第三章微分中值定理与导数的应用(1)

第三章微分中值定理与导数的应用
在第二章中，我们介绍了导数和微分两个有密切联系的概念，阐明了求导数和微分的方法．本章我们介绍微分中值定理，并在此基础上研究函数的单调性，讨论函数的极值、最大值和最小值的求法，解决未定式的定值和曲线的曲率计算等问题．
§ 3‐1 微分中值定理
一、罗尔定理
罗尔（Rolle）定理如果函数f (x)满足条件：
（1）在闭区间[a , b]上连续；
（2）在开区间(a , b)内可导；
（3）f (a) =f (b)，
那末在(a , b)内至少存在一点ξ，使得f /(ξ) = 0．
证因为函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，所以它在[b
a,]上必能取得最大值M和最小值m（§1-7定理14）．下面分两种情形讨论：
（1）如果M = m，那末f (x)在[a , b]上恒等于常数M．因此，在整个区间内恒有f /(x) = 0，区间（a , b）内每一点都可取作ξ，得f /(ξ) = 0；
（2）如果M >m，因为f (a)= f (b)，所以M与m这两个数中至少有一个不等于端点的函数值．设M≠f (a)（如果设m ≠f (a)，证法完全类似），那末在（a , b）内必有一点ξ，使 f (ξ) =M．下面证明f /(ξ) = 0．
因为ξ是开区间（a , b）内的点，根据假设可知f /(ξ)存在，即极限
x f
x
f
m
li
x∆-
∆
+→
∆
)
( )
( 0ξ
ξ
存在，而极限存在必定左、右极限都存在并且相等，因此
=∆-∆+=+→∆x f x f m
li f x )
()()(0
/ξξξ
x f x f m li x ∆-∆+-→∆)
()(0ξξ．
由于f (ξ) = M 是f (x )在[a , b ]上的最大值，因此不论Δx 是
正的还是负的，只要ξ+Δx 在[a , b ]上，总有
f (ξ+Δx ) ≤ƒ(ξ)，
即 f (ξ+Δx )－ƒ(ξ)≤0．
当Δx >0时，
x
x f x f ∆-∆+)
()(ξ≤0，
从而，根据函数极限性质（§1-2定理4），有
x
f x f m
li f x ∆-∆+=→∆)
()()(0
/ξξξ≤0；
同理，当Δx < 0时,
x
f x f ∆-∆+)
()(ξξ≥0,
从而
x
f x f m
li f x ∆-∆+=-→∆)
()()(0
/ξξξ≥0,
因此必然有
f / (ξ) = 0． 这就证明了罗尔定理．
罗尔定理的几何意义是，如果连续曲线y = f (x )的弧⋂
AB 上除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线且两端点的纵坐标相等，那末这弧上至
少有一点C ，使曲线在点C 的切线
平行于x 轴，如图3-1所示． 例1 设f (x ) =x 2
－2x －3，验
证罗尔定理对f ( x )在[－1，3]上的正确性．
证 显然f (x ) =x 2－2x －3在[－1，3]上连续，而 f / (x ) =2x －2, 所以)(x f 在区间（－1,3）内可导，又f (－1) = f (3) =0, 所以)
(x f 图3-1
在[－1，3]上满足罗尔定理的条件．
令f / (x ) =2x －2 = 0, 解得x =ξ= 1∈(－1, 3)，使
f / (ξ) = 0，
罗尔定理的结论成立．
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日（Lagrange ）中值定理 如果函数)(x f 满足条件： （1）在闭区间[a , b ]上连续； （2）在开区间(a , b )内可导， 那末在(a , b )内至少存在一点ξ，使得
))(()()(/
a b f a f b f -=-ξ, (3-1) 或 a
b a f b f f --=
)
()()(/
ξ． （3-2）
从图3-2可以看出定理的正确性是显然的．
由定理条件（1）、（2）可知，弧⋂AB 是一条连续光滑（弧⋂
AB 内部每一点都有不垂直于x 轴的切线）的弧段，因此当我们把弦AB 平行移动时，
在弧⋂
AB 内部至少可以找到一点C ，过此点(ξ, f (ξ))的
曲线的切线平行弦AB ，即切
线斜率和弦AB 的斜率相
等． 故
a
b a f b f f --=
)
()()(/ξ,
即 ))(()()(/
a b f a f b f -=-ξ． 证 从图3-2可以看出弦AB 的方程为
)()
()()(a x a
b a f b f a f y ---+
=．
在同一横坐标x 处，我们用弧⋂
AB 的纵坐标减去弦AB 的纵
图3-2
坐标，得到辅助函数
)()
()()()()(a x a
b a f b f a f x f x ----
-=ϕ．
显然，ϕ(x )在[a , b ]上连续，在（a , b ）内可导，即 a
b a f b f x f x ---=)
()()()(/
/
ϕ,
又0)()(==b a ϕϕ，故由罗尔定理知，在（a , b ）内至少存在一
点ξ，使得
a b a f b f f ---
=)
()()()(/
/
ξξϕ=0，
所以 a b a f b f f --=)()()(/
ξ，
即 ))(()()(/
a b f a f b f -=-ξ,
这就证明了拉格朗日中值定理．
公式（3-1）称为拉格朗日中值公式，显然当b < a 时，公式亦成立．
拉格朗日中值公式的其它形式：
由于a<ξ< b ，故知0 <ξ－a b a -<,即
10<--<
a
b a
ξ，
令a
b a
--=
ξθ，得 ξ= a +θ(b —a)，
因此公式（3-1）可以写成：
)]([)()(/a b a f a f b f -+=-θ)(a b - )10(<<θ． 如果设x 、x +Δx ∈[a , b ]，在以x 与x +Δx 为端点的闭区
间上应用拉格朗日中值定理，又有
