耦合电感电路分析

在正弦交流电路中， 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
U1 = jωL I 1 ± jωM I 2 1
• •
•
•
•
U2 = ±jωM I 1 + jωL2 I 2
注
两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正， 两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正， 否则取负。表明互感电压的正、 否则取负。表明互感电压的正、负： （1）与电流的参考方向有关。 ）与电流的参考方向有关。 （2）与线圈的相对位置和绕向有关。 ）与线圈的相对位置和绕向有关。
3.耦合电感的T 3.耦合电感的T型等效 耦合电感的
同名端为共端的T （1） 同名端为共端的T型去耦等效
10.2 含有耦合电感电路的计算
1. 耦合电感的串联
（1） 顺接串联 i + + R1 L1 u1 M – +* u i + R u L – L2 R2 u2 – –
*
u = R i + L di + M di + L2 di + M di + R2i 1 1 dt dt dt dt = ( R + R2 )i + (L + L2 + 2M) di 1 1 dt = Ri + L di dt
•
U2
•–
–
•
U
U = ( R + R2 ) I+ jω( L + L2 + 2M) I ± – 1 1
相量图： 相量图：
•
•
U
•
jωM I
•
jωL2 I jωM I
•
•
•
U2
•
jωL2 I
•
R2 I
•
jωM I
•
jωL1 I jωM I U • R1 I U2
•
•
•
•
R1 I jωL1 I
U1 •
di1 di2 u= L −M 1 dt dt di2 di1 u = L2 −M dt dt
i = i1 +i2
的关系： 解得u, i 的关系： 等效电感： 等效电感：
(L L2 − M2 ) di u= 1 L + L2 + 2M dt 1
(L L2 − M2 ) Leq = 1 ≥0 L + L2 + 2M 1
1'
*2 ♦
2'
+ V –
如图电路，当闭合开关 时 增加 增加， 如图电路，当闭合开关S时，i增加，
di > 0, dt
u22' = M di > 0 dt
电压表正偏。 电压表正偏。
当两组线圈装在黑盒里， 只引出四个端线组， 当两组线圈装在黑盒里 ， 只引出四个端线组 ， 要 确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。 确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。
dΨ di1 11 u11 = =L 1 dt dt
自感电压
dΨ di1 21 u21 = =M dt dt
互感电压
当两个线圈同时通以电流时， 当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压 均包含自感电压和互感电压： 均包含自感电压和互感电压：
di1 di2 u1 = u11 + u12 = L ±M 1 dt dt di1 di2 u2 = u21 + u22 = ±M + L2 dt dt
di1 u21 = M21 dt
di1 u31 = −M31 dt
注意：线圈的同名端必须两两确定。 注意：线圈的同名端必须两两确定。
确定同名端的方法： 确定同名端的方法： 当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出) (1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两 个电流产生的磁场相互增强。 个电流产生的磁场相互增强。
2. 耦合系数 (coupling coefficient)
用耦合系数k 表示两个 线圈磁耦合的紧密程度。 线圈磁耦合的紧密程度。
k=
def
M ≤1 L1 L2
称全耦合: 当 k=1 称全耦合 漏磁 Φ s1 =Φs2=0 即 Φ11= Φ21 ，Φ22 =Φ12 一般有： 一般有：
M M2 (M 1 )(M 2 ) i i ψ12ψ21 k= = = = ≤1 L L2 L i1L2i2 ψ11ψ22 L L2 1 1 1
ψ1 =ψ11 ±ψ12 = L i1 ± M12i2 1 ψ2 =ψ22 ±ψ21 = L2i2 ± M21i1
M M 为互感系数， (H 称 12、 21为互感系数，单位亨 )。
值与线圈的形状、 值与线圈的形状 几何位置、空间媒质有关， 注 （1）M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与 线圈中的电流无关，满足 线圈中的电流无关，满足M12=M21 总为正值， 值有正有负 值有正有负. （2）L总为正值，M值有正有负.
