传热学12 对流换热的基本方程和分析解
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在x方向，由于流体流动，单位时间内从EFGH面对流
传入和从ABCD面对流传出的热量分别为（U为每千克 流体的内能 ）： Q1, x Q1, x dx Q1, x dx Q1, x xUdydz x 在x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为： 在x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为 Q1, x xU U x Q1, x Q1, x dx dx dxdydz U x dxdydz x x x x 同理，可写出y和z方向在单位时间内对流传入微元体 的净热量。因此，单位时间内对流净传入微元体的总热 量为： U x y z U U Q1 x y z U dxdydz y z z x y x
x
x y y y
2
x
y
0
T T 2T x y a 2 x y y
a
T
T y
y 0
四个方程包括四个未知数：υx、υy、T、a，加上定解条 件可以求解。
12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解 12.4.1 平板层流换热的分析解 需要满足的条件：
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5
Q1为单位时间内通过对流传入微元体净热量； Q2为单位时间内通过导热传入微元体的净热量； Q3为单位时间内微元体内热源生成的热量； Q4为单位时间里外界对微元体作黏性功产生的摩擦热； Q5为单位时里内微元体内能的增加量。单位都是J/s。
12.2 对流换热微分方程
y 0
12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解
df ' d
y 0
d{2[(T Tw ) / (T Tw )]} d[(y / 2x) Rex ]
y 0
y 0
1.328
T 可得温度梯度： y 由换热微分方程得： 12 x 0.332 Rex x
0.332 1/2 (T Tw )[ Rex ] x
动(动量传输)方程式。
12.2 对流换热微分方程
这四个方程总称为对流换热微分方程组，是求 解对流换热系数的基本方程。 换热系数的基本途径是：
如果将物性(ρ、λ、μ、ν)视为常数，求解对流
① 由连续性方程和动量传输方程，结合定解条件， 求出速度场； ② 由热量传输方程，结合定解条件，求出温度场； ③ 由换热微分方程求出局部对流换热系数。
DU T qv Dt 对于不可压缩流体(或固体)，可认为dU=cVdT，并且 cV≈cP，于是：
T T T T T T T cP cP x y z qv t y z x x y y z z x
① 方程式中二阶微分项的系数必须相等，这就需 要ν=a或Pr=1。 ② 温度边界条件必须与速度边界条件相适应。为 此，只需将独立变量T换成(T-Tw)/ (T∞-Tw)。 x x x 2 x 替换 x 中的 y x 2 x y y
应用布拉修斯的结果，可得到： d [2( x / )] df ' y 0 f ''(0) d d [(y / 2x) Rex ]
对于不可压缩流体，不存 在体积功，只有黏性力作功 产生摩擦热。 微元体获得的热能有：一 是通过微元体界面从外界以 对流和导热方式得到；二是 由微元体的内热源产生。
12.2 对流换热微分方程
对于不可压缩流体，不存在体积功，只有黏性 力作功产生摩擦热。 微元体获得的热能：一是由微元体界面从外界 以对流和导热方式得到；二是由微元体的内热 源产生。 微元体在热量传输过程的热力学第一定律为：
12.2 对流换热微分方程
由动量传输可知，对于不可压缩流体，其连续性方程
为
dxdydz 导热传入微元体的热量可按傅里叶定律计算，在λ 不为常数的情况下，单位时间内通过导热传入微元体的 净热量为：
x y z 0 x y z U U U Q1 在 y z x x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为 x y z
代入原式，消去dxdydz，整理后可得：