x x x f x f x x f ∆∆+=-∆+)()()(/θ,
或 )10()(/
<<∆∆+=∆θθx
x x f y ． （3-3）
将公式（3-3）与近似公式x x f dy y ∆=≈∆)(/
作比较，可以看出，函数的微分x x f ∆)(/一般说来只是函数增量Δy 的近似表
达式，其误差当Δx 为有限时一般不为零，而公式（3-3）当Δx
为有限时就是增量Δy 的精确表达式．所以拉格朗日中值定理又叫做有限增量定理，也叫做微分中值定理． 它精确地表达了函数在一个区间上的增量与该函数在这个区间内某点处的导数之间的关系．
由拉格朗日中值定理可得下面两个重要推论：
推论1 如果函数)(x f 在区间（a , b ）内的导数)(/
x f 恒为零，那末函数)(x f 在（a , b ）内是一个常数．
证 设x 1、x 2∈（a , b ）内任意两点，且x 1<x 2，则由公式（3-1）得
),())(()()(2112/
12x x x x f x f x f ∈-=-ξξ,
由推论假设知/
f
（ξ）=0，所以)()(12x f x f -=0，即
)()(21x f x f =．
因为1x 、2x 是（),b a 内任意两点，所以上面的等式表明：
)(x f 在区间（a , b ）内函数值总是相等的．这就是说，)(x f 在
区间（a , b ）内是一常数．
由推论1容易得到下面的推论2：
推论2 如果函数)(x f 、g (x )对区间（a , b ）内任意一点x ，都有
)()(//x g x f =，
那末这两个函数在区间（a , b ）内至多相差一个常数．
例2 证明
]1,1[2
-∈=
+x osx rcc a inx rcs a π
．
证 设osx rcc a inx rcs a x f +=)(，因为)(x f 在（－1，1）
内可导且有
01111)(2
2
/=--
-=
x
x
x f ，)1,1(-∈x
所以)(x f 在（－1，1）内为常数．又)(x f 在[－1，1]上连续，故)(x f 在[－1，1]上为常数，即
C osx rcc a inx rcs a =+．
令x =0，得 2
π
=
C ，
故 2
π
=
+osx rcc a inx rcs a ． ]1,1[-∈x
例3 如果b <0≤a ，试证明不等式
a b a -≤b a n l ≤b
b
a -． 证 设nx l x f =)(．
当0>>b a 时，由微分中值定理，得
)(1
a b b a nb l na l <<=--ξξ
,
由0＜a b <<ξ，得
b
a 111<<ξ, 故
b b a nb l na l a 1
1<--<，
即 b
b
a b a n l a b a -<
<-； 而当b a =时，有
b
b
a b a n l a b a -=
=-， 总之当b <0≤a 时，有
a b a -≤b a n l ≤b
b a -．
三、柯西中值定理
柯西（Cauchy ）中值定理 如果函数)(x f 和)(x F 满足条件： （1）在闭区间[b a ,]上连续；
（2）在开区间（b a ,）内可导，且对任意x ∈（b a ,），
)(/x F 0≠，
那末在（b a ,）内至少存在一点ξ，使得
)
()
()()()()(//ξξF f a F b F a f b f =
--． （3-4） 证明从略．
在柯西定理中，如果取x x F =)(，那末 F (b )－F (a ) =a b -, )(/
x F =1， 于是公式（3-4）变成
)()
()(/ξf a
b a f b f =--．
这就是拉格朗日中值定理，可见柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广；在拉格朗日中值公式中，如果令)()(a f b f =，那末
)(/ξf = 0，所以拉格朗日中值定理又是罗尔定理的推广．
习 题 3‐1
1．对函数
inx ns l x f =)(在区间]6
5,6[π
π上验证罗尔定理的正确性．
2．对函数anx arct x f =)(在[0，1]上验证拉格朗日中值定理的正确
性．
3．证明下列不等式： （1）||any t anx t -≥||y x - （)2
,2(,π
π-
∈y x ）
； （2）
x x n l x x
<+<+)1(1
（x >0）
； （3）当x >1时，x e e x
>．
4．对函数3
)(x x f =及1)(2+=x x φ在[1，2]上验证柯西中值定
理的正确性．
5．证明
2
1x
x an
rct a inx rcs a -=
)1,1(-∈x ．
§ 3‐2 罗必塔法则
如果两个函数)(x f 、)(x F 当0x x →（或∞→x ）时，都趋于零或无穷大，那末极限()
)
()
(0
x F x f m
li x x x ∞→→可能存在，也可能不存在，而且不能用商的极限法则进行计算，我们把这类极限称为
型或∞
∞
型未定式．对于这类极限我们将根据柯西中值定理推导出一个简便且重要的方法，即所谓罗必塔（L ’Hospital ）法则．
一、
型未定式 定理1 如果函数)(x f 与)(x F 满足条件： （1）0)()(0
==→→x F m li x f im l x x x x ；
（2）在点0x 的某个邻域内（点0x 可以除外）可导，且
0)(/≠x F ；
（3）)
()
(//0x F x f m li x x →存在（或无穷大），
那末有)
()
()()(//00x F x f im l x F x f m li x x x x →→=存在（或无穷大）．
证 因为)
()
(0x F x f m li x x →是否存在与)(x f 、)(x F 在点0x 有无定义
无关，所以为了适用柯西中值定理，我们可以假定 )(0x f =)(0x F = 0，
这样根据条件（1）、（2）可知，)(x f 、)(x F 在点0x 某一邻域内都是连续的．
设x 为该邻域内的一点，在以x 及0x 为端点的区间上对函数
