直线与圆锥曲线的位置关系【专题复习】

直线与圆锥曲线的位置关系

一．知识网络结构：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有位置关系主要适用于直线与圆的几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线)(.1 2.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到02

=++c bx ax 。

①. 若a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若0≠a ，设ac b 42-=∆。a .0>∆时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.0=∆时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.0<∆时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 二．常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系：

例1.椭圆14

162

2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） A.3 B.11 C.22 D.10

例2.如果椭圆19

362

2=+y x 的弦被点)2,4(平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A.02=-y x B.042=-+y x C.01232=-+y x D.082=-+y x

题型二：直线与双曲线的位置关系：

例3.已知直线1:-=kx y L 与双曲线2

2:y x C -=4。

⑴若直线L 与双曲线C 无公共点，求k 的范围；⑵若直线L 与双曲线C 有两个公共点，求k 的范围； ⑶若直线L 与双曲线C 有一个公共点，求k 的范围；⑷若直线L 与双曲线C 的右支有两个公共点，求k 的范围；⑸若直线L 与双曲线C 的两支各有一个公共点，求k 的范围。

题型三：直线与抛物线的位置关系：

例4.在抛物线x y 22

=上求一点P ，使P 到焦点F 与P 到点)2,3(A 的距离之和最小。

题型四：弦长问题：

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线()

k 斜率为与圆锥曲线交于点()11y ,x A ，()22y ,x B 时，则AB =2k 1+21x x -=2

k 1+()212214x x x x -+ =211k +21y y -=2

11k +()212214y y y y -+ 可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。

例5.过双曲线16

32

2=-y x 的右焦点2F ，倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB 。

题型五：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法：

⑴.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；

⑵.设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k ，然后写出弦的方程；

⑶.设弦的两个端点分别为()()2211,,,y x y x ，则这两点坐标分别满足曲线方程，又⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,2

2121y y x x 为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。

例6.已知双曲线方程2

22y x -=2。⑴求以A ()1,2为中点的双曲线的弦所在的直线方程； ⑵过点()1,1能否作直线L ，使L 与双曲线交于1Q ，2Q 两点，且1Q ，2Q 两点的中点为()1,1？如果存在，求出直线L 的方程；如果不存在，说明理由。

题型六：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：

例7.在抛物线x y 642

=上求一点，使它到直线L ：04634=++y x 的距离最短，并求这个最短距离。

练 习 题

1.（09上海）过点)0,1(A 作倾斜角为

4

π的直线，与抛物线22y x =交于M N 、两点，则MN = 。 写出所涉及到的公式：

2.（09海南）已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，

若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为 。 3.（08宁夏海南）过椭圆22

154

x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标 原点，则△OAB 的面积为

4.（11全国）已知直线L 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，L 与C 交于A ，B 两点，||12AB =， P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ）

A ．18

B ．24

C ． 36

D ． 48 5.（09山东）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐

标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )

A.24y x =±

B.28y x =±

C. 24y x =

D. 2

8y x = 6.（09山东）设双曲线122

22=-b

y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A. 4

5 B. 5 C. 25 D.5 7.（10全国）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +2

2y b

=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线L 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列。⑴求AB ⑵若直线L 的斜率为1，求b 的值。

8.（11江西）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．⑴求该抛物线的方程；⑵O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．