模糊数学3(水平截集、最大隶属原则)讲解

实例：苹果等级识别
1. 训练样本集的建立：从苹果的横径、色泽以 及果形指数三个方面把苹果分为四类，精品 果、二级果、三级果、四级果。
2. 样本集训练步骤:原始数据标准化等，建立标 准类型（模式）－聚类分析。
3. 试验结果：对52个苹果进行训练，精品果、 二级果、三级果、四级果各30个，正确率达 到95％ 。
需要一种沟通模糊子集和普通集合的办法。
若对模糊子集给出一个确定的阈值 ，则模
糊子集的元素可分成“非此即彼”的两种情
形：A (u) 和A (u) 。于是，诱导出在
意义下的普通集合。
§1.2.1 水平截集
定义 1.2.1 水平截集
给定论域U，对 AF(U), 0,1 ，称普通集合
5. 非T1(8典561型,05T三0m,i角4n5形)3ImC5I,1i5n6(1T1RI01Cm61mi0R6n50imnE8iCn5E10).A9Cm510i6,InB5,I10,C1B4R5CRI,C1,1,1E9EC1R0，,1A0.90E06
u2
1 2 3
u3
1 2 3 A
u1 u2 u3
§1.2.3 扩张原则
水平截集说明了模糊子集向普通集合的转化过程； 分解定理则是相反过程，利用一系列普通集合（集 合套）求并得到模糊子集，从而将模糊集合论中的 问题转化到普通集合论的问题来解决。
而扩张原则却是把普通集合论的方法直接扩展到 模糊集合论。
其隶属函数为 A (u) A (u)
称 A 为数 与模糊子集 A 的数乘。
特别地，当 A 为普通集合时： A (u) CA (u)
如果把 A 视为模糊子集，其隶属函数为：
1 A (u) CA (u) 0
min

A

B,
B

C
A即A2与.隶近BB属R与似（(度AB直或,趋角BBC于,与的 三C1差 C角)。）值形愈1愈R接大，9近1,0u其，I(AA隶三,1B属角,9C函0形a)越数um不为(Ai等n, B腰,CA)愈 B接,近B等腰C三角形，
三例角2形：内三角角分别形为识：别A问题850U, B (A5,0B0,C, C)A B45C0 ，18判00,别A属 B何类C ？ 0
A uu U, A(u)
为模糊子集 A 的 水平截集。
“及格者A”(u)
A0.6 所谓u1取,u一2个,u模4,糊u5子集的水平
01当 该“所元 应优谓素 试良u的者i者“（属”择A应于优试“A录者优0.取）胜8 U”的者，隶”uC截式1即属，,A集转u(为度否2，化u,)u确则就为A5(是特定不u1i将征0一属) 隶 函个于属 数阈“函 ：AA值优((数u时u胜))按，，下
（2）若1，2 0，1且1 2 A1 A2
性质（2）说明截集水平 越低， A 越大；
反之u，截集( A水平 B越)高 ，A 越小A B (u)
1

2
1
maxA(u) A (u), B从从(图1u逐中)渐可减见小，而当到0时的，取相值
进行识别并分类。
这种分类是在已知模式的前提下进行的，也就是将 整体划分为若干类型，作为一组标准模式。对于某个 具体对象，判别它属于那个模式，即属于那一类。
整体被划分的类型（模式）和被识别的对象，如果 是某个论域中的模糊子集，这种模式识别就称为模糊 模式识别。
§1.3.1 最大隶属原则
整体被划分的类型（模式）和被识别的对象，如果 是某个论域中的模糊子集，这种模式识别就称为模糊 模式识别。
A (u) 或B应得(u的到)一A系 逐列渐普扩通展集，合从。而
0Au1 AA2或u U B u A B
§1.2.2 分解定理
定义1. 2.2 数乘
设 A 是论域U上的一个模糊子集( A F(U ) )， 0,1
由, A 构成一个新的模糊子集，记为 A ，
“及格者” A0.6 u1,u2,u4,u5 “优良者” A0.8 u1,u2,u5 0 1
“优秀者” A0.9 u1,u2 “满分者” A1 u1
A (u)
§1.2.1 水平截集
实际问题的某个时刻，需要判断某个元素对 模糊子集的明确归属，这就要求模糊子集与 普通集合可以依据某种法则相互转化。

第一次作业
1、什么是模糊性？ 2、普通集合与模糊子集的区别与联系？ 3、已知论域U={a，b，c，d }
“圆块”模糊子集： A 1 0.7 0.4 0 ab cd
“方块”模糊子集： B 0 0.4 0.7 1 ab cd
求：A B和A B以及AC
4、什么是模糊模式识别？一般分为那几种方法 ？
1. 近似等腰三角形
I
，
I
(85I,(5A0,
4B5,)C
)1
11mi1n8m5in50A,50B4,5B 0C.916
60 60
2. 近似直角三角形
R，
R(R8(5A,5, 0B,,4C5)

11 11 8A5 9900 9900

0.94
3. 近似正三角形 E ，
设有映射 f :U V
如果在论域U上给定一个普通集合A，则可通过映 射 f 得到V 中的一个普通集合B，记为 B f (A) ， 且 B V 。称B是由 f 产生的A的象，A是B的原象
论域U上模糊子集 A在 f 下的象？ 1975年，zadeh，公理
§1.2.3 扩张原则
给定两个论域U、V，以及映射
研究：模式为论域U中的n个模糊子集
被识别的对象分为单个确定的元素或模糊子集
直接方法：对象为单个确定的元素，通过直接计算 被识别对象的隶属函数以判别其属于那个模糊子集， 最大（极大）隶属原则。
间接方法：对象为群体，模糊子集，判别与那一种 已知的模糊子集最“贴近”，择近原则。
模式识别主要包括三个步骤 :
u u
A A


