二重积分在极坐标系下的计算

R
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
显然 D1 ⊂ S ⊂ D2
因为 e
所以
− x2 − y2
> 0,
− x2 − y2
∫∫ e D
1
− x2 − y2
dxdy ≤ ∫∫ e
S
dxdy ≤ ∫∫ e
D2
− x2 − y2
dxdy .
又因为 I = ∫∫ e
S
R
− x2 − y2
d xd y
R − y2
计算方法——化为二次积分 化为二次积分 计算方法
D : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (θ ), α ≤ θ ≤ β
其中ρ1 (θ ), ρ 2 (θ ) ∈ C [α , β ], 0 ≤ ρ1 (θ ) ≤ ρ 2 (θ ), 0 ≤ β − α ≤ 2 π.
ρ = ρ2(θ)
D
ρ = ρ1(θ) β α
所围成的图形的面积 .
解
根据对称性 S D = 4 S D1 . ( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) ⇒ ρ = a 2 cos 2θ
x2 + y2 = a2 ⇒ ρ = a
D1
ρ = a 2 cos 2θ π 得交点 (a , ). 6 ρ = a
S = ∫∫ dxdy = 4 ∫∫ dxdy
θ + dθ
ρdθ
dρ
θ
∆σ ≈ ρdρdθ
ρ ρ + dρ
ρ
dxdy = ρdρdθ
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
θ + dθ
二重积分的变量从直角 坐标到极坐标的变换公式
ρdθ
dρ
θ
∫∫ f ( x , y )dxdy D
D
O
ρ ρ + dρ
ρ
= ∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρdθ
− x2 − y2
∫∫ e D
d xd y = ∫ d θ ∫ e
0 0
2π
a
−ρ 2
ρdρ
= π(1 − e
−a 2
).
例2
将 ∫∫ f ( x , y )dxdy 化为极坐标形式的二次 积分 ,
D
其中D = {( x , y ) 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 ,0 ≤ x ≤ 1}.
sin( π x 2 + y 2 ) ∫∫ x 2 + y 2 dxdy D sin( π x 2 + y 2 ) d xd y = 4 ∫∫ 2 2 x +y D1
D 1
= 4 ∫ dθ ∫
π 2 0
2
sin πρ
1
ρ
ρdρ = −4.
例6 求由曲线 ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) 和 x 2 + y 2 ≥ a 2
因为 I1 < I < I 2 ,
R π π 2 − R2 − x2 −2 R2 ); 所以 (1 − e ) < ( ∫ e dx ) < (1 − e 0 4 4 π π 当 R → ∞ 时, I 1 → , I 2 → , 4 4 π ( n → ∞ ), 所以根据夹逼准则 I → 4 ∞ π 2 − x2 ( ∫ e dx ) = . 即 0 4
=∫ e
0
− x2
dx ∫ e
0
dy = ( ∫ e
0
R
− x2
dx ) 2 ;
I1 = ∫∫ e
D1
π 2
− x2 − y2
dxdy
−ρ 2
= ∫ dθ ∫ e
0 0
R
π − R2 ρdρ = (1 − e ); 4
同理 I 2 = ∫∫ e
D2
− x2 − y2
π − 2 R2 dxdy = (1 − e ); 4
2
∫∫ ( x D
+ y )dxdy = ∫
2
π 3 π 6
π dθ ∫ ρ ⋅ ρdρ = 15( − 3 ). 2 sin θ 2
2
4 sin θ
sin( π x 2 + y 2 ) 例5 求 ∫∫ dxdy , 2 2 x +y D
D : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4.
积分区域关于坐标轴对称, 解 积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标 轴对称. 轴对称.
D
π 6 0
D1
a 2 cos 2θ
= 4 ∫ dθ ∫
2
a
ρdρ
π = a ( 3 − ). 3
例7
计算一个球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4a 2 被圆柱面
x 2 + y 2 = 2ax (a > 0) 所截得的含在圆柱面内 的那 部分立体的体积 .
解 D : 0 ≤ ρ ≤ 2a cosθ , 0 ≤ θ ≤ π , 2
O
ρ
在[α , β ]上取定 θ , ρ : ρ1 (θ ) → ρ 2 (θ ), F (θ ) =
ρ = ρ2(θ)
F
D
∫ρ (θ )
1
ρ 2 (θ )
f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρ
θ :α → β ,
∫α F (θ )dθ .
β
O
E ρ = ρ1(θ) β θ α ρ1(θ) ρ2(θ) ρ
= ∫ dθ ∫
0 2π
ρ
ρ (θ )
0
f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρdρ ;
以上各种情形,区域D的面积 S = ∫∫ ρdρdθ .
D
二、典型例题
例1
计算 ∫∫ e
D
− x2 − y2
dxdy , 其中D 是中心在原点, 半径
为 a 的圆域 x 2 + y 2 ≤ a 2 .
