三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：空间几何体的三视图、表面积和体积

空间几何体的三视图、表面积和体积
1.（2019全国II 文16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）
2.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.
（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；
（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．
3.(2019全国III 文16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长
方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
4.（2019江苏9）如图，长方体1111ABCD A B C D 的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱
锥E -BCD 的体积是 .
5.（2019天津文12
.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
6.（2019北京文12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如
果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
7.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是
A ．158
B ．162
C ．182
D ．32
8．(2018全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该
圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A
．
B ．12π
C
．
D ．10π
9．(2018全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在
正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
A
．
B
． C ．3 D ．2
10．(2018全国卷Ⅰ)在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C
所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．8
B
．
C
．
D
．11．(2018全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进
部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
B
A
12．(2018全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为
等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC 体积的最大值为 A
．
B
．
C
．
D
．13．(2018浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）
是
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
14．(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
15．（2017新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2
的同一个球的球
俯视图
正视图
俯视图
侧(左)视图正(主)视图
面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ．
34π C ．2π D ．4
π 16．（2017北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A ．60
B ．30
C ．20
D ．10
17．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）
是
A ．
12
π
+ B ．32π+ C ．
312π+ D ． 332π+ 18．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三
视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
俯视图
侧视图
正视图
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
19．(2018天津)如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的
体积为__．
20．(2018江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积
为 ．
21．（2017新课标Ⅰ）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的
直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为________．
22．（2017新课标Ⅱ）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则
球O 的表面积为 ．
23．（2017天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18
，
D 1
C 1
B 1
A 1
D C
B
A
则这个球的体积为 ． 24．（2017山东）由一个长方体和两个
1
4
圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．
25．（2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相
切。

记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则
1
2
V V 的值是 ．
27．(2018全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为
折痕将∆ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． (1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2
3
BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP - 的体积．
俯视图
侧视图（左视图）正视图（主视图）
62．（2017新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，
且90BAP CDP ∠=∠=o ．
(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
(2)若PA PD AB DC ===，90APD ∠=o ，且四棱锥P ABCD -的体积为8
3
，求该四棱锥的侧面积．
答案
1.解析：该半正多面体共有888226+++=个面， 设其棱长为x
，则122
x x x +
+=
，解得1x =． 2.解：（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，
故11B C BE ⊥.
又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C .
（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒
∠=∠=，
M
P Q D
C
B
A
P
A
B
C
D
故AE =AB =3，126AA AE ==.
作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==. 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1
363183
V =
⨯⨯⨯=.
3.解析 该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==，14cm AA =，所以该模型体积为：
1111311
664(46432)314412132(cm )32
ABCD A B C D O EFGH V V ---=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=，
3D 打印所用原料密度因为为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，
所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)⨯=． 4.解析 因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，
所以11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，
所以三棱锥E BCD -的体积：
111
332E BCD BCD V S CE BC DC CE -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=V
11
1012
AB BC DD ⨯⨯⨯=.
5.解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，
F
正四棱锥的高为2.