)(x f 、)(x F 用柯西中值定理，得到
)
()
()()()()()()(//00ξξF f x F x F x f x f x F x f =
--=（ξ在x 和0x 之间）， 在上式两端，令0x x →求极限并注意到0x x →时0x →ξ，并
根据条件（3）有
)
()
()()()()(/
///000ξξξξξF f im l F f im l x F x f m li x x x x x →→→===)()(//0x F x f m li x x →． 证毕
如果)
()(//x F x f 在0x x →时仍是00型未定式，且这时)(/
x f 与
)(/x F 能满足定理中)(x f 、)(x F 所要求满足的条件，那末可以
继续用罗必塔法则，得
)()()()()()(//////0
00x F x f im l x F x f m li x F x f m li x x x x x x →→→==,
且可依此类推． 例1 求 x s co x
s co m
li x 352
π→
．
解 x s co x s co m
li x 352
π→（00
型）=3533552
-=--→
x n si x n si m
li x π． 例2 求1
2
32331+--+-→x x x x x m li x ．
解 1
232331+--+-→x x x x x m li x （00
型）=
1
2333221---→x x x m li x （00
型）＝
23
2
661=-→x x m li x ．
注意：例2两次用罗必塔法则后，极限2
661-→x x
im
l x 不再是未定
式，不能再用罗必塔法则，否则会导致错误．
例3 求3
x inx
s nx ta im
l x -→． 解3
x nx si nx ta m li x -→（00
型）=-=→2203x osx c x ec s m li x =-→x os c x x os c im l x 2
23031=-⋅++⋅→)113
1(2220x osx
c x os c x os c sx co m li x )00(1型2
0x osx c m li x -→21
20==→x
nx si m li x ． 推论 如果函数)(x f 、)(x F 满足条件： （1）0)()(==∞→∞
→x F im l x f m li x x ；
（2）)(/x f 与)(/
x F 当N x >||时存在，且)(/
x F ≠0；
（3）)()
(//x F x f m li x ∞→存在（或无穷大），
那末 )
()
(x F x f m li x ∞→=)()(//x F x f m li x ∞→．
证明从略.
例4 求otx c arc nx ta arc m li x )
2(-+∞
→π
．
解 otx c arc nx ta arc m li x )2(-+∞→π
（00
型）2
21111x x m li x +-
+-=+∞→=1．
二、
∞
∞
型未定式 定理2 如果函数)(x f 与)(x F 满足条件：
（1）当0x x →时，函数)(x f 、)(x F 都趋于无穷大；
（2）在点0x 的邻域内（点0x 本身除外）)(/x f 、)
(/
x F 都存在，且)(/
x F ≠0；
（3）)()
(//0x F x f m li x x →存在（或无穷大），
那末 )
()
(0x F x f m li x x →=)()(//0x F x f m li x x →．
证明与定理1类似．
推论 如果函数)(x f 与)(x F 满足条件：
（1）当∞→x 时，函数)(x f 、)(x F 都趋于无穷大；
（2）)(/x f 与)(/x F 当N x >||时存在，且)(/
x F ≠0；
（3）)
()(//x F x f m li x ∞→存在（或无穷大），
那末 )
()
(x F x f m li x ∞→=)()(//x F x f m li x ∞→．
证明从略. 例5 求inx
ns l x
in ns l m li x 30+→．
解 inx ns l x in ns l m
li x 30+→（∞∞
）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+→osx c inx s x
in s x os c m li x 3330＝ x
in s inx
s m
li x 330+→（00）= x os c osx
c m li x 3330
+→=1．
例6 求)0 ,( >+∞→λμλμ
x x e
x m li ．
解 因为
μ是正实数，所以必存在非负整数n ，使得
1+<<n n μ，连续使用（1+n ）次罗必塔法则，得
x x e x m li λμ+∞→（∞∞
）=x
x e x m li λμλμ1-+∞→=x x e x m li λμλμμ22)1(-+∞
→-= … ＝ x
n n x e x n m li λμλμμμμ1)
1()()2)(1(++-+∞
→--- ＝ μλλμμμμ-+++∞
→---11)
()2)(1(n x n x x e n m li = 0．
三、其它未定式
除了
∞
∞
型和00型未定式之外，还有∞⋅0、∞-∞、∞1、
00、0∞型五种未定式．对于∞⋅0及∞-∞型未定式，我们通过
变形，将它们化成00型或∞∞
型未定式，再使用罗必塔法则求值．对
于∞
1、00、0∞型未定式，可通过取对数将它们化成∞⋅0型未定
式，再变形为00型及∞
∞
型未定式，然后使用罗必塔法则求值．
例7 求)2
(anx arct x m li x -+∞
→π
．
解 )2
(anx arct x m li x -+∞
→π
)0(⋅∞＝
x
anx arct im l x 1)
2
(-+∞
→π
⎪⎭⎫
⎝⎛00=2
2
111x
x m li x -+-+∞→＝ 2
2
1x
x im l x ++∞→=1． 例8 求)1
1(
