机器人学数学基础2010316

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习题2: 已知齐次变换矩阵
要求R(f,θ), 求f和θ值
齐次坐标和齐次变换知识点:
点和面的齐次坐标和齐次变换 三个基本旋转矩阵 齐次变换的几何意义 绝对变换:如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐
标轴旋转或平移,则依次左乘,称为绝对变换。 相对变换:如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴
解1:用画图的方法:
解2:用计算的方法 根据定义1,我们有:
(2-20)
以上均以固定坐标系多轴为变换基准,因此矩阵左乘。 如果我们做如下变换,也可以得到相同的结果:
例2:①先平移Trans (4,-3,7);②绕当前 轴转动90º; ③绕当前 轴转动90º;求合成旋转矩阵。
解1:用画图的方法 解2:用计算的方法
知识点:
三个基本旋 转矩阵
例题1:
∑O´与∑O初始重合,∑O´作如下运动:①绕Z轴转动30º;
②绕X轴转动60º;③绕Y轴转动90º。求T。
例题2: ∑O´与∑O初始重合,∑O´作如下运动:①绕X轴转动90º;②绕w 轴转动90º;③绕Y轴转动90º。求① T;②改变旋转顺序,如何 旋转才能获得相同的结果。 解① :
• 平面齐次坐标由行矩阵P=[a b c d ]来表示 • 当点v=[x y z w]T处于平面P内时,矩阵乘积PV=0,或记为
如果定义一个常数 m= =
,则有: =
可以把矢量
解释为某个平面的外法线,此
平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。
与点矢
相仿,平面
也没有意义
点和平面间的位置关系
设一个平行于x、y轴,且在z轴上的坐标为单位距离的平
解②: ①绕Z(w)轴转动90º; ②绕X轴转动90º; ③绕Y轴转动90º。
例题3: 矢量 在∑O´中表示为
奇次变换为:
,∑O´相对于∑O的
解:1)
解:2)
解:3)
, ,
例题4: 如图所示,1)写出 、 、 、 ;2)求
解:1)
解2):根据定义2,绕自身旋转,右乘
习题1: ∑O´与∑O初始重合,∑O´作如下运动:①绕z轴转动90º;②绕 v′轴转动90º;③绕x轴转动90º。求① T;②改变旋转顺序,如 何旋转才能获得相同的结果。
由图2-5可知, 在y轴上的投影为