0
u A u A
§1.2.2 分解定理
分解定理：
对论域U上的一个模糊子集 A ( A F(U ) )，有
A 0,1 A
A(u)
1
1
A(u) A3

3
2
A 2
0
A
U
1
0 u1u2 u3
A1
U
分依§解据定和1理 实.2给 际.2出 做利 法用。分普解通集定合 理A表示模糊子集 A的理论
·v1 0.8 V ·v2 0.7
v3 0.5
· U 0.8 u1 · 0.7 u2 · 0.5 u3
·v1 0.8 V ·v2 0.5
v3 0
映射后的隶属度保持不变！
扩张原则把普通集合论的方法直接扩展 到模糊集合论。
§1.3.1 最大隶属原则
模式识别： 对所研究的具体对象，根据它的某些特征
则认为u 0相对隶属于模糊子集 Al 。
例1：U 甲，乙，丙，论域U 上有三个模糊子集
A（1 研究能力强），A2（一般）， A3（差）：
A1

0.8 甲

0.3 乙

0.1丙;
A2

0.2甲
0.6 乙

0.1 丙
A3

0 甲

0.1 乙

0.8 丙
那么，甲、乙、丙应归于那一类？
max A1(甲), A2(甲), A3 (甲) max0.8, 0.2, 0 A1(甲)
f :U V
则对 A F(U ), f (A) B 是论域V上的一个模
糊子集，即 B F(V )
其隶属函数为
B (v)

f

(u )v
A (u),
u
U,v V
如果没有 u 使得 f (u) v ，则规定 B (v) 0。
· U 0.8 u1 · 0.7 u2 · 0.5 u3
E
(8A5,,
B50,,C4)5)11 11 A85C45
118800

0.77
4. 近似等腰直角三角形 II RR(85，,50,45) min0.916,0.94 0.916
I R ( A, B,C) min I ( A, B,C), R ( A, B,C)
第一章 模糊集合的一般概念
§1.1 模糊子集的定义及运算 §1.2 水平截集、分解定理、扩张原则
§1.2.1 水平截集
§1.2.1 水平截集
引例：5位应试者参加的选拔考试中， 5位 应试者及其成绩如下表所示（百分制）：
u 应试者
1
u2
u3
u4 u5
成 绩 100 90 50 60 80
如何按“择优录取”的原则来挑选优胜者
分解定理： A 0,1 A
任取 0,1，可将 A 切割为 A ，而将所有
的 A 拼凑起来组成0,1 A，就得到 A ，
即任何一个模糊子集可由一类集合套来表示
1
A(u)
3
2 1
0 u1u2 u3
A3 当 遍取 0,1中，对 u U
1. 提取特征，首先需要从识别对象中提取与识 别有关的特征，并度量这些特征，于是每个 识别对象就对应一个向量，建立训练样本。
2. 建立标准类型的隶属函数，标准类型通常是 论域上的模糊子集。
3. 建立识别判决准则，确定某些归属原则，以 判定识别对象属于哪一个标准类型。
常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法） 和择近原则（间接法）两种。
恰好取各 点隶属函数的最大值，
将这些点连成一条曲线，正是模
糊子集 的A隶属函数。
1
A1

1
u1

1
u2

1
u3
,

2

A 2

0 u1

2
u2

2
u3
,3
A 3

0 u1

0 u2

3
u3
0,1 A

1 0 0
u1

1 2 0
A 2
A(u) 的值就是含有元素 u
的一切 A中的最大的 值。
AU1
1

A1

1Baidu Nhomakorabeau1

1 u2
,

2

A 2

0 u1

2 u2
1
A(u)
3
2 1
0 u1u2 u3
A 3
A 2
AU1
当 遍取[0,1] 中的实数时，按模
糊子集求并运算的规则，0,1 A
“模糊模式识别在计算机识别中的应用研究”， 张娜等，微计算机信息，2004，20（6）
§1.3.1 最大隶属原则
设 A1, A2, An 是论域U上 n 个模糊子集，u0 U
若有 l 1, 2,, n，使
Al (u0) max A1(u0), A2(u0),, An (u0)
设模糊子集 A 表示“优胜者”，以各人成 绩与最高分的比值作为属于A 的隶属度。
A 1 0.9 0.5 0.6 0.8 u1 u2 u3 u4 u5
§1.2.1 水平截集
u 应试者
1
u2
u3
u4 u5
成 绩 100 90 50 60 80
“优胜者”的模糊子集A
A 1 0.9 0.5 0.6 0.8 u1 u2 u3 u4 u5
§1.2.1 水平截集
A(u)
1

CA (u)
1

0
U0
A
水平截集的性质：
U
A
（1）( A B) A B , ( A B) A B
（2） 若1，2 0，1 且1 2 A1 A2
§1.2.1 水平截集
水平截集的性质：
（1）( A B) A B , ( A B) A B
§1.3.2 应用实例
机器自动识别染色体或白血球分类，应用几何图形识别
例2：三角形识别问题
设三角形论域 U (A, B,C)A B C 1800, A B C 0
现给出各种类型的三角形隶属函数。
1. 近似等腰三角形 I ，其隶属函数为

I
(
A,
B,
C)

1

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