1nx l x x m li x --→． 解 ))(11(
1∞-∞--→nx l x x m li x )00)()1(1(1nx
l x x nx xl m li x -+-=→＝
21
111)00(11211
=+=+-→→x
x x
m li nx l x nx l m
li x x ． 例9 求x
x x
m li -→11
1
（1∞）
．
解 设x
x
y -=11，两边取对数得
x
nx
l ny l -=
1， 因为 11
1
)00
(1111-=-=-=→→→x m li x nx l m li ny l m li x x x ，
所以
1ln 1
1
111
1-→→-→====→e e e
m li y m li x
m li ny
l m li y
x x x
x x ,
即 x
x x
m li -→111
=1
-e ．
例10 求x
n a t x x im l )
1(0
+→（∞0）．
解 设x
n a t x y )1(=，两边取对数，得
nx l anx t ny l ⋅-=，
因为
)0(0
∞⋅⋅-=+→+→nx l anx t im l ny l im l x x ＝otx c nx l m
li x 0+→-)(∞
∞
=
x
sc c x m li x 201
+→＝0)()00(020=⋅=+→+→nx si x nx si m li x x in s im l x x , 所以 1)1(00
000=====+→+→+→+→e e
e m li y m li x m li ny
l m i l y n l x x xn a t x x ．
例11 求x
x x m li 0
+→（00型）． 解 设x
x y =，两边取对数得 nx xl ny l =, 因为
)(1)0(0
∞
∞=∞⋅=+→+→+→x nx l m
li nx xl m li ny l m li x x x ＝ 0)(0
=-+→x m li x ,
所以
10n l 0
=====+→+→+→+→e e
e
m li y m li x m li ny
l m i l y
x x x
x x ．
习 题 3‐2
1．利用罗必塔法则求下列极限：
（1）
x b
a m li x x x -+→0
； （2）a x a
n si nx si m
li a
x --→；
(3）x an nt l x an nt l m li x 270+→； （4）otx
arcc x n l m
li x )
11(+-∞→．
2．利用罗必塔法则求下列极限： （1）x
x x a m li )1(+∞→； （2）
nx
l x otx c m li 1
0)(→+；
（3）)0(0
>+→n nx l x m li n x ； （4）nx
si x x m li 0
+→；
（5）)11 1(
0--→x x e x m li ； （6）x x nx arcta m li )2
(π+∞→．
3．验证极限inx
s x inx
s x m li x +-∞→存在，但不能用罗必塔法则计算．
§ 3‐3 函数单调性的判定方法
在第一章中我们介绍过函数在区间上的单调性概念．根据单调性定义来判定函数的单调性在多数情况下是困难的．本节我们利用导数来研究函数单调性的判定方法．
从图3-3可以看出，如果函数)(x f y =在区间[a , b ]上单调增加，其图象是一条沿x 轴正向上升的曲线，曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，因此切线斜率/y =)(/
x f >0．
从图3-4可以看出，如果函数)(x f y =在区间[a , b ]上单调减少，其图象是一条沿x 轴正向下降的曲线，曲线上各点切线的
倾斜角都是钝角，因此切线斜率/
y =)(/
x f
<0．
由上面的分析可见，函数在[a , b ]上单调增加时有)(/
x f >0；函数在[a , b ]上单调减少时有)(/
x f <0．
反之，能否用)(/
x f 的符号判定函数)(x f 的单调性呢？
下面我们用拉格朗日中值定理进行讨论:
设函数)(x f y =在区间[a , b ]上连续，在（a , b ）内可导，在[a , b ]上任取两点1x 、2x （1x <2x ），应用拉格朗日中值定理，得到
)())(()()(2112/12x x x x f x f x f <<-=-ξξ． （3-5）
在（3-5）式中，因为2x －1x >0，在（a , b ）内当0
)(/
>x f 时，也有0)(/
>ξf ，于是
图3-3 图3-4
0))(()()(12/12>-=-x x f x f x f ξ,
即 )(1x f <)(2x f ． 就是说，函数)(x f y =在[a , b ]上单调增加．
同理可证，在（a , b ）内当0)(/
<x f 时，函数)(x f y =在[a , b ]上单调减少． 综上所述，得到函数单调性的判定方法：
定理3 设函数)(x f 在区间[a , b ]上连续，在（a , b ）内可导． （1）如果在（a , b ）内0)(/
>x f ，那末函数)(x f y =在区间[a , b ]上单调增加；
（2）如果在（a , b ）内0)(/<x f ，那末函数)(x f y =在区间[a , b ]上单调减少． 注意：若把区间[a , b ]改为开区间或无穷区间，定理3仍然成立．另外，如果在（a , b ）内若干孤立的点有0)(/
=x f ，而其余的点有
0)(/>x f （或0)(/<x f ），则)(x f 在（a , b ）内仍是单调增加
（或单调减少的）．例如3
x y =，032
/
>=x y ，当0=x 时，
0/=y ，3x y =在),(+∞-∞内单调增加．
例1 讨论函数x anx arct y -=的单调性． 解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，而
111
2
/