, 在y轴上的投影为
,所以有:
, 在z轴上的投影 , 在z轴上的投影为
方向余弦阵
三个基本旋转矩阵:
同理 :
合成旋转矩阵:
例1:在动坐标中有一固定点
,相对固定参
考坐标系
做如下运动:① R(x, 90°);② R(z,
90°);③ R(y,90°)。求运动后点
根据手爪的坐标系表示
o
• 但也要知道在∑O中的位 姿,就用右乘的概念。
2.2.5 绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换
• 有时动坐标系∑O´可能绕过原点O的分量分别为rx、ry、rz的任 意单位矢量r 转动φ角。
• 研究这种转动的好处是可用∑O´绕某轴r 的一次转动代替绕 ∑O各坐标轴的数次转动
• 为推导此旋转矩阵,可作下述5步变换: 1. 绕X 轴转α角, 使r 轴处于XZ平面内 2. 绕Y 轴转-β角,使r 轴与OZ轴重合 3. 绕OZ轴转动φ角 4. 绕Y 轴转β角 5. 绕X 轴转-α角
• 引入齐次坐标的目的是为了表示几何变换的旋转、平移和缩放
一个点矢:
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量,
列矩阵
a= , b= , c= ,w为比例系数
显然,齐次坐标表达并不是唯一的,随 w值的不同而不同。在计算机图学中,w 作为通用比例因子,它可取任意正值,但 在机器人的运动分析中,总是取w=1 。
A41
杜志江
5
二 5~ 6
课堂 讲授
机器人运动学正解,机器人运动学逆解
A41 杜志江
5
五 7~ 8
课堂 讲授
机器人的微分运动及其变换,机器人的误差及 其补偿
A41
杜志江
参考教材
• [美]付京逊《机器人学》 • [中南大学]蔡自兴《机器人学》 • [美]理查德·鲍尔《机器人操作手·数学·编
程与控制》
知识点:
1. 点和面的齐次坐标和齐次变换 2. 三个基本旋转矩阵 3. 绝对变换:如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐
标轴旋转或平移,则依次左乘,称为绝对变换。 4. 相对变换:如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴
旋转或平移,则齐次变换为依次右乘,称为相对变换。 5. 绕任意轴旋转:5步顺序 6. 透视变换
• [0 0 0 n]T—坐标原点矢量的齐次坐标,n为任意 非零比例系数
• [1 0 0 0]T — 指向无穷远处的OX轴 • [0 1 0 0]T — 指向无穷远处的OY轴 • [0 0 1 0]T — 指向无穷远处的OZ轴 • [0 0 0 0]T — 没有意义
2个常用的公式:
点乘:
叉乘:
2.1.2 平面的齐次坐标
如果需要求解∑O在∑O´中的位置和姿态,此时的齐次变换矩 阵为 ,即求逆矩阵:
其中:
这些式子以后经常遇到 ,在机器人计算中,所 要求的就是齐次变换矩 阵
2.2.7 透镜成像的齐次变换
• 因此,进行机器人运动学计算时,不能省略透视矩阵,有 摄像头时,透视矩阵为
[0 -
0],没有摄像头时为[0 0 0 ] 。
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究运动学的方法
哈佛大学Roger Brockett建立的指数积公式
• 运动学 • 滚动接触 • 非完整控制 • 数学基础-刚体运动
参考文献:机器人操作的数学导论 作者:理查德·摩雷 李泽湘 夏卡恩·萨斯特里 翻译:徐卫良 钱瑞明(东南大学)
1955年丹纳维特(Denavit)和哈顿伯格(Hartenberg)提出了 一种采用矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法, 其数学基础即是齐次变换
已知: P点在ΣO´uvw中是不变的仍然 成立,由于ΣO´uvw回转,则:
用矩阵表示为:
(2-7)
反过来:
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式(2-7)
2.2.3 三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵
三个基本旋转矩阵
即动坐标系

的旋转矩阵,也就是
求出坐标系
中各轴单位矢量
在固定坐标系
中各轴的投影分量,很容易得到在两个坐标系重合时,有:
面P可以表示为:

有: PV=
例如:点 V=[10 20 1 1]T 必定处于此平面内,而点 V=[0 0 2 1]T 处于平 P 的上方,点V=[0 0 0 1]T处于P平面下方,因为:
2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换
2.2.1 旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz,动坐标系为ΣO´uvw, 研究旋转变换情况。
参考教材
• [美]付京逊《机器人学》
美籍华人(台湾) 普渡大学(Purdue University)电机工程专业
著名教授 4部著作、400多篇论文 第一任国际模式识别学会会长,被誉为自动模
式识别之父 1985年去世
参考教材
• [中南大学]蔡自兴
中南大学教授,我国人工 智能和机器人领域著名专 家
• 关节的相对运动导致杆件的运动 ,使末端执行器定位于所需要的 方位上
• 在一般机器人应用问题中,人们 感兴趣的是:末端执行器相对于 固定参考坐标数的空间几何描述 ,也就是机器人的运动学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关 节变量空间之间的关系
动画示例
运动学研究的问题
旋转或平移,则齐次变换为依次右乘,称为相对变换。 绕任意轴旋转,5步顺序 透视变换
习题1: ∑O´与∑O初始重合,∑O´作如下运动:①绕z轴转动90º;②绕 v′轴转动90º;③绕x轴转动90º。求① T;②改变旋转顺序,如 何旋转才能获得相同的结果。
习题2: 已知齐次变换矩阵
要求R(f,θ), 求f和θ值
① 初始位置时,动静坐标系重合,O、O´重合,如图。各轴对 应重合,设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点,且固定不变。则 P点在ΣO´uvw中可表示为:
、 、 为坐标系ΣO´uvw的单位矢量 ,则P点在Σoxyz中可表示为:
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时,求P点在固定坐标系 Σoxyz中的位置
由定义1和定义2,上述5次旋转的合成旋转矩阵为:
由上图容易求出:
(2-25)
带入式(2-25),得 由该式可以推出3个基本旋转矩阵
2.2.6 齐次变换矩阵的几何意义
设,有一个手爪,即动坐标系∑O´,已知, 重合,那么∑O´在∑O中的齐次坐标变换为:
初始位置
,如果手爪转了一个角度,
则:
T反映了∑O´在∑O中的位置和姿态,即表示了该坐标系原点
定义1:
当动坐标系
绕固定坐标系
各坐标轴顺序有限次
转动时,其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。
注意:旋转矩阵间不可以交换
平移齐次变换矩阵
注意:平移矩阵间可以交换, 平移和旋转矩阵间不可以交换
2.2.4 相对变换
举例说明: 例1:动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动:①R(Z,90º) ②R(y,90º) ③Trans(4,-3, 7) ,求合成矩阵
• 具有直观的几何意义 • 能表达动力学、计算机视觉和
比例变换问题 • 为以后的比例变换、透视变换
等打下基础
第二章 数学基础—齐次坐标和齐次变换
2.1 点和面的齐次坐标
2.1.1 点的齐次坐标
• 一般来说,n维空间的齐次坐标表示是一个(n+1)维空间实体。有一 个特定的投影附加于n维空间,也可以把它看作一个附加于每个矢量的 特定坐标—比例系数。
机器人学数学基础 2010316
2020年4月28日星期二
2011年春季学期教学日历
周星 节 序期 次
授课 方式
教学(授课或讨论)内容
授课

