符号运算

…………………………………………………………………………………………… [ .96274843969420649872171548984002-.57475793354361098651731421962321*i]
[例5] 例
生成一个符号矩阵。 生成一个符号矩阵。
MATLAB命令窗口输入命令 命令窗口输入命令： 解 在MATLAB命令窗口输入命令： >> syms a b c d e f g h i j k l
1+ 5 运行后屏幕显示 的符号表达式为 a= a = 2 (1+sqrt(5))/2
运行后屏幕显示 ans =
1 + 5 的相同数值形式为 a= 2
1.6180
将多项式的符号形式转换为对应的系数的数值形式 的向量
将多项式的符号形式转换为对应的系数的数值形式的向 量主要用MATLAB函数sym2poly来实现。 量主要用MATLAB函数 来实现。 MATLAB函数 来实现 [例7] 将 y = 5 x 2 6 转换为对应的系数的数值形式的向量。 例 转换为对应的系数的数值形式的向量。
解 输入： 输入： >> syms x y,y=5*x^2-6; yc=sym2poly(y) 运行后屏幕显示的系数的数值形式的向量为 yc = 5 0 -6
符号形式与数值形式相互 相互转换 2. 符号形式与数值形式相互转换 将数值形式转换为符号形式常用的方法有两类，一类是 将数值形式转换为符号形式常用的方法有两类， 将数的数值形式转换为符号形式； 将数的数值形式转换为符号形式；另一类是将多项式的系数的 数值形式的向量转换为对应的符号形式。 数值形式的向量转换为对应的符号形式。 将数的数值形式转换为符号形式 将数的数值形式转换为符号形式主要用MATLAB函数sym来实现。 来实现。 将数的数值形式转换为符号形式主要用MATLAB函数 MATLAB函数 来实现 [例8] 将π的近似值pi=3.141593 转化为符号形式。 例 的近似值pi=3.141593 转化为符号形式。 的近似值 输入： 解 输入：>> pi=3.141593; pj=sym(pj) 运行后屏幕显示: 运行后屏幕显示: pi = 7074238532074879*2^(-51)
1. 变换和化简
expand(表达式 表达式) 表达式 factor(表达式 表达式) 表达式 horner(表达式 表达式) 表达式 collect(表达式 表达式) 表达式
将表达式中的括号进行展开,即 将表达式中的括号进行展开 即将乘积展开为和式 将表达式进行分解， 将表达式进行分解，即把多项式转换为乘积形式 将一般的表达式变为嵌套的形式 合并同类项
y=2*a- 5*exp(sqrt(x -b))
运行后屏幕显示： 运行后屏幕显示：
y = 2*a-5*exp((x-b)^(1/2))
2. 符号表达式的生成 当符号变量生成以后， 当符号变量生成以后，就可以进一步生成含有这些变量 符号的表达式，常用的形式有如下两种： 符号的表达式，常用的形式有如下两种： 数学表达式’ 方法一 f=sym(‘数学表达式’) 数学表达式 或 f= ‘数学表达式’ 数学表达式’ 数学表达式 方法二 f=syms a b c x f=含有 ，b，c，x的数学表达式 含有a 含有 ， ， 的数学表达式 [ 例 3] 试 将 z = a ( 2 x t ) 3 + b sin( 4 y ) 生 成 为 符 号 表达式 。 表达式。 输入： 解 方法一 输入：>> f=sym(‘a*(2*x-t)^3+b*sin(4*y)’), 或 f='a*(2*x-t)^3+b*sin(4*y)'
A=[ a b c;d e f;g h i;j k l] 则运行后输出结果： 则运行后输出结果： A = [ [ [ [ a, d, g, j, b, e, h, k, c] f] i] l]
3.1.2 符号形式与数值形式的相互转换 在用MATLAB 软件处理数学问题时，经常需要符 在用MATLAB 软件处理数学问题时， 号形式与数值形式的相互转换。 号形式与数值形式的相互转换 。 下面分别介绍它们 的转换方法。 的转换方法。
x=solve(f)
方法二 方法三
则运行后输出相同的结果： 则运行后输出相同的结果：
x =
[ [ .96274843969420649872171548984002+.57475793354361098651731421962321*i] .26762926822201693804563287259316+.19580612317589362415618068133297*i]
将数的符号形式转换为数值形式主要用MATLAB函 将数的符号形式转换为数值形式主要用MATLAB函 MATLAB 和 来实现。 数eval和numeric来实现。 来实现
[例6] 例
生成为符号表达式， 首先将 a = 1 + 5 生成为符号表达式，然后再
转换为数值形式。 转换为数值形式。
2
首先输入： 解 首先输入：>> a='(1+sqrt(5))/2' 再输入： 再输入：>> eval(a) 或输入： 或输入： >> numeric(a)
1. 将符号形式转换为数值形式 将符号形式转换为数值形式常用的方法有两类，一类是 将符号形式转换为数值形式常用的方法有两类， 将数的符号形式转换为数值形式； 将数的符号形式转换为数值形式；另一类是将多项式的符号形 式转换为对应的系数的数值形式的向量。 式转换为对应的系数的数值形式的向量。 将数的符号形式转换为数值形式
simplify(表达式 表达式) 表达式
利用各种恒等式关系、 利用各种恒等式关系、函数关系表达式
进行化简， （1）f=simple(S) 对表达式 S 进行化简， ） 输出长度最短的表达式 f； ； 进行化简， （2）simple(S) 对表达式 S 进行化简，输 ） 出用各种函数化简的结果及长度最短的表达式； 出用各种函数化简的结果及长度最短的表达式； （ 3） [f,how]=simple(S) 对表达式 S 进 ） 行化简， 行化简，输出长度最短的表达式 f及f是哪一个函 及 是哪一个函 数作用的结果how。 数作用的结果 。 确认符号表达式中的符号