-+=x
y =0122<+-x x , 因此x anx arct y -=在),(+∞-∞上单调减少．
例2 确定函数31292)(2
3-+-=x x x x f 的单调区间． 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，
)2)(1(612186)(2
/--=+-=x x x x x f ，
令0)(/
=x f ，即
0)2)(1(6=--x x ， 解得
x 1=1 , x 2=2．
列表分析函数的单调性：
所以函数)(x f 的单增区间是),2()1,(+∞-∞ ，单减区间是 (1，2)．
例３ 确定函数32x y =的单调区间．
解 函数的定义域为),(+∞-∞，当0≠x 时， 3
/
32x
y =
；
当0=x 时，导数不存在．显
然，在)0,(-∞内，0/
<y ；在
),0(+∞内，0/>y ．
列表分析函数的单调性：
所以函数y 的单减区间是)0,(-∞，单增区间是),0(+∞，如图 3-5所示．
利用函数的单调性还可以证明一些不等式: 例4 证明当0>x 时，有
221)1(1x x x n xl +>+++．
证 设221)1(1)(x x x n xl x
f +-+++=，因为)(x f 在+∞,0[）上连续，且
=+-++++
+++=2
222
/
1111)1()(x
x x x x x
x x x n l x f 图3-5
2
2222
1111)1(x
x x x x x
x x x x n l +-++++++++＝
2
2
2
11)1(x
x x
x x x n l +-
++++＝
)1(2x x n l ++．
当0>x 时，01)0()(/
/
==>n l f x f ，故)(x f 在),0[+∞上单调增加，因此当0>x 时，)0()(f x f >，而0)0(=f ，所以当
0>x 时，0)(>x f ，即
01)1(122>+-+++x x x n xl ， 221)1(1x x x n xl +>+++．
习 题 3‐3
1．判定函数
osx c x x f +=)(的单调性．
2．确定下列函数的单调区间： (1)x
x y 82+= )0(>x ； (2))1(2
x x n l y ++=； (3)
x e x y -=； (4)nx l x y -=22．
3．证明下列不等式： (1)1
)
1(2+->
x x nx l )1(>x ； (2))1(x n l x +> )0(>x ．
§ 3‐4 函数的极值及其求法
一、函数极值的定义
图3-6
观察图3-6，我们发现曲线)(x f y =上点C 1、C 2、C 4、C 5、C 6是函数)(x f y =单调的分界点． 而且函数)(x f y =在点2x 、
5x 的函数值)(2x f 、)(5x f 比点2x 、5x 左右近旁的函数值都要
大些；在点1x 、4x 、6x 的函数值)(1x f 、)(4x f 、)(6x f 比点1x 、
4x 、6x 左右近旁的函数值都要小些． 对于这些单调分界点的横坐标x 及其对应的函数值)(x f ，我们给出如下定义：
定义1 设函数)(x f 在区间(b a ,)内有定义，x 0是(b a ,)内的一个点，如果存在点x 0的一个邻域，对于这个邻域内的任何 点x ，除了点x 0外，)()(0x f x f <均成立, 那末称)(0x f 是函数的一个极大值；如果存在点x 0的一个邻域，对于这个邻域内 的任何点x ，除了点x 0外，)()(0x f x f >均成立，那末称)
(0x f 是函数的一个极小值．
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取极值的点称为极值点．
在图3-6中，)(2x f 、)(5x f 是函数)(x f 的极大值，点2x 、
5x 称为极大点；)(1x f 、)(4x f 、)(6x f 是函数)(x f 的极小值，
点1x 、4x 、6x 称为极小点．
由函数极值定义可知：
（1）函数极值只在区间（a , b ）内部取得，不可能在区间的端点取得；
（2）函数的极大值和极小值概念是局部性的，极大值可以
比极小值小．图3-6中极大值)(2x f 就比极小值)(6x f 要小； （3）极大值不一定是函数的最大值，极小值也不一定是函数的最小值．最大（小）值是对整个定义域来讲的．在图3-6中，只有一个极小值)(1x f 同时也是最小值，而没有一个极大值是最大值．图3-6中函数的最大值是)(b f ． 二、函数极值的求法
由图3-6可以看出，函数)(x f 对应的曲线在极值点处都有水平切线．根据导数的几何意义可知在极值点x 处必有0)(/
=x f ，对于这样的点x 我们给出如下定义：
定义2 使导数为零的点（即方程0)(/
=x f 的实根）称为函数)(x f 的驻点．
显然，极值点必是驻点，但驻点不一定是极值点． 图3-6中
的点C 3处有水平切线，即有0)(3/
=x f ，点3x 是驻点，但)
(3x f 并不是极值，故点3x 不是极值点．从图形上看，在点3x 的左右近旁函数的单调性没有改变．
根据以上讨论，我们得到以下定理：
定理4 （极值的必要条件）如果函数)(x f 在点x 0处可导，
且在x 0处存在极值，那末)(0/
x f = 0．
证 为确定起见，假定)(0x f 是极大值（极小值情形可类似地证明）．根据极大值的定义，在x 0的某个邻域内，对于任何点x ，除x 0外，)()(0x f x f <均成立，于是， 当x <x 0时， 0)
()(0
0>--x x x f x f ，
因此由§1-2定理4得 0
00
0/
)
()()(0x x x f x f m li x f x x --=-→≥0；
当x >x 0时，
0)
()(0
0<--x x x f x f ，
因此 0
00
0/
)
()()(0x x x f x f m
li x f x x --=+→≤0．
从而得到 )(0/
