机器人学数学基础2010316

在固定参考坐标系
下的位置。
解1：用画图的简单方法
解2：用分步计算的方法 ① R（x, 90°）
② R（z, 90°）
③ R（y, 90°）
（2-14） （2-15） （2-16）
上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述 结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：
R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：
知识点：
1. 点和面的齐次坐标和齐次变换 2. 三个基本旋转矩阵 3. 绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐
标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。 4. 相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴
旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。 5. 绕任意轴旋转：5步顺序 6. 透视变换
由图2-5可知， 在y轴上的投影为
为
, 在y轴上的投影为
Hale Waihona Puke Baidu
，所以有：
， 在z轴上的投影 ， 在z轴上的投影为
方向余弦阵
三个基本旋转矩阵:
同理 ：
合成旋转矩阵:
例1：在动坐标中有一固定点
，相对固定参
考坐标系
做如下运动：① R（x, 90°）；② R(z,
90°)；③ R(y,90°)。求运动后点
• 平面齐次坐标由行矩阵P=[a b c d ]来表示 • 当点v=[x y z w]T处于平面P内时，矩阵乘积PV=0，或记为
如果定义一个常数 m= =
，则有： =
可以把矢量
解释为某个平面的外法线，此
平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。
与点矢
相仿，平面
也没有意义
点和平面间的位置关系
设一个平行于x、y轴，且在z轴上的坐标为单位距离的平
• 引入齐次坐标的目的是为了表示几何变换的旋转、平移和缩放
一个点矢：
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
列矩阵
a= , b= , c= ，w为比例系数
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随 w值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但 在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
• 关节的相对运动导致杆件的运动 ，使末端执行器定位于所需要的 方位上
• 在一般机器人应用问题中，人们 感兴趣的是：末端执行器相对于 固定参考坐标数的空间几何描述 ，也就是机器人的运动学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关 节变量空间之间的关系
动画示例
运动学研究的问题
• 具有直观的几何意义 • 能表达动力学、计算机视觉和
比例变换问题 • 为以后的比例变换、透视变换
等打下基础
第二章 数学基础—齐次坐标和齐次变换
2.1 点和面的齐次坐标
2.1.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一 个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的 特定坐标—比例系数。
结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相 对于固定坐标系，
也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固 定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。
右乘的意义：
• 机器人用到相对变换的
时候比较多
• 例如机械手抓一个杯子
H
，如右图所示，手爪需
要转动一个角度才抓的
牢，相对于固定坐标系
表达太麻烦，可以直接
• [0 0 0 n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意 非零比例系数
• [1 0 0 0]T — 指向无穷远处的OX轴 • [0 1 0 0]T — 指向无穷远处的OY轴 • [0 0 1 0]T — 指向无穷远处的OZ轴 • [0 0 0 0]T — 没有意义
2个常用的公式：
点乘:
叉乘:
2.1.2 平面的齐次坐标
解1：用画图的方法：
解2：用计算的方法 根据定义1，我们有：
（2-20）
以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。 如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：
例2：①先平移Trans (4,-3,7)；②绕当前 轴转动90º； ③绕当前 轴转动90º；求合成旋转矩阵。
解1：用画图的方法 解2：用计算的方法
（2-21）
式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或 平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。
根据手爪的坐标系表示
o
• 但也要知道在∑O中的位 姿，就用右乘的概念。
2.2.5 绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换
• 有时动坐标系∑O´可能绕过原点O的分量分别为rx、ry、rz的任 意单位矢量r 转动φ角。
• 研究这种转动的好处是可用∑O´绕某轴r 的一次转动代替绕 ∑O各坐标轴的数次转动
• 为推导此旋转矩阵，可作下述5步变换： 1. 绕X 轴转α角， 使r 轴处于XZ平面内 2. 绕Y 轴转-β角，使r 轴与OZ轴重合 3. 绕OZ轴转动φ角 4. 绕Y 轴转β角 5. 绕X 轴转-α角
如果需要求解∑O在∑O´中的位置和姿态，此时的齐次变换矩 阵为 ，即求逆矩阵：
其中：
这些式子以后经常遇到 ，在机器人计算中，所 要求的就是齐次变换矩 阵
2.2.7 透镜成像的齐次变换
• 因此，进行机器人运动学计算时，不能省略透视矩阵，有 摄像头时，透视矩阵为
[0 -
0]，没有摄像头时为[0 0 0 ] 。
和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。 该矩阵可以由4个子矩阵组成，写成如下形式：
为姿态矩阵（旋转矩阵），表示动坐标系 ∑O´在固定参考坐标系∑O中的姿态，即表示 ∑O´各坐标轴单位矢量在∑O各轴上的投影 为位置矢量矩阵，代表动坐标系∑O´坐标原 点在固定参考坐标系∑O中的位置 为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算 ，一般置为0 为比例系数