因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形
所以该圆柱的体积为2
112V Sh ⎛⎫
==π⨯= ⎪⎝⎭
6.解析 三视图对应的几何体，是在棱长为4的正方体上，去掉一个底面为梯形(上底为2，下底为4，高为2)、高为4的四棱柱而得到， 故其体积()1
44424246424402
V =⨯⨯-
⨯+⨯⨯=-=. 7.解析：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解， 即11
(46)3(26)32722
ABCDE S =
+⨯++⨯=五边形，高为6， 则该柱体的体积是276162V =⨯=． 故选B ．
8．B 【解析】∵过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的
高为，底面圆的直径为
2212ππ⨯⨯+⨯=．故选B ．
9．B 【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长
16．画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN ，则2=MS ，4=SN ，则从M
到N ==B ．
图① 图②
10．C 【解析】连接1BC ，因为AB ⊥平面11BB C C ，所以130AC B ∠=o
，1AB BC ⊥，所
以1ABC ∆为直角三角形．又2AB =，所
以1BC =，又112B C =，所
以
1BB ==
22V =⨯⨯=
11．A 【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A ．
12．B 【解析】设等边三角形ABC 的边长为x
，则
2
1sin 602
x =o 6x =． 设ABC ∆的外接圆半径为r ，则6
2sin 60r =o
，解得r =，所以球心到ABC ∆所
在平面的距离2d =
=，则点D 到平面ABC 的最大距离146d d =+=，
所以三棱锥D ABC -
体积的最大值max 11
6633
ABC V S ∆=
⨯=⨯=故选B ． 13．C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体
的体积1
(12)2262
V =
⨯+⨯⨯=．故选C ． 14．C 【解析】解法一 将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和
底面垂直的四棱锥，如图所示，
易知，BC AD ∥，1BC =，2AD AB PA ===，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，故PAD ∆，PAB ∆为直角三角形，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，
PA BC ⊥，又BC AB ⊥，且PA AB A =I ，∴BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面
PAB ．
BC PB ⊥，∴PBC ∆为直角三角形，容易求得3PC =
，CD =
，PD =，S
N
M
D
C
B
A P
故PCD ∆不是直角三角形，故选C ．
解法二 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P ABCD -，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C ．
15．B 【解析】圆柱的轴截面如图，1AC =，1
2
AB =
，
所以圆柱底面半径r BC ==，
那么圆柱的体积是2
23
14
V r h πππ==⨯⨯=，故选B ．
16．D 【解析】借助立方体可知所求三棱锥为下图粗线部分
该几何体的体积为11
(35)41032
V =
⨯⨯⨯=．选D ． 17．A 【解析】该几何体是由一个高为3的圆锥的一半，和高为3的三棱锥组成（如图），
P
D
C
B
A
C
B
A
4
其体积为：21111(13)(213)13232
2
π
π⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
+．选A ．
18．B 【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，
故其体积为221
π36π3463π2
V =
⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B ． 19．1
3
【解析】解法一 连接11A C ，交11B D 于点E ，则111A E B D ⊥，11A E BB ⊥，则1A E
⊥ 平面11BB D D ，
所以1A E 为四棱锥111A BB D D -的高，且12
A E =，矩形11B
B D D
1，故111
11
133
A B
B D D V -=⨯=． 解法二 连接1BD ，则四棱锥111A BB D D -分成两个三棱锥111B A DD -和111B A B D -
1111111111111
11111132323
A B
B D D B A DD B A B D V V V ---=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．
20．4
3
【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正
，则该正八面体的体积为214233
⨯⨯=． 21．36π【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ，
因为,SA AC SB BC ==，所以,OA SC OB SC ⊥⊥． 因为平面SAC ⊥平面SBC ，所以OA ⊥平面SBC ． 设OA r =，
31111
23323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=
所以31
933
r r =⇒=，
所以球的表面积为2
436r ππ=．
22．14π【解析】球的直径是长方体的体对角线，设球O 的半径为R ，所以
224π14π.R S R ====
23．
9π
2
【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，
外接球直径为344279
23,πππ3382
R V R ====⨯=.
24．22
π
+
【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半
径为1,所以2π1π21121242
V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+． 25．3
2【解析】设球的半径为r ，则
213223423
V r r V r ππ⨯==． 26．【解析】(1)由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．
又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ． 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC ．
(2)由已知可得，3===DC CM AB
，=DA ． 又2
3
BP DQ DA ==
，所以BP =． 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE =P 1
3
DC ．
由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，1=QE ． 因此，三棱锥Q ABP -的体积为
111
13451332
-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△Q ABP ABP V QE S ．
27．【解析】（1）由已知90BAP CDP ==︒∠∠，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．
由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ．
E
M
P Q D
C
B
A
又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．
（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．
由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ． 设AB x =
，则由已知可得AD =
，2
PE x =
． 故四棱锥P ABCD -的体积
311
33
P ABCD V AB AD PE x -=
⋅⋅=． 由题设得
318
33
x =，故2x =． 从而2PA PD ==
，AD BC ==
PB PC ==． 可得四棱锥P ABCD -的侧面积为
21111
sin 6062222
PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+
P
A
C
D E。