U U U U T T T x y z qv t y z x x y y z z x
由换热微分方程得：
x 0.332
L Re Pr
1/2 L 1/3
x x Nu x 0.332 Rex1/ 2 Pr1/ 3
对宽为W、长为L的平板上的平均对流传热系数α，可用 L αx沿全板长从0到L积分： 1 x dx L0 1/2 1/3 2 x 对上式积分可得： 0.664 ReL Pr L x Nu 0.664 Rex1/2 Pr1/3 Nu 2Nux
式中，Ψ为壁面的几何因素。
12.2 对流换热微分方程 (1) 换热微分方程
由于在贴壁处流体受到黏性的作用，没有相
T 式中, y
对于壁面的流动，因此被称为贴壁处的无滑移 边界条件。将傅里叶定律应用于贴壁流体层， 与牛顿冷却公式联系，得换热微分方程： T T y y 0
对流换热微分方程组描述了对流换热过程所具
有的共性，是对流换热过程的一般描述。
12.2 对流换热微分方程
单凭对流换热微分方程组不能解出未知函数，
必须给出具体问题的特定条件才能得到特定的 解，描述对流换热的具体条件称为定解条件。
用分析法求解对流换热问题是非常困难的，直
到普朗特提出了边界层理论，并用数量级分析 方法对微分方程组进行了简化，其数学分析解 才真正得到。
Leabharlann Baidu
则不一定，它仅存在于壁面与流体间有温差的地方。此 外热边界厚度与流动边界层厚度也不一定相等，它们之 间的关系主要决定于流体的状态。
12.3 对流换热边界层微分方程组
(2) 边界层对流换热微分方程组
二维对流换热问题可采用数量级分析方法，将 方程式中数量级较小的项舍去，实现方程的合 理简化, 通过比较各项的大小(普朗特的方法) 由于dP/dx=0，可以得到边界层对流换热的微分 方程组： x x 2 x x y
12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解
以上对流换热系数计算公式适用于恒壁温，平板层流边 界层的情况，应用范围为：0.6<Pr<50，Re<5×105。
12.4.2 液体金属流过平板时的对流换热 对液体金属沿平板流动时的热边界层，假定热
12.5 对流换热边界层积分方程近似解 12.6 小结
12.1 对流换热概述
流体与不同温度的固体壁面接触时，因相对运
动而发生的热量传递过程称为对流换热。
对流换热与热对流的区别：
① 热对流是传热的三种基本方式之一，但 对流换热不是； ② 对流换热是导热和对流这两种基本传热 方式的综合； ③ 对流换热必然涉及流体与不同温度的固 体壁面(或液面)之间的相对运动。
2 2 2 T T T T T T T x y z a 2 2 2 t x y z y z x
此式称为傅里叶-克希荷夫导热微分方程，适用于无内 热源不可压缩流体的对流换热分析。 a 2/s。 称为导温系数，单位是 m CP
12.3 对流换热边界层微分方程组
层流时，流体分层流动，
相邻层间无流体的宏观运动 ，因而在壁面法线方向上热 量的传递只能依靠流体内部 的导热。湍流时，流动边界 层可分为层流底层、缓冲层 和湍流核心层。
热边界层和流动边界层既有联系又有区别。一般说， 流动边界层总是从入口处(x=0)开始发展，而热边界层
DT cP T q v Dt
12.2 对流换热微分方程
方程中最后一项耗散热是流体黏度和剪切应变率的函
数，对一般工程问题可忽略不计。于是可变为： DT cP T qv Dt 如果流体的导热系数λ为常数，且流体无内热源，即 qv=0，则可进一步简化为： DT a 2T Dt
12.2 对流换热微分方程
(3) 连续性方程
根据动量传输理论，不可压缩流体(ρ为常数)的连续性
方程为：
x y z 0 x y z
(4) 运动(动量传输)方程
不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程为 ：
D 2 P F Dt
换热方程式、热量传输方程式、连续性方程式和运
12.1 对流换热概述
对流换热是流体的导热和对流共同作用
的结果，其影响因素主要有：
① 流体流动的起因 ② 流体有无相变 ③ 流体的 流动状态 ④ 流体的物理性质 ⑤ 换热表面(指固 体)的几何因素
综合以上分析，可将对流换热系数α与各 影响因素写成如下函数关系：