解 D : 0 ≤ ρ ≤ a , 0 ≤ θ ≤ 2 π.
例3 解
利用例 1 结果 , 计算 ∫ e
0
+∞ − x2
dx .
D2 S
D1 = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ R 2 } D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R}
D1
D S2 D
故 I = 2 ∫∫ xydxdy ,
D1
其中 D1 为 D 的关于 x 轴上方的部分 .
I = 2 ∫ dθ ∫
0
π 2
π 2
2 sin 2θ
0
ρ 2 sinθ cosθ ⋅ ρdρ
= ∫ n 3 ( 2θ )dθ
0
1 π 3 t = 2θ ∫ sin tdt 2 0
π 1 2 2 1 2 3 = ⋅ 2 ∫ sin tdt = ⋅ 2 ⋅ = . 2 0 2 3 3
解
x = ρ cosθ , 因为 y = ρ sinθ ,
x2 + y2 = 1
圆的方程为 ρ = 1,
1 , 直线方程为 ρ = sin θ + cosθ
x + y =1
所以∫∫ f ( x , y )dxdy
D
= ∫ dθ ∫
π 2 0
1
1 sin θ + cosθ
f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρdρ .
二重积分在极坐标系下的计算
一、二重积分的极坐标计算公式 二、典型例题
一、二重积分的极坐标计算公式
区域D的特点 : 从极点 O出发且穿 过闭区域 D内部的射线 与D的边界曲线相交不 多于两点. 考虑典型小闭区域 ——曲边四边形区域 曲边四边形区域
O 极坐标系中的面积元素 dσ = ρdρdθ
ρ
ρ = ρ1 (θ ) β α
ρ
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ D
= ∫ dθ ∫
α β ρ 2 (θ ) ρ 1 (θ )
f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρ ;
二重积分化为二次积分几种常见的情形
ρ = ρ (θ )
D
β
O
α
ρ
况 ： 情 二 D: 0 ≤ ρ ≤ ρ(θ), α ≤θ ≤ β.
例4
计算 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy , D : x 2 + y 2 = 2 y , x 2 + y 2
D
= 4 y , x − 3 y = 0, y − 3 x = 0所围成的平面区域 .
解
边界曲线的极坐标方程 x 2 + y 2 = 2 y ⇒ ρ = 2 sinθ 2 2 x + y = 4 y ⇒ ρ = 4 sinθ π x − 3y = 0 ⇒ θ = 6 π y − 3x = 0 ⇒ θ = 3
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ D
= ∫ dθ ∫
α β ρ (θ )
0
f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρdρ ;
二重积分化为二次积分几种常见的情形
况 ： 情 三 D: 0 ≤ ρ ≤ ρ(θ), 0 ≤θ ≤ 2π.
D
ρ = ρ (θ )
O
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ D
( 2)被积函数使用极坐标后 函数表达式可以简化 并易于积分 , 通常当被积函数中含有 x 2 + y 2 的因 式时可以考虑使用极坐 标计算 .
二重积分化为二次积分几种常见的情形
ρ = ρ 2 (θ ) ρ = ρ1 (θ ) β
O
D
D
ρ = ρ 2 (θ )
α
O 情 一 D: ρ1(θ) ≤ ρ ≤ ρ2(θ), α ≤θ ≤ β. 况 ：
D
双纽线所围成 : (1) ( x 2 + y 2 )2 = 2( x 2 − y 2 ) ( 2) ( x 2 + y 2 )2 = 4 xy .
解
(1) 双纽线的极坐标方程为 ρ = 2 cos 2θ , y 其所围区域 D 见图.
2
由于积分区域 D关于x轴对称, 而被积函数 xy关于y是奇函数 ,
O
x
故
∫∫ xydxdy = 0. D
( 2) 双纽线的极坐标方程为 ρ 2 = 2 sin 2θ ,
其所围区域 D 见图.
由于积分区域D 由于积分区域 关于原点对称 ,
而被积函数 f ( x , y ) = xy 满足
O
x
y
f ( − x ,− y ) = ( − x )( − y ) = xy = f ( x , y ),
V = 4 ∫∫ 4a 2 − x 2 − y 2 dxdy
D
π 2 0 2 a cos θ
= 4 ∫ dθ ∫
0
4a 2 − ρ 2 ρdρ
y
x 2 + y 2 = 2ax
32 3 π 2 = a ( − ). 3 2 3
D
O
2a x
例8
计算 I = ∫∫ xydxdy , 其中积分区域 D 由下列
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ D
= ∫ [∫
α β α β ρ 2 (θ ) ρ1 (θ )
f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρ ]dθ f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρ
= ∫ dθ ∫
ρ 2 (θ )
ρ 1 (θ )
适用范围
(1)积分区域 D的边界曲线用极坐标方 程表示比较 简单, 通常D为圆域 , 圆环或扇形区域时 , 可考虑用 极坐标计算;