电路的暂态过程分析

t
L
u( t )dt u( t )dt
0
0
t
L (0 ) u( t )dt
0
t
1 t iL ( t ) u( t )dt L 1 0 1 t u( t )dt u( t )dt L L 0 1 t iL (0 ) u( t )dt L 0
5-12
3、基本特性 1）.动态特性
u的大小与 i 的变化率成正比，与 i 的大小无关； (微分形式)称为电感元件的动态特性。 当 i 为常数(直流)时，di/dt =0 u=0。
电感在直流电路中相当于短路； 2）. 记忆特性
电感元件是一种记忆元件；(积分形式) 1 t 3）. 电感电流的连续性 iL ( t ) iL (0 ) u( t )dt 0 L 1 0 iL (0 ) iL (0 ) u( t )dt 若电感电压有界 L 0 iL ( 0 ) iL ( 0 )
5-13
4）. 电感的储能特性 di p吸 ui i L dt
di 1 2 1 2 1 2 WL Li dt Li ( t) Li ( t ) Li ( ) dt 2 2 2
t 若i ( ) 0
t

1 2 1 2 Li ( t ) (t ) 0 2 2L
uC (0 ) uC (0 )
5-6
4）. 电容的储能特性 du p吸 ui u C dt
du 1 2 1 2 1 2 WC Cu dt Cu ( t ) Cu ( t ) Cu ( ) dt 2 2 2
t 若u ( ) 0
(2)电路状态条件
电路结构或参数发生的改变(俗称换路)可能引起暂 态过程。
3.研究暂态电路的方法 (1)数学分析法(经典法) 以基尔霍夫定律和欧姆定律为基础，求解微分方程。
(2)实验分析法
利用示波器等仪器观测暂态过程中各个量随时间变化的 规律。 4.电路暂态分析的内容
(1)暂态过程中电压和电流(响应)随时间而变化的规律；
从t0 到t 电感储能的变化量：
1 2 1 2 1 2 1 2 WL Li ( t ) Li ( t 0 ) (t ) (t0 ) 2 2 2L 2L
由此可以看出，电感是无源元件，它本身不消耗能量。
5-14
已知电感电流iL 的波形,求电压uL 并作出其波形图. iL /A iL + 1 L uL 3H – -1 0 1 ２ ３ t 1 1 (b) (a) t ( 1 s t 2 s ) 3 3 解： uL/V iL ( t ) t 3 ( 2 s t 3 s ) 1 0 ( t 1s , t 3 s ) -1 0 1 ２ 3 t diL uL ( t ) L dt -3 (c) 1V ( 1s t 2 s ) uL ( t ) 3V ( 2 s t 3 s ) 0 ( t 1s , t 3 s )
5-2
1、特性方程
与电容有关的两个变量: C, q
i 对于线性电容，有： q =Cu +
+
u –
C
–
q C u
def
C 称为电容器的电容
电容 C 的单位：F (法)
(Farad，法拉)
F= C/V = A•s/V = s/ 常用F，nF，pF等表示。
5-3
线性电容的q~u 特性是过原点的直线 q
uC
US
uC
初始O 状态 过渡 t1 新稳态 状态 R1
uS + R2 R1 + + t
过渡过程产生的原因
1. 电路中含有储能元件(内因)
dW 能量不能跃变 p dt 2. 电路结构或电路参数发生变化(外因)
换路

R3
支路的接入、断开；开路、短路等 uS 参数变化
C
–
uC
R3
5-24
换路定则 (开闭定则) 1 t uC ( t ) i ( t )dt t i C qC ( t ) i ( t )dt + 1 0 1 t 0 t i ( t )dt i ( t )dt i ( t ) d t i ( t ) d t uC C C 0 0 C 1 t t – uC (0 ) i ( t )dt qC (0 ) i ( t )dt 0 0 C dq 0 i qC (0 ) qC (0 ) i (t )dt dt 当 t = 0 +时 , 0 1 0 qC=CuC uC (0 ) uC (0 ) i ( t )dt
第3章 电路的暂态过程分析
预备知识 电容元件与电感元件 3.1换路定理 5.3 一阶电路的零输入响应 5.4 一阶电路的零状态响应 5.5 一阶电路的全响应与三要素法
5-1
预备知识 电容元件与电感元件
一、电容元件 电容器 + + + + +q
– – – – –q
线性时不变电容元件：任何时刻，电容元件极板上的 电荷q与电压 u 成正比。 C 电路符号

O u
C= q/u tg
2、伏安关系： u, i 取关联参考方向 i
+
u – + C –
dq du i C dt dt
或

t 1 0 idt 1 t idt u(t ) 1 i d t C C C 0 uc(0 ) 1 0t idt C

5-4
线性电感的 ~i 特性是过原点的直线


O i
L= /i tg
5-11
2、伏安关系 u, i 取关联参考方向:
i + – 根据电磁感应定律与楞次定律
u e
– +
L
或
dψ di u L dt dt
t 1 0 udt 1 t udt i(t ) 1 u d t L L L 0 t i(0) 1 0 udt L t (t ) (0) 0 udt
t

1 2 1 2 Cu ( t ) q (t ) 0 2 2C
从t0到 t 电容储能的变化量：
1 2 1 2 1 2 1 2 WC Cu ( t ) Cu ( t 0 ) q (t ) q (t0 ) 2 2 2C 2C
由此可以看出，电容是无源元件，它本身不消耗能量。
5-7