x f = 0．
由定理4可知，要求函数的极值，必先求出使)(0/
x f = 0的
驻点x 0，而驻点不一定是极值点，因此还要判定求得的驻点是不是极值点． 怎样从驻点中去判定哪些是极值点呢？由函数极值的定义并联系到函数单调性判定法，我们有下面的极值充分条件．
定理5（极值的第一充分条件） 设函数)(x f 在点x 0的一
个邻域内可导且)(0/
x f =0，如果在该邻域内：
（1）当x <x 0时，)(/x f >0，而当x >x 0，)(/
x f <0，那末函数)(x f 在x 0处取得极大值；
（2）当x <x 0时，)(/x f <0，而当x >x 0，)(/
x f >0，那末函数)(x f 在x 0处取得极小值；
（3）当x <x 0与x >x 0时，)(/
x f 不改变符号，那末函数)(x f 在x 0处没有极值．
证 （1）根据函数单调性判定法，)(x f 在x 0的左侧邻近是单调增加的，在x 0的右侧邻近是单调减少的，因此)(0x f 是)(x f 的一个极大值；
同理可证（2）、（3）．
值得指出的是，函数还可能在它的不可导点取得极值，例如§3-3节中的例3就是这样．
例 1 求函数3
2
)3()1()(+-=x x x f 的单调增减区间和极值．
解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞， )35()3)(1()(2
/
++-=x x x x f ， 令)(/
x f =0，得驻点：1,5
3,34321=-=-==x x x x ． 列表分析函数的单调性：
由表可知，函数)(x f 的单增区间是),1()5
,(+∞--∞ ，单减区间是（1,53-
）．极大值3125
1217
35)53(=-f ，极小值是 f （1）= 0，驻点 3-=x 不是极值点．
例2 求函数32
2
3
)(x x x f -=的单调区间和极值．
解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，
3
1/
1)(-
-=x
x f ，
令)(/
x f =0，得驻点x =1，使)(/
x f 不存在的点是x = 0． 列表分析函数的单调性：
由此表可知，函数)(x f 的单增区间是),1()0,(+∞-∞ ，单减区间是（0，1），极大值是f （0）=0，极小值是f （1）=2
1-
． 求函数单调区间和极值的步骤：
（1）求函数)(x f 的定义域；
（2）求)(/
x f ，令)(/
x f = 0求出驻点，找出使)(/
x f 不存在的点0x ，并用这些点将定义域分成若干部分区间；
（3）列表讨论)(/
x f 在各部分区间的符号，分析函数的单调性；
（4）确定函数的单调区间，计算函数的极值．
如果可导函数在驻点处具有不为零的二阶导数，则可用函数
极值的第二充分条件来判定该驻点是否为极值点．在求二阶导数
)(//x f 较易时，用这种方法较第一种方法简便．
定理6（极值的第二充分条件） 设函数)(x f 在点x 0处具有
二阶导数，且)(0/
x f =0，而≠)(0//x f 0，如果
（1）当0)(0//
<x f 时，那末)(x f 在点x 0处取得极大值；
（2）当0)(0//
>x f 时，那末)(x f 在点x 0处取得极小值．
证 （1）由于0)(0//
<x f ，根据二阶导数的定义有
0)
()()(00//0//
<--=→x x x f x f m li x f x x ，
由§1-２定理3，对充分接近x 0的x ，有
0)
()(0
0//<--x x x f x f ，
但)(0/
x f = 0，所以上式即
0)
(0/<-x x x f ．
显然，当x <x 0时，)(/x f >0；当x >x 0时，)(/
x f <0，根据定理5知，)(0x f 为)(x f 的极大值；
同理可证（2）．
当)(0//
x f =0，定理6失效，此时用定理5来判定．
例3 求函数)1()(2
x x x f -=的极值． 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，
2
/
32)(x x x f -=，x x f 62)(//
-=，
令0)(/
=x f ，得驻点01=x ，322=
x ．因为02)0(//
>=f ，所以函数有极小值0)0(=f ；因为02)3
2(//<-=f ，所以函数有极大值f （32）=27
4
．
习 题 3‐4
1．求下列函数的极值： （1）7186223+--=x x x y ； （2）)1(x n l x y +-=； （3）x x y -+=1； （4）osx c e y x =；
（5）x
x e
e y -+=2； （6）
x
x
y 1=；
（7）
3
1)
1(23+-=x y ； （8）
anx t x y +=．
2．试证如果函数
d cx bx ax y +++=23满足条件
032<-ac b ，那末这函数没有极值．
3．试问a 为何值时，函数
x in s inx as x f 331)(+=在3
π
=x 处取得
极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．
§ 3‐5 函数的最大值和最小值的求法
在实际问题中，常常要求在一定条件下使 “效益最大”、“成本最低”、“用料最省”．解决这一类问题，在数学上归结为求某一函数的最大值和最小值问题．
§1-7节定理14告诉我们：如果函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，那末，函数)(x f 在区间[b a ,]上必取得最大值和最小值．显然，要求函数的最大（小）值，必先找出函数)(x f 在[b a ,]上取得最大值和最小值的点．怎样在区间[b a ,]上找出取得最大（小）值的点呢？下面我们就来解决这个问题．