f (v, , cP , , Tw , T f , L, )
T T T Q2 dxdydz x x y y z z
12.2 对流换热微分方程
为计算微元体内热源产生的热量，定义单位时间、单
位体积所生成的热量为内热源强度，用qv 表示。于是 单位时间内微元体内热源生成的热量为：
y 0
为贴壁处流体的法向温度变化率，℃/m；
λ为流体的导热系数，W/(m· ℃)；△T为传热面上的平均温度 差，℃，α为对流换热系数，W/(m2· ℃)。
12.2 对流换热微分方程
(2) 热量传输微分方程
推导依据是能量守恒定律，采用微元体分析法 ，假定流体不可压缩，微元体只有内能发生变化 ，忽略位能、动能的变化。
只有在几何形状和边界条件均简单的层流 稳态流动条件下，对流换热问题才可以得 到精确的解。
12.3 对流换热边界层微分方程组
(1) 温度(热)边界层
固体表面附近流体温度发生剧烈变化的薄层称 为温度边界层(热边界层)，其厚度记为δT。 对于对流换热，类似于速度边界层的定义，在 热量传输中通常将T＝Tw＋0.99(T∞－Tw)定义为 δT的外边界。
冶金传输原理
冶金传输原理第二部分传热学
第十二章：对流换热的基本方程和分析解
吴铿 2011.03.05
北京科技大学冶金与生态工程学院
第12章 对流换热的基本方程和分析解
12.1 对流换热概述
12.2 对流换热微分方程组 12.3 对流换热边界层微分方程组
12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解
Q3 qv dxdydz
外界流体对微元体所做黏性功的推导比较复杂，令单 位体积流体由于黏性力作用产生的摩擦热速率为Φ，称 为耗散热。则为单位时间内黏性功产生的热能量为：
Q4 dxdydz
单位时间内，微元体内能的增加量为：
U Q5 dxdydz t
12.2 对流换热微分方程
x x 2 Nu x 0.332 Re1 x
式中Nux称为局部努塞尔特数。
13 Pr 波尔豪森研究了Pr不为1时的影响： T
代入流换热系数表达式。在y=0处，温度梯度为：
12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解
T y
y 0
0.332 1/2 1/3 (T Tw )[ Rex Pr ] x
传入和从ABCD面对流传出的热量分别为（U为每千克 流体的内能 ）： Q1, x Q1, x dx Q1, x dx Q1, x xUdydz x 在x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为： 在x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为 Q1, x xU U x Q1, x Q1, x dx dx dxdydz U x dxdydz x x x x 同理，可写出y和z方向在单位时间内对流传入微元体 的净热量。因此，单位时间内对流净传入微元体的总热 量为： U x y z U U Q1 x y z U dxdydz y z z x y x
x
x y y y
2
x
y
0
T T 2T x y a 2 x y y
a
T
T y
y 0
四个方程包括四个未知数：υx、υy、T、a，加上定解条 件可以求解。
12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解 12.4.1 平板层流换热的分析解 需要满足的条件：
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5
Q1为单位时间内通过对流传入微元体净热量； Q2为单位时间内通过导热传入微元体的净热量； Q3为单位时间内微元体内热源生成的热量； Q4为单位时间里外界对微元体作黏性功产生的摩擦热； Q5为单位时里内微元体内能的增加量。单位都是J/s。
12.2 对流换热微分方程
y 0
12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解
df ' d
y 0
d{2[(T Tw ) / (T Tw )]} d[(y / 2x) Rex ]
y 0
y 0
1.328
T 可得温度梯度： y 由换热微分方程得： 12 x 0.332 Rex x