方法一
>> f=sym('8*x^9+17*x^3-3*x=-1'), , solve是MATLAB软件解方程的函数 % solve是MATLAB软件解方程的函数 >> f='8*x^9+17*x^3-3*x=-1',x=solve(f) ) >> x=solve('8*x^9+17*x^3-3*x=-1')
用sym 生成符号变量 形式一： 形式一：x=sym(‘x’) %符号变量的值为单引号内的字符或字符串 形式二： 同上， 形式二：x=sym(‘x’,‘Variable Format’) %同上，但设定
变量x 变量x的类型
[例1] 试将 y=a+b x 中的系数 a , b ,自变量 x 和数学表达 例 式 a+b x 分别生成符号变量，要求自变量 x 为实型变量。 分别生成符号变量， 为实型变量。 + 输入： 解 输入： >>x=sym('x', 'real') %设定了变量 为实型变量 设定了变量x为实型变量 设定了变量 a=sym('a') b=sym('b') r=sym('a+ bsqrt(x)') 运行后屏幕显示： 运行后屏幕显示： x= a= b= b x a r = a+ bsqrt(x)
将多项式的系数的数值形式的向量转换为对应的符号形式 将多项式的符号形式转换为对应的系数的数值形式的向 量主要用MATLAB函数poly2sym来实现。 MATLAB函数 来实现。 量主要用MATLAB函数 来实现 [例9] 将 y = 5 x 2 6 的系数的向量yc =[ 5 例 的系数的向量yc 换为对应的符号形式。 换为对应的符号形式。 解 输入： 输入： >> yc =[ 5 0 -6]; y=poly2sym (yc) 运行后屏幕显示为 y = 5*x^2-6 0 -6] 转
[ 例 4] solve 是 MATLAB 软件解方程的函数，调用格式为： 软件解方程的函数，调用格式为： 9 3 x=solve(f)。 x=solve(f)。试用函数 solve 解方程 8x + 17x 3x = 1 。
MATLAB命令窗口输入命令 命令窗口输入命令： 解 在MATLAB命令窗口输入命令：
运行后屏幕显示： 运行后屏幕显示： f = a*(2*x-t)^3+b*sin(4*y) f = a*(2*x-t)^3+b*sin(4*y) 输入： 方法二 输入： >> syms a b c k t y f=a*(2*x-t)^3+b*sin(4*y) 运行后屏幕显示： 运行后屏幕显示： f = a*(2*x-t)^3+b*sin(4*y) 注意：如果要生成方程的符号表达式，则不能用方法二， 注意：如果要生成方程的符号表达式，则不能用方法二， 只能用方法一
3.1.3 符号表达式的初等运算
符号表达式的初等运算是指符号表达式的变换和化简、 符号表达式的初等运算是指符号表达式的变换和化简、 符号的代换、复合函数的运算和反函数的运算，包括加 符号的代换、复合函数的运算和反函数的运算，包括加、减、 乘方和开方运算。有关加、 除运算、 乘、除、乘方和开方运算。有关加、减、乘、除运算、乘方和 开方运算在第一章实验的内容中我们已经作了介绍。 开方运算在第一章实验的内容中我们已经作了介绍。下面主要 介绍符号表达式的变换和化简、符号的代换、 介绍符号表达式的变换和化简、符号的代换、复合函数和反函 数的运算。 MATLAB中 这些运算的常用函数如下 数的运算。在MATLAB中，这些运算的常用函数如下：
findsym(表达 表达 式)
2. 代换和复合函数运算
代 换
复合 函数 运算 subs(f,old, new) subexpr(f) y=compose(f ,g) y=compose(f ,g,t) 用符号new代替表达式 中的符号 代替表达式f中的符号 用符号 代替表达式 中的符号old 将表达式f中的公共部分用 将表达式 中的公共部分用sigma表示 中的公共部分用 表示 输出y=f(u)和u=g(x)的复合函数 和 的复合函数y=f(g(x)) 输出 的复合函数 输出y=f(u)和u=g(t)的复合函数 和 的复合函数y=f(g(t)) 输出 的复合函数
3.1 符号运算与符号表达式
3.1.1 符号变量与符号 表达式的生成 3.1.2 符号形式与数值 形式的相互转换 3.1.3 符号表达式的初 等运算
3.1.1 符号变量和符号表达式的生成 符号运算是指运算的主要对象是符号、文字，或者是 符号运算是指运算的主要对象是符号、 文字， 变量所进行的运算，自然是精确公式解中的运算。 变量所进行的运算，自然是精确公式解中的运算。符号运 算和符号表达式总称为符号对象。本节介绍MATLAB MATLAB符号运 算和符号表达式总称为符号对象。本节介绍MATLAB 符号运 算及相关的问题。 算及相关的问题。 在MATLAB工具箱用来生成符号对象的函数有如下两种： MATLAB工具箱用来生成符号对象的函数有如下两种： 工具箱用来生成符号对象的函数有如下两种 sym 来定义一个符号或符号表达式, 来定义一个符号或符号表达式, syms 可定义多个符号。 可定义多个符号。 1. 符号变量的生成 要使符号变量有意义，必须首先生成符号变量， 要使符号变量有意义，必须首先生成符号变量，生成符 号变量可用sym或syms。 号变量可用 或 。
用syms 生成符号变量 syms 可定义多个符号 ， 用 syms生成符号变量的常 可定义多个符号， 生成符号变量的常 用形式请看下例。 用形式请看下例。
[例 2] 试将 y = 2a 5 e 例
x b
生成符号变量。 中的系数 a, b 和自变量 x 生成符号变量。
解 输入： 输入： >> syms a b x