RC电路的暂态分析15页PPT

例：下图所示电路中，已知：R1=3k， R2=6k ， C1= 40 µF， C2= C3= 20 µF ，U=12V,开关S闭合前,电路
已处于稳态，试求: t ≥ 0 时的电压 uC 。
t=0 R1
+
+
U-
S
C1
R2
uC
C2 C3 –
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解： C2和C3并联后再与C1串联，其等效电容为
uc
i2=
C
d uc
dt
= – 0.4e –10000tA
o i1 i3
–0.2A
i2
t
i1 = i3 = i2 / 2
= – 0.2e –10000tA
–0.4A
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2.3.2 RC电路的零状态响应
零状态响应是指换路前电容元件未储有能量, uC(0–)=0, 由电源激励在电路中所产生的响应。分析RC电路的零状 态响应，实际上就是分析它的充电过程。
–
–
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由等效电路可得出电路的时间常数
R0
= R0 C=2 103 20 10–6
+
E-
C
+
uC
=40 10–3S
输出电压为
uC=E(1– e -t/ )
uC /V
8
–
=8(1–e –25t )V
O
t
2.3.3 RC电路的全响应
全响应是指电源激励和电容元件的初始状态uC(0+)均
u e C =US– US e –t /RC =US(1–
–t /) u
US
uC
时间常数 =RC
63.2%U
当 t = 时， uC =63.2%US O
t
uC的变化曲线
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uC =US(1–e– t / )
i
=
C
duC
dt
e =
US R
-t/RC
e u u R = US– C = US -t/RC
RC
duC
dt
+uC =US
它的通解为齐次线性方程的通解加上它的任意一个特解。
uC=Ae pt＋任一特解
特解选择换路后的稳定值US
uC=Ae pt＋US
1 求p 将其代入原方程得 p = –1/RC
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2确定积分常数，由换路定则
uC(0+)= uC(0–)=0，可确定积分常数 A= –US
ui
US US R
oi
uC uR
t
uC 、 uR及i 的变化曲线
可认为t ≥(4~5) 以后暂态过程已经结束。
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上述暂态过程的分析方法称为经典法。当电路比较 复杂时，可以用戴维宁定理将换路后的电路化简为一 个单回路电路，（将电路中除储能元件以外的部分化 简为戴维宁等效电源，再将储能元件接上），然后利 用经典法所得出的公式。
下图中，t=0时开关S由b点合向a点，相当于输入一阶跃
电压u，其表示式为
a t=0 uR
u=
0
Us
t<0 t>0
+
U s-
SR b
u iC
uC
u
Us
o
t
阶跃电压
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根据KVL，列出t ≥ 0时电路的微分方程
a t ≥ 0 uR
S
R
U
+
-s
b
u
i C +-uC
uR +uC =US
C= —C—1(—C2—+—C3—) =20 µF C1 +(C2 + C3)
将t ≥ 0的电路除C以外的部分化为戴维宁等效电源,
等效电源的电动势为
等效电源的内阻为
t≥0
S R1
+
U-
R2 C
E= —U—R2— =8V (R1+ R2)
R0=(—RR11—+RR—22)=
2k R0
+
uC
+
E-
+
C uC
时间常数 等于电压uC衰减到初始值U0的36.8%所
需的时间。
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uc
电压uC衰减的快
慢决定于电路的时 U0
间常数 ,时间常数
越大，uC衰减(电容
器放电)越慢。
0.368 U0
3 > 2 > 1
o 1 2 3
t
从理论上讲,电路只有经过 t = 的时间才能达到稳定。
当t = 5 时，uC已衰减到 0.7% U0 ，所以，
8
+
-
4
uC
i3
i2
解: uC(0+)= uC(0- ) = 104/(2+4+4)=4V, U0=4V
R0=(4//4+8)=10
= R0 C=10 10 10–6=10–4 S
uC = U0 e–t /＝4e –10000t V
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i1
b 4
8 i3
C
4
i2
iu
4V
S t=0 a
+
- U 0
U0
uR
RC
—d —uC
dt
+ uC =0
+R -
上式的通Hale Waihona Puke Baidu为指数函数，即
b
i
C
+
-
uc
1
uC = Ae pt
求p 将其代入原方
程，得： p = –1/RC
uC
通解 uC = Ae –t /RC
2确定积分常数，由换路定则
o
i
U0
uR
R
–U0 变化曲线
t uC(0+)=uC(0–)= U0 ，得 A= U0
uC = U0 e -t/ + US(1–e -t/)
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应t
= Us (U0 Us)e
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不为零时电路的响应，也就是零输入响应和零状态响应
的叠加。
下图中，若开关S合于b时，电路已处于稳态,
则 uC(0–)= U0 ， t=0时将S由b合向a， t ≥ 0时电路
的微分方程为
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a tt=≥0 0 uR
SR
+
U-S
b
+
-U0
i
C
+
-
uC
根据线性电路的叠加定 理，可得全响应为
工程上通常认为在t ≥ (4~5) 以后，暂态过程已经结束。
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例：下图所示电路中，开关S合在a点时,电路已处
于稳态，t=0开关S由a点合向b点，试求: t0 时 uc、 i1 、
i2 和 i3 随时间的变化规律,画出变化曲线。
aS
i1
2
+-10V
t=0
b 4 C 10µF
所以 uC = U0e –t /RC
ui R==–––UR—u0Ce=
–U0e
–t / RC
–t
/RC
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在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由 初始值按同一指数规律衰减到零。
时间常数 = RC 称为RC电路的时间常数
S F 单位
uC = U0 e–t /
uC() = 0.368 U0