R = R + R2 1
L = L + L2 + 2M 1
去耦等效电路
i （2） 反接串联 i + + R1 L1 u1 M – + u + L2 R2 R u L –
*
* u2
– –
u = R1i + L1 di − M di + L2 di − M di + R2i dt dt dt dt = ( R1 + R2 )i + (L1 + L2 − 2M) di = Ri + L di dt dt
耦合电感上的电压、 3. 耦合电感上的电压、电流关系
为时变电流时， 磁通也将随时间变化， 当 i1 为时变电流时 ， 磁通也将随时间变化 ， 从而在线 圈两端产生感应电压。 圈两端产生感应电压。 符合右手螺旋时， 当i1、u11、u21方向与Φ 符合右手螺旋时，根据电磁感 应定律和楞次定律： 应定律和楞次定律：
L = L + L2 − 2M 1 L = L1 + L2 − 2M ≥ 0 M ≤ 1 (L + L2 ) 2 1
互感不大于两个自感的算术平均值。 互感不大于两个自感的算术平均值。
R = R + R2 1
互感的测量方法： 互感的测量方法：
L顺 − L反 顺接一次，反接一次，就可以测出互感： 顺接一次，反接一次，就可以测出互感： M = 4
2
等效电感： 等效电感：
(L1 L2 − M2 ) Leq = ≥0 L1 + L2 − 2M
如全耦合： 如全耦合：L1L2=M2
物理意义不明确) 当 L1≠L2 ，Leq=0 (物理意义不明确) M i1 * L1 i2 * L2
L1=L2 ， Leq=L (相当于导线加粗，电感不变) 相当于导线加粗，电感不变) 相当于导线加粗 （2） 异侧并联 ） i + u –
例
i 1* 1'
Φ
*
2 2'
• 1 * 1'
2
∆
3 3' • ∆
2'*
当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时， (2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将 会引起另一线圈相应同名端的电位升高。 会引起另一线圈相应同名端的电位升高。
同名端的实验测定： 同名端的实验测定：
R S 1 i ♦ *
M + u _ R1 * L1 i1 + * R2 u2 L2 _ 10
i1/A
0
1
2
t/s
解
10 V di1 u2(t ) = M V = −10 dt 0
0 ≤ t ≤ 1s 1 ≤ t ≤ 2s 2≤ t
V 0 ≤ t ≤ 1s 100 t + 50 di1 u(t ) = R i1 + L V 1 ≤ t ≤ 2s = −100 t +150 1 dt 2≤ t 0
M = L1 L2
2
全耦合时
L = L + L2 ± 2M = L + L2 ± 2 L L2 1 1 1 = ( L ± L2 ) 1
当 L1=L2 时 , M=L L= 4M 0
顺接 反接
•
I
在正弦激励下： 在正弦激励下： +
• •
R1
+
•
U1
* •
jω M jω L1 R2 – +
•
*
jω L2
定义Ψ ：磁链 (magnetic linkage)，ψ =Nφ ， 当线圈周围无铁磁物质(空心线圈) 成正比, 当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，Ψ与i 成正比,当只有 一个线圈时： 一个线圈时：
L为自感系数， (H ψ1 =ψ11 = L i1 称 1为自感系数，单位亨 )。 1
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与 当两个线圈都有电流时， 互磁链的代数和： 互磁链的代数和：
耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关 耦合系数 与线圈的结构、相互几何位置、 与线圈的结构 利用——变压器：信号、功率传递 变压器： 利用 变压器 信号、 互感现象 避免——干扰 避免 干扰 克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。 克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。
第10章 含有耦合电感的电路 10章
重点 1.互感和互感电压 1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 2.有互感电路的计算 3.空心变压器和理想变压器 3.空心变压器和理想变压器
10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、 电视机中的中周线圈、振荡线圈， 电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器 等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性， 等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含 这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
•
4.互感线圈的同名端 4.互感线圈的同名端
对自感电压， 当 u, i 取关联参考方向，u、 i与Φ 符 对自感电压 ， 取关联参考方向 ， 与 合右螺旋定则， 合右螺旋定则，其表达式为
dΨ dΦ di1 11 11 u11 = = N1 = L1 dt dt dt
i1
u11
说明， 上式 说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈 上的，只要参考方向确定了， 上的 ，只要参考方向确定了， 其数学描述便可容易地写 可不用考虑线圈绕向。 出，可不用考虑线圈绕向。 对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上， 对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上， 因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。 因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在 电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的 电路分析中显得很不方便。 概念。 概念。
Φ11
1. 互感
N1 i1 + u11 – + N2 u21 –
Φ 21
线圈1 在线圈1中产生磁通( 线圈 1 中通入电流 i1 时 ， 在线圈 1 中产生磁通 (magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称为 ，同时，有部分磁通穿过临近线圈2 互感磁通。两线圈间有磁的耦合。 互感磁通。两线圈间有磁的耦合。
•
•
I
U1
•
I
(a) 顺接
R2 I (b) 反接
2. 耦合电感的并联
（1） 同侧并联 ）
i + u – i1 * L1
M * i2 L2
di1 di2 u = L1 +M dt dt di2 di1 u = L2 +M dt dt
i = i1 +i2
的关系： 解得u, i 的关系：
(L1 L2 − M ) di u= L1 + L2 − 2M dt
i1 + u1 _ * L1 M L2 * i2 + u2 _
di1 di2 u1 = L1 −M dt dt di1 di2 u2 = −M + L2 dt dt
i1 + u1 _ * L1 M L2 * i2 _ u2 +
u u 例 已知 R1 = 10Ω, L = 5H, L2 = 2H, M = 1H, 求 (t)和 2(t) 1
由同名端及u、 参考方向确定互感线圈的特性方程 由同名端及 、i参考方向确定互感线圈的特性方程 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用， 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再 考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。 考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。
M * i1 M * i1 * – u21 +
di1 u21 = −M dt
* +
u21 –
di1 u21 = M dt
例
+ u1 _
i1 * L1ຫໍສະໝຸດ M * L2i2 + u2 _ + u1 _
i1 * L1
M L2 *
i2 + u2 _ 写 出 图 示 电 路 电 压、 电 流 关 系 式
di1 di2 u1 = L1 +M dt dt
di1 di2 u2 = M + L2 dt dt
同名端
当两个电流分别从两个线圈的对应端子同 时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时， 时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时， 则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。 则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。
Φ11
Φs Φ0
i1
+
* •
N1 u11
N2 N3 i2 • i3 * △ △ – + u21 – + u31 –