排列组合问题基本类型及解题方法

排列组合问题的基本模型及解题方法

导语：解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)

还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类，以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。注意以下几点：

1、解排列组合应用题的一般步骤为：

①什么事：明确要完成的是一件什么事（审题）；

②怎么做：分步还是分类，有序还是无序。

2、解排列组合问题的思路

（1） 两种思路：直接法，间接法。

（2） 两种途径：元素分析法，位置分析法。

3、基本模型及解题方法：

(一)、元素相邻问题

（1）、全相邻问题，捆邦法

例1、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。

A 、720

B 、360

C 、240

D 、120

说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。

（2）、全不相邻问题插空法

例2、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，

解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A 种

例3、高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是

A 、1800

B 、3600

C 、4320

D 、5040

解：不同排法的种数为5256A A ＝3600，故选B

说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。

（3）、不全相邻排除法，排除处理

例4、五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？

解：533235332372A A A A A --=222232或3A A A

例5、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．

左右相邻，那么不同排法的种数是 解法一： ①前后各一个，有8×12×2＝192种方法

②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32种方法

③两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置：

乙可坐2个位置

乙可坐1个位置

2＋2＝4 1＋1＝2 此种情况共有4＋2＝6种方法

因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6＋6＝12种方法

④两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右

∴ 甲左乙右总共有55102110128910=⨯+=

+++++ 种方法．同样甲、乙可互换

位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55×2＝110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 192＋32＋12＋110＝346种

解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种。），7号座位与8号座位不算相邻（坐在后

排相邻的情况有22种。），共有346)611(2220=+-A 种 （二）、定序问题缩倍法

例6、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。

解：5面旗全排列有55A 种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的

挂法，故有 553232

10A A A = 说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便.

例7、某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。

解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有22525A A +⨯＝30种不同排法。 解二：6!4!

=30 例8、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（ ）

A 、210个

B 、300个

C 、464个

D 、600个

解： 155513002

A A = 故选

B （三）、多元问题分类法

例9．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种

解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有2454C A ⋅=240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有3454C A ⋅=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有45120A =种选法，共有600种不同的选派方案．

例10、设集合{}1,2,3,4,5I =。选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有 (B)

A 、50种

B 、49种

C 、48种

D 、47种

解析：若集合A 、B 中分别有一个元素，则选法种数有2

5C =10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有35C =10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有45C =5种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有四个元素，则选法种数有55C =1种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有35

C =10种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有两个个元素，则选法种数有45C =5种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有55C =1种；若集合A 中有

三个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有45C =5种；若集合A 中有三个元素，集

合B 中有两个元素，则选法种数有55C =1种；若集合A 中有四个元素，集合B 中有一个

元素，则选法种 数有55C =1种；总计有49种，选B. 解法二：集合A 、B 中没有相同的元素，且都不是空集，

从5个元素中选出2个元素，有2

5C =10种选法，小的给A 集合，大的给B 集合； 从5个元素中选出3个元素，有35C =10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有2×10=20种方法；

从5个元素中选出4个元素，有45C =5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有3×5=15种方法；

从5个元素中选出5个元素，有55C =1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有4×1=4种方法；

总计为10+20+15+4=49种方法。选B.

例11、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个