（1）如果函数)(x f 的最大（小）值在区间(b a ,)内部取得，且)(x f 又在(b a ,)内可导，那末最大（小）值只能在驻点取得； （2）如果函数)(x f 在(b a ,)内总是单调增加的（或总是单调减少的），那末函数)(x f 的最大（小）值在[a , b ]的端点取得； （3）由§3-3节的例3和§3-4节的例2知函数在其)(/
x f 不存在的点可能取得极值，那末，函数的最大（小）值也可能在使
)(/x f 不存在的点取得．
综上所述，可知求函数)(x f 在区间[a , b ]上的最大（小）值的步骤为
（1）求驻点处的函数值； （2）求端点的函数值； （3）求使)(/
x f 不存在的点的函数值；
（4）比较上述函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值．
例1 求函数3
22)2(x x y -=在[3,0]上的最大值与最小值．
解 显然，函数322)2(x x y -=在[0，3]上连续，且 3
2
/
23)
1(4x
x x y --=
，
可知，驻点1=x ，不可导点2=x ，端点0=x ，3=x ，这些点
的函数值分别为
0)2()0(==y y ，1)1(=y ，3
9)3(=y ．
那末函数在[0，3]上的最大值为39)3(=
y ，最小值为
0)2()0(==y y ．
例2 求函数x
x
an
arct y +-=11在[0，1]上的最大值和最小值． 解 函数y 在[0，1]上连续，且
2
/
11
x y +-
=，
由于在[0，1]上总有0/
<y ，即函数y 在[0，1]上总是单调减少，
故无极值．最大（小）值只能在区间端点取得，即最大值
4
1)0(π
=
=an arct y ，最小值00)1(==an arct y ．
有时候函数)(x f 在区间(b a ,)内连续可导，有且仅有一个驻点0x ，当)(0x f 是极大值时，则)(0x f 是函数)(x f 在区间(b a ,)上的最大值；当)(0x f 是极小值时，则)(0x f 是函数)(x f 在区间(b a ,)上的最小值，这种确定最大（小）值的方法，在求实际
问题的最大（小）值中经常应用，不必考虑端点的函数值．
求实际问题的最大（小）值有以下步骤： （1）先根据问题的条件建立目标函数； （2）求目标函数的定义域；
（3）求目标函数的驻点（唯一驻点）； （4）求出目标函数在驻点处的函数值，并根据实际问题的性质确定该函数值是最大值还是最小值．
例3 设有电动势为E ，内电阻为r 的电源向可变外电阻R 供电，其中E 、r 是已知的，问R 等于多少时R 中放出的功率最大，并求出这个最大电功率，如图3-7所示．
解 由欧姆定律知电流强度为 r
R E
I +=
， 由焦耳定律知道通过R 的电功率为 P = RI 2 =
2
2
)(r R RE
+ )0(>R ,
这就是电功率P 和电阻R 之间的函数 关系，求这个目标函数的导数，得
3
2/
)
()
(r R R r E P +-=， 令P / = 0，得唯一驻点：R = r ，而电功率本身存在最大值．所以当R = r 时，可变外电阻放出最大电功率为
r
E P 42
=．
例4 轮船用煤费用与其速度的立方成正比．已知速度为10浬/小时，每小时的用煤费用为25元，其余费用为100元．问轮船速度为多少时，所需费用总和为最少？
解 设轮船速度为每小时x 浬时，每小时用煤费用为L ，则L =3
kx ，用10=x ，25=L 代入得401=k ，故3
40
1x L =．又设轮船的总航程为S ，故共用时间为x
S
，再设总费用为y ，则得目标函数为
图3－7
x
S
x S x S x y 10040)100401(
23+
=⋅+= )0(>x ， 232/
20200010020x
S Sx x S x S y -=-=． 令0/
=y ，解得唯一驻点3210=x （浬/小时），而总费用y 存
在最小值，故当轮船速度为3210涅/小时，所需费用总和最少．
例5 要做一个容积为V 的圆柱形油罐，问底半径r 和高h 等于多少时才能使所用材料最省？
解 显然，用材最省就是油罐总表面积最小，如图3-8所示．油罐的侧面积为rh π2，上下底面积为2
2r π，故总表面积为 rh r S ππ222+= )0(>r ， 而容积h r V 2
π=，2
r
V
h π=，故得油罐总表面积（目标函数）为 r
V
r S 222+
=π（)0 >r ， 2
3/
)2(2r
V r S -=π， 令S / = 0，解得唯一驻点32π
V r =，而油罐总表面积存在最小值，故当底半径3
2π
V
r =
时，S 有最小值．此时相应的高h 为 r V
V
V r V h 22223
2
32==⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛==
π
πππ． 可知，容积为V 的圆柱形油罐的底直径和高相等时用材最省．
习 题 3‐5
图3-8
1．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1）522
4
+-=x x y ， –2≤x ≤2 ； （2）2100x y -=， –6≤x ≤8 ；
（3）x x in s y -=2， 2π-
≤x ≤2π； （4）nx l x y =， 4
1
≤x ≤1．
2．欲利用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？
3．甲船以每小时20海里的速度向东行驶，同时乙船在甲船正北82海里处以每16海里的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？
4．某吊车的车身高为1．5米，吊臂长15米，现在要把一个宽6米，2米高的屋架，水平地吊到6米高的柱子上去（如图）,问能否吊得上去（提示：设吊臂对地面的倾角为φ时，屋架能够吊到的最大高度为h ，建立h 与φ角的函数关系式，然后求出h 的最大值）？
