耦合电感电路分析

在正弦交流电路中， 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
U1 = jωL I 1 ± jωM I 2 1
• •
•
•
•
U2 = ±jωM I 1 + jωL2 I 2
注
两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正， 两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正， 否则取负。表明互感电压的正、 否则取负。表明互感电压的正、负： （1）与电流的参考方向有关。 ）与电流的参考方向有关。 （2）与线圈的相对位置和绕向有关。 ）与线圈的相对位置和绕向有关。
dΨ di1 11 u11 = =L 1 dt dt
自感电压
dΨ di1 21 u21 = =M dt dt
互感电压
当两个线圈同时通以电流时， 当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压 均包含自感电压和互感电压： 均包含自感电压和互感电压：
di1 di2 u1 = u11 + u12 = L ±M 1 dt dt di1 di2 u2 = u21 + u22 = ±M + L2 dt dt
10.2 含有耦合电感电路的计算
1. 耦合电感的串联
（1） 顺接串联 i + + R1 L1 u1 M – +* u i + R u L – L2 R2 u2 – –
*
u = R i + L di + M di + L2 di + M di + R2i 1 1 dt dt dt dt = ( R + R2 )i + (L + L2 + 2M) di 1 1 dt = Ri + L di dt
di1 di2 u= L −M 1 dt dt di2 di1 u = L2 −M dt dt
i = i1 +i2
的关系： 解得u, i 的关系： 等效电感： 等效电感：
(L L2 − M2 ) di u= 1 L + L2 + 2M dt 1
(L L2 − M2 ) Leq = 1 ≥0 L + L2 + 2M 1
•
4.互感线圈的同名端 4.互感线圈的同名端
对自感电压， 当 u, i 取关联参考方向，u、 i与Φ 符 对自感电压 ， 取关联参考方向 ， 与 合右螺旋定则， 合右螺旋定则，其表达式为
dΨ dΦ di1 11 11 u11 = = N1 = L1 dt dt dt
i1
u11
说明， 上式 说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈 上的，只要参考方向确定了， 上的 ，只要参考方向确定了， 其数学描述便可容易地写 可不用考虑线圈绕向。 出，可不用考虑线圈绕向。 对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上， 对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上， 因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。 因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在 电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的 电路分析中显得很不方便。 概念。 概念。
•
•
I
U1
•
I
(a) 顺接
R2 I (b) 反接
2. 耦合电感的并联
（1） 同侧并联 ）
i + u – i1 * L1
M * i2 L2
di1 di2 u = L1 +M dt dt di2 di1 u = L2 +M dt dt
i = i1 +i2
的关系： 解得u, i 的关系：
(L1 L2 − M ) di u= L1 + L2 − 2M dt
2
等效电感： 等效电感：
(L1 L2 − M2 ) Leq = ≥0 L1 + L2 − 2M
如全耦合： 如全耦合：L1L2=M2
物理意义不明确) 当 L1≠L2 ，Leq=0 (物理意义不明确) M i1 * L1 i2 * L2
L1=L2 ， Leq=L (相当于导线加粗，电感不变) 相当于导线加粗，电感不变) 相当于导线加粗 （2） 异侧并联 ） i + u –
M + u _ R1 * L1 i1 + * R2 u2 L2 _ 10
i1/A
0
1
2
t/s
解
10 V di1 u2(t ) = M V = −10 dt 0
0 ≤ t ≤ 1s 1 ≤ t ≤ 2s 2≤ t
V 0 ≤ t ≤ 1s 100 t + 50 di1 u(t ) = R i1 + L V 1 ≤ t ≤ 2s = −100 t +150 1 dt 2≤ t 0
由同名端及u、 参考方向确定互感线圈的特性方程 由同名端及 、i参考方向确定互感线圈的特性方程 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用， 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再 考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。 考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。
M * i1 M * i1 * – u21 +
1'
*2 ♦
2'
+ V –
如图电路，当闭合开关 时 增加 增加， 如图电路，当闭合开关S时，i增加，
di > 0, dt
u22' = M di > 0 dt
电压表正偏。 电压表正偏。
当两组线圈装在黑盒里， 只引出四个端线组， 当两组线圈装在黑盒里 ， 只引出四个端线组 ， 要 确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。 确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。
i1 + u1 _ * L1 M L2 * i2 + u2 _
di1 di2 u1 = L1 −M dt dt di1 di2 u2 = −M + L2 dt dt
i1 + u1 _ * L1 M L2 * i2 _ u2 +
u u 例 已知 R1 = 10Ω, L = 5H, L2 = 2H, M = 1H, 求 (t)和 2(t) 1
例
i 1* 1'
Φ
*
2 2'
• 1 * 1'
2
∆
3 3' • ∆
2'*
当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时， (2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将 会引起另一线圈相应同名端的电位升高。 会引起另一线圈相应同名端的电位升高。
同名端的实验测定： 同名端的实验测定：
R S 1 i ♦ *
第10章 含有耦合电感的电路 10章
重点 1.互感和互感电压 1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 2.有互感电路的计算 3.空心变压器和理想变压器 3.空心变压器和理想变压器
