数值分析思考题

数值分析思考题

1、 一个算法局部误差和整体误差的区别是什么？如何定义常微分方程数值方

法的阶？

称 ()n n n e y x y =-为某方法在点n x 的整体截断误差，设n y 是准确的，用某种方法计算n y 时产生的截断误差，称为该方法的局部截断误差。可以知道，整体误差来自于前面误差积累，而局部误差只来自于n y 的误差。如果给定方法的局部截断误差为11()

p n T O h ++=，其中p 为自然数，则称该方法是p 阶的或具有p 阶精

度。

2、 显式方法和隐式方法的优缺点分别是什么？多步法中为什么还要使用单步法？

显式方法优点:方法简单快速。

缺点：精度低。

隐式方法优点：稳定性好。

缺点：精度低，计算量大。

多步法需要多个初值来启动迭代，而初值的计算需要用到单步法。

3、 刚性问题的求解困难主要体现在哪儿？计算刚性问题的最简单的稳定方法

是什么？

了保证数值稳定性，步长h 需要足够小，但是为了反映解的完整性，x 区间又需要足够长，计算速度变慢。最简单的稳定方法就是扩大绝对稳定域。

4、分别用欧拉向前法、欧拉向后法、改进的欧拉法、经典的四阶Runge-Kutta 法、四阶Adams 方法计算下列微分方程初值问题的解。

（1）3

,12(1)0.4

dy y x x dx

x y ⎧=-≤≤⎪

⎨⎪=⎩；

（2）'109,'1011,y y z z y z =-+⎧⎨=-⎩ 满足(1)1,

(1)1,y z =⎧⎨=⎩

，12x ≤≤。 解：（1）取步长为0.1，

向前Euler 公式：3

101=0.11.(,)()n n n n n n n

y y hf x y x y x +=++-

向后Euler 公式：

4

11

11110101.(,).n n n n n n n n x y x y y hf x y x +++++++=+=

+ 改进的Euler 公式：

()113

331132

11(,),(,)2

0.10.12n n n n n n n n n n n

n n n n n n h

y y f x y f x y h f x y y x y y x x x x x ++++++=+

++⎡⎤⎣⎦⎡⎤+=+-+-⎢⎥+⎣⎦

经典的四阶Runge-Kutta 法：

11234226()n n h

y y k k k k +=+

+++

1(,)n n k f x y =

2122(,)n n h h k f x y k =+

+ 3222(,)

n n h h

k f x y k =++

43(,)n n k f x h y hk =++

四阶显示Adams 方法：

01112233555937924()

[(,)(,)(,)(,)]n n n n n n n n n n h

y y f x y f x y f x y f x y +------=+

-+- 01111122919524()

[(,)(,)(,)(,)]n n n n n n n n n n h y y f x y f x y f x y f x y +++----=++-+

（2）二元微分方程组，经典的四阶Runge-Kutta 法公式为：

11234226()n n h

y y k k k k +=+

+++ 11234226()

n n h

z z L L L L +=++++

1(,,)n n n k f x y z =

211222(,,)n n n h h h k f x y k z L =+

++ 322222(,,)

n n n h h h

k f x y k z L =+++

433(,,)n n n k f x h y hk z hL =+++

1(,,)n n n L g x y z =

211222(,,)n n n h h h L g x y k z L =+

++ 322222(,,)

n n n h h h

L g x y k z L =+++

433(,,)

n n n L g x h y hk z hL =+++

改进的欧拉即为特殊的二阶龙格-库塔，公式在此不累述，注意系数。思路同上，四点Adams 公式在此也不累述，注意前四项须由四阶龙格-库塔求得以启动迭代。

编程求解得

1=09(,,).n n n n n n

y y hf x y z z +=+

1=-01(,,).n n n n n n n

z y hg x y z y z +=+

向后Euler 公式：

1092109221....n n n y z y ++

=

-

11092121...n n

n z y z +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

编程求解得