0.332 1/2 (T Tw )[ Rex ] x
动(动量传输)方程式。
12.2 对流换热微分方程
这四个方程总称为对流换热微分方程组，是求 解对流换热系数的基本方程。 换热系数的基本途径是：
如果将物性(ρ、λ、μ、ν)视为常数，求解对流
① 由连续性方程和动量传输方程，结合定解条件， 求出速度场； ② 由热量传输方程，结合定解条件，求出温度场； ③ 由换热微分方程求出局部对流换热系数。
DU T qv Dt 对于不可压缩流体(或固体)，可认为dU=cVdT，并且 cV≈cP，于是：
T T T T T T T cP cP x y z qv t y z x x y y z z x
① 方程式中二阶微分项的系数必须相等，这就需 要ν=a或Pr=1。 ② 温度边界条件必须与速度边界条件相适应。为 此，只需将独立变量T换成(T-Tw)/ (T∞-Tw)。 x x x 2 x 替换 x 中的 y x 2 x y y
应用布拉修斯的结果，可得到： d [2( x / )] df ' y 0 f ''(0) d d [(y / 2x) Rex ]
对于不可压缩流体，不存 在体积功，只有黏性力作功 产生摩擦热。 微元体获得的热能有：一 是通过微元体界面从外界以 对流和导热方式得到；二是 由微元体的内热源产生。
12.2 对流换热微分方程
对于不可压缩流体，不存在体积功，只有黏性 力作功产生摩擦热。 微元体获得的热能：一是由微元体界面从外界 以对流和导热方式得到；二是由微元体的内热 源产生。 微元体在热量传输过程的热力学第一定律为：
12.2 对流换热微分方程
由动量传输可知，对于不可压缩流体，其连续性方程
为
dxdydz 导热传入微元体的热量可按傅里叶定律计算，在λ 不为常数的情况下，单位时间内通过导热传入微元体的 净热量为：
x y z 0 x y z U U U Q1 在 y z x x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为 x y z
代入原式，消去dxdydz，整理后可得：
U U U U T T T x y z qv t y z x x y y z z x
由换热微分方程得：
x 0.332
L Re Pr
1/2 L 1/3
x x Nu x 0.332 Rex1/ 2 Pr1/ 3
对宽为W、长为L的平板上的平均对流传热系数α，可用 L αx沿全板长从0到L积分： 1 x dx L0 1/2 1/3 2 x 对上式积分可得： 0.664 ReL Pr L x Nu 0.664 Rex1/2 Pr1/3 Nu 2Nux
式中，Ψ为壁面的几何因素。
12.2 对流换热微分方程 (1) 换热微分方程
由于在贴壁处流体受到黏性的作用，没有相
T 式中, y
对于壁面的流动，因此被称为贴壁处的无滑移 边界条件。将傅里叶定律应用于贴壁流体层， 与牛顿冷却公式联系，得换热微分方程： T T y y 0
对流换热微分方程组描述了对流换热过程所具
有的共性，是对流换热过程的一般描述。
12.2 对流换热微分方程
单凭对流换热微分方程组不能解出未知函数，
必须给出具体问题的特定条件才能得到特定的 解，描述对流换热的具体条件称为定解条件。
用分析法求解对流换热问题是非常困难的，直
到普朗特提出了边界层理论，并用数量级分析 方法对微分方程组进行了简化，其数学分析解 才真正得到。
Leabharlann Baidu
则不一定，它仅存在于壁面与流体间有温差的地方。此 外热边界厚度与流动边界层厚度也不一定相等，它们之 间的关系主要决定于流体的状态。
12.3 对流换热边界层微分方程组
(2) 边界层对流换热微分方程组
二维对流换热问题可采用数量级分析方法，将 方程式中数量级较小的项舍去，实现方程的合 理简化, 通过比较各项的大小(普朗特的方法) 由于dP/dx=0，可以得到边界层对流换热的微分 方程组： x x 2 x x y
12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解
以上对流换热系数计算公式适用于恒壁温，平板层流边 界层的情况，应用范围为：0.6<Pr<50，Re<5×105。
12.4.2 液体金属流过平板时的对流换热 对液体金属沿平板流动时的热边界层，假定热
12.5 对流换热边界层积分方程近似解 12.6 小结