10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、 电视机中的中周线圈、振荡线圈， 电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器 等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性， 等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含 这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
耦合电感上的电压、 3. 耦合电感上的电压、电流关系
为时变电流时， 磁通也将随时间变化， 当 i1 为时变电流时 ， 磁通也将随时间变化 ， 从而在线 圈两端产生感应电压。 圈两端产生感应电压。 符合右手螺旋时， 当i1、u11、u21方向与Φ 符合右手螺旋时，根据电磁感 应定律和楞次定律： 应定律和楞次定律：
di1 u21 = −M dt
* +
u21 –
di1 u21 = M dt
例
+ u1 _
i1 * L1
M * L2
i2 + u2 _ + u1 _
i1 * L1
M L2 *
i2 + u2 _ 写 出 图 示 电 路 电 压、 电 流 关 系 式
di1 di2 u1 = L1 +M dt dt
di1 di2 u2 = M + L2 dt dt
定义Ψ ：磁链 (magnetic linkage)，ψ =Nφ ， 当线圈周围无铁磁物质(空心线圈) 成正比, 当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，Ψ与i 成正比,当只有 一个线圈时： 一个线圈时：
L为自感系数， (H ψ1 =ψ11 = L i1 称 1为自感系数，单位亨 )。 1
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与 当两个线圈都有电流时， 互磁链的代数和： 互磁链的代数和：
耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关 耦合系数 与线圈的结构、相互几何位置、 与线圈的结构 利用——变压器：信号、功率传递 变压器： 利用 变压器 信号、 互感现象 避免——干扰 避免 干扰 克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。 克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。
3Baidu Nhomakorabea耦合电感的T 3.耦合电感的T型等效 耦合电感的
同名端为共端的T （1） 同名端为共端的T型去耦等效
M = L1 L2
2
全耦合时
L = L + L2 ± 2M = L + L2 ± 2 L L2 1 1 1 = ( L ± L2 ) 1
当 L1=L2 时 , M=L L= 4M 0
顺接 反接
•
I
在正弦激励下： 在正弦激励下： +
• •
R1
+
•
U1
* •
jω M jω L1 R2 – +
•
*
jω L2
同名端
当两个电流分别从两个线圈的对应端子同 时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时， 时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时， 则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。 则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。
Φ11
Φs Φ0
i1
+
* •
N1 u11
N2 N3 i2 • i3 * △ △ – + u21 – + u31 –
ψ1 =ψ11 ±ψ12 = L i1 ± M12i2 1 ψ2 =ψ22 ±ψ21 = L2i2 ± M21i1
M M 为互感系数， (H 称 12、 21为互感系数，单位亨 )。
值与线圈的形状、 值与线圈的形状 几何位置、空间媒质有关， 注 （1）M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与 线圈中的电流无关，满足 线圈中的电流无关，满足M12=M21 总为正值， 值有正有负 值有正有负. （2）L总为正值，M值有正有负.
L = L + L2 − 2M 1 L = L1 + L2 − 2M ≥ 0 M ≤ 1 (L + L2 ) 2 1
互感不大于两个自感的算术平均值。 互感不大于两个自感的算术平均值。
R = R + R2 1
互感的测量方法： 互感的测量方法：
L顺 − L反 顺接一次，反接一次，就可以测出互感： 顺接一次，反接一次，就可以测出互感： M = 4
Φ11
1. 互感
N1 i1 + u11 – + N2 u21 –
Φ 21
线圈1 在线圈1中产生磁通( 线圈 1 中通入电流 i1 时 ， 在线圈 1 中产生磁通 (magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称为 ，同时，有部分磁通穿过临近线圈2 互感磁通。两线圈间有磁的耦合。 互感磁通。两线圈间有磁的耦合。
di1 u21 = M21 dt
di1 u31 = −M31 dt
注意：线圈的同名端必须两两确定。 注意：线圈的同名端必须两两确定。
确定同名端的方法： 确定同名端的方法： 当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出) (1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两 个电流产生的磁场相互增强。 个电流产生的磁场相互增强。
•
U2
•–
–
•
U
U = ( R + R2 ) I+ jω( L + L2 + 2M) I ± – 1 1
相量图： 相量图：
•
•
U
•
jωM I
•
jωL2 I jωM I
•
•
•
U2
•
jωL2 I
•
R2 I
•
jωM I
•
jωL1 I jωM I U • R1 I U2
•
•
•
•
R1 I jωL1 I
U1 •
R = R + R2 1
L = L + L2 + 2M 1
去耦等效电路
i （2） 反接串联 i + + R1 L1 u1 M – + u + L2 R2 R u L –
*
* u2
– –
u = R1i + L1 di − M di + L2 di − M di + R2i dt dt dt dt = ( R1 + R2 )i + (L1 + L2 − 2M) di = Ri + L di dt dt
2. 耦合系数 (coupling coefficient)
用耦合系数k 表示两个 线圈磁耦合的紧密程度。 线圈磁耦合的紧密程度。
k=
def
M ≤1 L1 L2
称全耦合: 当 k=1 称全耦合 漏磁 Φ s1 =Φs2=0 即 Φ11= Φ21 ，Φ22 =Φ12 一般有： 一般有：
M M2 (M 1 )(M 2 ) i i ψ12ψ21 k= = = = ≤1 L L2 L i1L2i2 ψ11ψ22 L L2 1 1 1