C


0
当i(t)为有限值时,

0
0
i (t )dt 0
qC (0+) = qC (0) uC (0+) = uC (0)
电荷守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
5-25
iL + u –
d L u dt L=LiL
L ( t ) u( t )dt
电容充放电形成电流：
i
+ u –
(1) u>0，du/dt>0，则i>0，q ，正向充电
(电流流向正极板)； (2) u>0，du/dt<0，则i<0，q ，正向放电 (电流由正极板流出)； (3) u<0，du/dt<0，则i<0，q，反向充电 (电流流向负极板)； (4) u<0，du/dt>0，则i>0，q ，反向放电 (电流由负极板流出)；
5-16
3.1 换路定理
一、暂态过程
1.“稳态”与“暂态”的概念 稳态：在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。 K R R + E + uC
K 闭合
_
_
C
+ E _
uC
+
_
C
uC
电路处于旧稳态
电路处于新稳态 暂态过程(过渡过程)：
E
0 暂 态 t
电路从一种稳态变化到另 一种稳态的过渡过程。
2.产生过渡过程的原因 (1)元件条件 电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存 在暂态过程。 电容、电感为储能元件，而能量的存储和释放需要 一个过程，所以有电容、电感的电路存在暂态过程。
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二、换路定理 电阻电路与动态电路 电阻电路 ：电路中仅由电阻元件和电源元件构成 。 KCL 、 KVL 方程和元件特性均为代数方程。 因此描述电路的方程为代数方程。 (即时电路) 动 态 电 路 ： 含 动 态 （ 储 能 ） 元 件 L(M) 、 C 。 KCL 、 KVL 方程仍为代数方程，而元件方程中含 微分或积分形式。因此描述电路的方程为微 分方程。 (记忆电路)
已知电容电压uC的波形,求电流iC,并作出其波形图. uC/V 1 C 4F 4 t/s 0 1 ２ ３ (a) 0 ( t 1s) -1 (b)
3
4 t/s
5-8
已知uC(0)=0,求uC(t)=100V,需输入几个电流脉冲？ 例 iC /A uC /V iC 0.2 0.1 + 1s uC 1F C 0.1 – 0 t1 t2 t3 t4 t t1 t2 t3 t4 0 (a) (b) (c) 解：
5-15
例
电容元件与电感元件的比较： 电容 C 电压 u 电荷 q
q Cu du iC dt 1 1 2 W C Cu 2 q 2 2C
电感 L
变量
电流 i
磁链
ψ Li di u L dt 1 1 2 W L Li 2 ψ 2 2L
关系式
结论：(1) 元件方程是同一类型； (2) 若把 u-I，q- ，C-L， i-u互换,可由电容元件 的方程得到电感元件的方程； (3) C 和 L称为对偶元件, 、q等称为对偶元素。 * 显然，R、G也是一对对偶元素: U=RI I=GU I=U/R U=I/G
(2)影响暂态过程快慢的电路的时间常数。
5.研究暂态过程的实际意义
(1)利用电路暂态过程产生特定波形的电信号
如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。
(2) 控制、预防可能产生的危害 暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使 电气设备或元件损坏。 直流电路、交流电路都存在暂态过程，我们重点讨 论直流电路的暂态过程。
1 uC ( t 2 ) C 1 i dt C C
t1
t
1 i dt u ( t ) C 1 t1 C 1 10.1dt 0.1V
类推，uC(t4)=0.2V,uC(t)=100V,需输入1000个电流脉冲。
5-9
二、 电感元件
i +– u e –+

线性时不变电感元件：任何时刻，电感元件的磁链
与电流 i 成正比。
1、 特性方程 电路符号 与电感有关两个变量: L, 对于线性电感,有： i L u –
+
=Li
5-10
ψ L i
def
=N 为电感线圈的磁链
L 称为自感系数
电感 L 的单位：H(亨) (Henry，亨利)
H=Wb/A=V•s/A=•s
5-22
什么是电路的过渡过程？ S US S US R C R C
稳定状态(稳态) 过渡状态(动态) S未动作前
i
+ –
uC
i = 0, uC = 0
S接通电源后进入另一稳态
i
+ –
uC
i = 0, uC= US
过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。
5-23
S US
R C
i
+ –
例 iC + uC –
( t 1)V (1s t 2s) 解： uc ( t ) ( t 3)V (2s t 4s) i C/ A 1V ( t 4s) 4 duC iC C 0 1 ２ dt 0 ( t 1 s) 4A (1s t 2s) －4 (c) ic ( t ) 4 A (2s t 4s) 0 ( t 4s)
+
C –
5-5
3、基本特性 1）.动态特性 i的大小与 u 的变化率成正比，与 u 的大小无关； (微分形式)称为电容元件的动态特性。 当 u 为常数(直流)时，du/dt =0 i=0。电容在直流 电路中相当于开路，电容有隔直作用； 2）. 记忆特性 电容元件是一种记忆元件；(积分形式) 1 t 3）. 电容电压的连续性 uC ( t ) uC (0 ) i ( t )dt 0 C 1 0 uC (0 ) uC (0 ) i ( t )dt 若电容电流有界 C 0