12.1 对流换热概述
流体与不同温度的固体壁面接触时，因相对运
动而发生的热量传递过程称为对流换热。
对流换热与热对流的区别：
① 热对流是传热的三种基本方式之一，但 对流换热不是； ② 对流换热是导热和对流这两种基本传热 方式的综合； ③ 对流换热必然涉及流体与不同温度的固 体壁面(或液面)之间的相对运动。
2 2 2 T T T T T T T x y z a 2 2 2 t x y z y z x
此式称为傅里叶-克希荷夫导热微分方程，适用于无内 热源不可压缩流体的对流换热分析。 a 2/s。 称为导温系数，单位是 m CP
12.3 对流换热边界层微分方程组
层流时，流体分层流动，
相邻层间无流体的宏观运动 ，因而在壁面法线方向上热 量的传递只能依靠流体内部 的导热。湍流时，流动边界 层可分为层流底层、缓冲层 和湍流核心层。
热边界层和流动边界层既有联系又有区别。一般说， 流动边界层总是从入口处(x=0)开始发展，而热边界层
DT cP T q v Dt
12.2 对流换热微分方程
方程中最后一项耗散热是流体黏度和剪切应变率的函
数，对一般工程问题可忽略不计。于是可变为： DT cP T qv Dt 如果流体的导热系数λ为常数，且流体无内热源，即 qv=0，则可进一步简化为： DT a 2T Dt
12.2 对流换热微分方程
(3) 连续性方程
根据动量传输理论，不可压缩流体(ρ为常数)的连续性
方程为：
x y z 0 x y z
(4) 运动(动量传输)方程
不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程为 ：
D 2 P F Dt
换热方程式、热量传输方程式、连续性方程式和运
12.1 对流换热概述
对流换热是流体的导热和对流共同作用
的结果，其影响因素主要有：
① 流体流动的起因 ② 流体有无相变 ③ 流体的 流动状态 ④ 流体的物理性质 ⑤ 换热表面(指固 体)的几何因素
综合以上分析，可将对流换热系数α与各 影响因素写成如下函数关系：
f (v, , cP , , Tw , T f , L, )
T T T Q2 dxdydz x x y y z z
12.2 对流换热微分方程
为计算微元体内热源产生的热量，定义单位时间、单
位体积所生成的热量为内热源强度，用qv 表示。于是 单位时间内微元体内热源生成的热量为：
y 0
为贴壁处流体的法向温度变化率，℃/m；
λ为流体的导热系数，W/(m· ℃)；△T为传热面上的平均温度 差，℃，α为对流换热系数，W/(m2· ℃)。
12.2 对流换热微分方程
(2) 热量传输微分方程
推导依据是能量守恒定律，采用微元体分析法 ，假定流体不可压缩，微元体只有内能发生变化 ，忽略位能、动能的变化。
只有在几何形状和边界条件均简单的层流 稳态流动条件下，对流换热问题才可以得 到精确的解。
12.3 对流换热边界层微分方程组
(1) 温度(热)边界层
固体表面附近流体温度发生剧烈变化的薄层称 为温度边界层(热边界层)，其厚度记为δT。 对于对流换热，类似于速度边界层的定义，在 热量传输中通常将T＝Tw＋0.99(T∞－Tw)定义为 δT的外边界。
冶金传输原理
冶金传输原理第二部分传热学
第十二章：对流换热的基本方程和分析解
吴铿 2011.03.05
北京科技大学冶金与生态工程学院
第12章 对流换热的基本方程和分析解
12.1 对流换热概述
12.2 对流换热微分方程组 12.3 对流换热边界层微分方程组
12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解
Q3 qv dxdydz
外界流体对微元体所做黏性功的推导比较复杂，令单 位体积流体由于黏性力作用产生的摩擦热速率为Φ，称 为耗散热。则为单位时间内黏性功产生的热能量为：
Q4 dxdydz
单位时间内，微元体内能的增加量为：
U Q5 dxdydz t
12.2 对流换热微分方程
x x 2 Nu x 0.332 Re1 x
式中Nux称为局部努塞尔特数。
13 Pr 波尔豪森研究了Pr不为1时的影响： T
代入流换热系数表达式。在y=0处，温度梯度为：
12.4 对流换热边界层微分方程组的分析解
T y
y 0
0.332 1/2 1/3 (T Tw )[ Rex Pr ] x