计
§1－1 齿轮机构的应用和分类 §1－2 齿轮的齿廓曲线 §1－3 渐开线的形成及其特性 §1－4 渐开线齿廓的啮合特性 §1－5 渐开线标准齿轮的基本参数和几何尺寸
§1－6 渐开线直齿圆柱齿轮任意圆上的齿厚 §1－7 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动 §1－8 渐开线齿轮的切制 §1－9 变位齿轮概述 §1－10 变位齿轮传动 §1－11 斜齿圆柱齿轮传动 §1－12 圆锥齿轮传动传动 §1－13 其他曲线齿廓的齿轮传动简介
设计和检验齿轮时，常需要知道某些圆上的齿厚。
一般表达式： si=CC=riφ
sa
φ=∠BOB-2∠BOC =(s/r) - 2(θi-θ)
C si C
B
sB
=(s/r)-2( invαi-invα) Si=riφ
A N
sb
A
=(sri/r)-2ri(invαi-invα)(9-7) 其中：αi=arccos(rb/ri)
缺点： 要求较高的制造和安装精度，加工成本高、不适 宜远距离传动。
分类：
外齿轮传动 直齿 内齿轮传动
平面齿轮传动 （轴线平行）
圆柱齿轮 非圆柱齿轮
斜齿 人字齿
齿轮齿条 直齿
按相对 运动分
空间齿轮传动
两轴相交
圆锥齿轮 球齿轮
斜齿 曲线齿
齿
（轴线不平行）
蜗轮蜗杆传动
轮
两轴交错 交错轴斜齿轮
传
渐开线齿轮(1765年) 准双曲面齿轮
由： v12 ＝O1P ω1 ＝O2 P ω2 得： i12 ＝ω1/ω2＝O2 P /O1P
v12
o1 ω1
n k
作者：潘存云教授
P
齿廓啮合基本定律: 互相啮合的一对齿轮在任一位
置时的传动比，都与连心线O1O2 被其啮合齿廓的在接触处的公法
n ω2
o2
线所分成的两段成反比。
如果要求传动比为常数，则应使O2 P /O1P为常数。
渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律，那么，是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？
一对齿轮传动时，所有啮合点都在啮合线N1N2上。
pb1
O1
rb1
ω1
r1 N1
B2 B P 1 作者：潘存云教授
N2
pb1
O1
rb1
ω1
r1
N1
B 作者：潘存云教授2 B P 1
N2
pb1
O1
rb1
ω1
r1
N1
B 作者：潘存云教授2 B1 P
ω2
由渐开线的性质可知：啮合线又是接
O2
触点的法线，正压力总是沿法线方向，
故正压力方向不变。该特性对传动的
平稳性有利。
3.运动可分性 △ O1N1P≌△O2N2P 故传动比又可写成：
i12=ω1/ω2= O2P/ O1P = rb2 /rb1 N2
－－基圆半径之反比。基圆半径是定值
rb2
实际安装中心距略有变化时，不影
h
hf
ek e s 作者：潘存k 云教授
pn pb
rb
齿槽宽－ ek 弧长 齿距 （周节）－ pk= sk +ek 同侧齿廓弧长
rf r ra
法向齿距 （周节）－ pn = pb 分度圆－－人为规定的计算基准圆
表示符号： d、r、s、e，p= s+e
齿顶高ha 齿根高 hf 齿全高 h= ha+hf O 齿宽－ B
pn=pb =πdb/z =πmcosα
ha h hf
=pcosα 统一用pb表示
B p
sN e
pn pb
r 作者：潘存云教授 b
α rf r ra
标准齿轮的含义：
m 、α、取标准值，
O
ha* 、c* 取标准值，
且e=s的齿轮
一个标准齿轮的基本参数和参数的值确定之后，其主要尺寸和 齿廓形状就完全确定了。