地点

4
二 5~ 6
课堂 讲授
机器人学的数学基础:位置与姿态描述,齐次 坐标变换、齐次变换矩阵及其几何意义
A41
杜志江
4
五 7~ 8
课堂 讲授
机器人的结构参数和坐标系的建立,D-H矩阵
(2-21)
式(2-20)和式(2-21)无论在形式上,还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论:
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况:
定义1:如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移,则依次左乘,称为绝对变换。
定义2:如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或 平移,则齐次变换为依次右乘,称为相对变换。
和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。 该矩阵可以由4个子矩阵组成,写成如下形式:
为姿态矩阵(旋转矩阵),表示动坐标系 ∑O´在固定参考坐标系∑O中的姿态,即表示 ∑O´各坐标轴单位矢量在∑O各轴上的投影 为位置矢量矩阵,代表动坐标系∑O´坐标原 点在固定参考坐标系∑O中的位置 为透视变换矩阵,在视觉中进行图像计算 ,一般置为0 为比例系数
[例1]:
可以表示为: V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
齐次坐标与三维直角坐标的区别
• V点在ΣOXYZ坐标系中表 示是唯一的(a、b、c)
• 而在齐次坐标中表示可 以是多值的。不同的表 示方法代表的V点在空间 位置上不变。来自几个特定意义的齐次坐标:
结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿(位置+姿态)。相 对于固定坐标系,
也就是说,动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换,要达到绕固 定坐标系相等的结果,就应该用相反的顺序。
右乘的意义:
• 机器人用到相对变换的
时候比较多
• 例如机械手抓一个杯子
H
,如右图所示,手爪需
要转动一个角度才抓的
牢,相对于固定坐标系
表达太麻烦,可以直接
中国人工智能学会智能机 器人专委会理事长
曾与付京逊教授一起工作 过
机器人→工作→动作
第一章 机器人位置和姿态的描述
• 串联机器人可以用一个开环关节链来建模 • 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 • 一端固定在基座上,另一端是自由的,安装工具(末端
执行器),用以操纵物体,或完成各种任务
在固定参考坐标系
下的位置。
解1:用画图的简单方法
解2:用分步计算的方法 ① R(x, 90°)
② R(z, 90°)
③ R(y, 90°)
(2-14) (2-15) (2-16)
上述计算方法非常繁琐,可以通过一系列计算得到上述 结果。将式(2-14)(2-15)(2-16)联写为如下形式:
R4x4为二者之间的关系矩阵,我们令:
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