5、某厂每批生产某种商品x 个单位的费用为C （x ）=5x +200
（元），得到的收入是
R （x ）=10x –0．001x 2（元）， 问每批应生产多少个单位时才能使利润最大？
§ 3‐6 曲率
在实际问题中，常常要考虑曲线的弯曲程度，曲线的弯曲程度是用曲率来刻划的．而曲率及其计算公式又与弧微分概念紧密相联．因此，本节我们先建立弧微分概念，然后给出曲率定义及其计算公式，再讨论曲率圆、曲率半径及一些简单应用．
一、 弧的微分
设函数y =ƒ（x ）在区间(b a ,)内具有连续导数，在曲线 y =ƒ（x ）上，取固定点M 0（x 0，y 0）作为度量弧长的起点，并规定x 增大的方向作为曲线的正向，如图3-9所示，M （x ，y ）为曲线上任一点，S 表示曲线弧⋂
M M 0的长度，即
S =⋂
M M 0．
显然，S 是x 的函数，即S =
S （x ），而且S 是x 的单调
增加函数．下面我们来求S = S （x ）的微分dS ．
在一般情况下，已知的是曲线方程)(x f y =，而S = S （x ）
却是未知的，此时如何求dS 呢？我们通过适当的变换，将dS 用函数)(x f y =的导数来表示．
给x 以增量Δx （Δx >0），故y 相应地有增量Δy =RM /，弧长S 相应地有增量ΔS =⋂
/
MM ，由导数的定义，可得
x
S m li dx
dS S x ∆∆==→∆0
/．
第 四 题 图
(b )
图3-9
从图3-9可以看出，在Δx →0时，点M /沿曲线无限接近M 点，即
1|
|/
/
0=⋂
→∆MM MM m li x ． （3-6） 另外，还可以看出，在直角三角形ΔMRM /中，
（|MM /|）2 =（Δx ）2 +（Δy ）2， 上式变形为
2
2
2
/1x S ||⎪
⎭⎫ ⎝⎛∆∆+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆∆⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆x y S MM ， 在Δ→x 0时，取上式两边的极限，得
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∆→∆
→∆202
2/
01||x y m li x S S MM im l x x ， 利用（3-6）式，上式变为
2
21⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx dS ，
两边开平方得
2/1y dx
ds
+±=, 而S （x ）是x 单增函数，故取正号，于是有
dx y ds 2/1+=． （3-7） 这就是弧的微分公式．
显然，弧微分dS 等于曲线)(x f y =在点M ),(y x 处的切线对应区间[x x x ∆+,]上的一段长|MN |，即||MN dS =． 例1 求曲线x x y 33
-=的弧的微分．
解 因为332/
-=x y ，所以由弧微分公式（3-7）得 dx x x dx x ds 10189)33(12
4
2
2
+-=-+=．
二、 曲率及其计算公式 1、曲率的概念
曲率是用来刻划曲线的弯曲程度的．而曲线的弯曲程度又与
哪些量有关呢？请看图3-10和图3-11．
观察图3-10，设两曲线弧⋂MN =⋂
1MN =ΔS ，当动点M 沿曲线弧⋂MN 移动到点N （或沿曲线弧⋂
1MN 移动到点N 1）时，两段弧切线的转角分别为Δ2α和Δ1α，显然，Δ2α>Δ1α，它表示曲线弧⋂MN 比曲线弧⋂
1MN 弯曲得厉害一些．由此可见，在弧长相等的情况下，切线转角α∆越大，曲线弯曲程度就越大．
观察图3-11，两曲线弧⋂
MN （动点M 沿曲线弧移动到点N ），
⋂
11N M （动点M 1沿曲线弧移动到点N 1）切线的转角相等，都等
于Δα．显然，弧长短的曲线弧⋂11N M 比弧长长的曲线弧⋂
MN 弯
曲得厉害一些．由此可见，在切线转角相等的条件下，弧长越短的曲线弧的弯曲程度就越大．
综上所述，可见曲线的弯曲程度不仅与切线的转角Δα的大小有关，而且还与曲线弧的弧长ΔS 的长短有关．通常我们用比值
=K S
∆∆α, （3-8）
来刻划一段弧的弯曲程度．这个比值越大，曲线的弯曲程度就越大，比值越小，曲线的弯曲程度就越小．我们把这个比
值称为该弧段的平均曲率． 图3-10
1
图3-11
图3-12
一般说来，弧⋂
/MM 上各点附近的弯曲程度是不相同的, 如图3-12所示．所以平均曲率只能表示整段弧的平均弯曲程度．显然，弧段⋂
/MM 越短，平均曲率K 就越能近似显示弧段上点M 处的弯曲程度．因此，我们给出曲线在某一点的曲率的定义： 定义3 当点M /
沿曲线趋于点M 时，弧⋂
/
MM 的平均曲率K 的极限叫做曲线在点M 处的曲率，记作K ，即
==→K K M
M /
lim ds
d S S α
α=∆∆→∆0lim , （3-9）
其中，切线转角α∆用弧度作单位，K 及K 的单位为弧度/单位
长．
2、曲率的计算公式
由公式（3-7）知dx y ds 2/1+=，又由导数的几何意义知
αan t y =/，因此得
/
any arct =α, （3-10）
其中)(//x f y =，可知，α通过)(/
/x f y =成为x 的复合函数．在（3-10）式的两端求微分，得
dx y
y y dy d 2
///
2//11+=+=α, 用αd 和ds 代入（3-9）式，得曲线)(x f y =在点M （y x ,）处
的曲率为
2
32///)
1(||||y y ds
d K +=
=α
． （3-11）
应当注意，公式（3-11）是在曲线方程为直角坐标方程时计算曲率的公式；如果曲线方程为参数方程⎩⎨
⎧==)
(,
)(t y t x ψϕ时，那末可
利用参数方程求导法求出/
y 、//
y ，再用公式（3-11）求曲率；如果曲线方程为极坐标方程)(θρf =时，那末可把方程化为直角坐标系下以θ为参数的参数方程，再用公式（3-11）便可求得。