解②： ①绕Z（w）轴转动90º； ②绕X轴转动90º； ③绕Y轴转动90º。
例题3： 矢量 在∑O´中表示为
奇次变换为：
，∑O´相对于∑O的
解：1）
解：2）
解：3）
， ，
例题4： 如图所示，1）写出 、 、 、 ；2）求
解：1）
解2）：根据定义2，绕自身旋转，右乘
习题1： ∑O´与∑O初始重合，∑O´作如下运动：①绕z轴转动90º；②绕 v′轴转动90º；③绕x轴转动90º。求① T；②改变旋转顺序，如 何旋转才能获得相同的结果。
参考教材
• [美]付京逊《机器人学》
美籍华人（台湾） 普渡大学（Purdue University）电机工程专业
著名教授 4部著作、400多篇论文 第一任国际模式识别学会会长，被誉为自动模
式识别之父 1985年去世
参考教材
• [中南大学]蔡自兴
中南大学教授，我国人工 智能和机器人领域著名专 家
面P可以表示为：
或
有： PV=
例如：点 V=[10 20 1 1]T 必定处于此平面内，而点 V=[0 0 2 1]T 处于平 P 的上方，点V=[0 0 0 1]T处于P平面下方，因为：
2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换
2.2.1 旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw， 研究旋转变换情况。
机器人学数学基础 2010316
2020年4月28日星期二
2011年春季学期教学日历
周星 节 序期 次
授课 方式
教学（授课或讨论）内容
授课
备
地点
注
4
二 5~ 6
课堂 讲授
机器人学的数学基础：位置与姿态描述，齐次 坐标变换、齐次变换矩阵及其几何意义
A41
杜志江
4
五 7~ 8
课堂 讲授
机器人的结构参数和坐标系的建立，D-H矩阵
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究运动学的方法
哈佛大学Roger Brockett建立的指数积公式
① 初始位置时，动静坐标系重合，O、O´重合，如图。各轴对 应重合，设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点，且固定不变。则 P点在ΣO´uvw中可表示为：
、 、 为坐标系ΣO´uvw的单位矢量 ，则P点在Σoxyz中可表示为：
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系 Σoxyz中的位置
已知： P点在ΣO´uvw中是不变的仍然 成立，由于ΣO´uvw回转，则：
用矩阵表示为:
（2-7）
反过来：
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
2.2.3 三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵
三个基本旋转矩阵
即动坐标系
求
的旋转矩阵，也就是
求出坐标系
中各轴单位矢量
在固定坐标系
中各轴的投影分量，很容易得到在两个坐标系重合时，有：
[例1]：
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
齐次坐标与三维直角坐标的区别
• V点在ΣOXYZ坐标系中表 示是唯一的（a、b、c）
• 而在齐次坐标中表示可 以是多值的。不同的表 示方法代表的V点在空间 位置上不变。
几个特定意义的齐次坐标：
A41
杜志江
5
二 5~ 6
课堂 讲授
机器人运动学正解，机器人运动学逆解
A41 杜志江
5
五 7~ 8
课堂 讲授
机器人的微分运动及其变换，机器人的误差及 其补偿
A41
杜志江
参考教材
• [美]付京逊《机器人学》 • [中南大学]蔡自兴《机器人学》 • [美]理查德·鲍尔《机器人操作手·数学·编
程与控制》
定义1：
当动坐标系
绕固定坐标系
各坐标轴顺序有限次
转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。
注意：旋转矩阵间不可以交换
平移齐次变换矩阵
注意：平移矩阵间可以交换， 平移和旋转矩阵间不可以交换
2.2.4 相对变换
举例说明： 例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵
中国人工智能学会智能机 器人专委会理事长
曾与付京逊教授一起工作 过
机器人→工作→动作
第一章 机器人位置和姿态的描述
• 串联机器人可以用一个开环关节链来建模 • 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 • 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具（末端
执行器），用以操纵物体，或完成各种任务
知识点：
三个基本旋 转矩阵
例题1：
∑O´与∑O初始重合，∑O´作如下运动：①绕Z轴转动30º；
②绕X轴转动60º；③绕Y轴转动90º。求T。
例题2： ∑O´与∑O初始重合，∑O´作如下运动：①绕X轴转动90º；②绕w 轴转动90º；③绕Y轴转动90º。求① T；②改变旋转顺序，如何 旋转才能获得相同的结果。 解① ：
• 运动学 • 滚动接触 • 非完整控制 • 数学基础-刚体运动
参考文献：机器人操作的数学导论 作者：理查德·摩雷 李泽湘 夏卡恩·萨斯特里 翻译：徐卫良 钱瑞明（东南大学）
1955年丹纳维特（Denavit）和哈顿伯格（Hartenberg）提出了 一种采用矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法， 其数学基础即是齐次变换
习题2： 已知齐次变换矩阵
要求R（f,θ), 求f和θ值
齐次坐标和齐次变换知识点：
点和面的齐次坐标和齐次变换 三个基本旋转矩阵 齐次变换的几何意义 绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐
标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。 相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴
由定义1和定义2，上述5次旋转的合成旋转矩阵为：
由上图容易求出：
（2-25）
带入式（2-25），得 由该式可以推出3个基本旋转矩阵
2.2.6 齐次变换矩阵的几何意义
设，有一个手爪，即动坐标系∑O´，已知， 重合，那么∑O´在∑O中的齐次坐标变换为：
初始位置
，如果手爪转了一个角度，
则：
T反映了∑O´在∑O中的位置和姿态，即表示了该坐标系原点
旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。 绕任意轴旋转，5步顺序 透视变换
习题1： ∑O´与∑O初始重合，∑O´作如下运动：①绕z轴转动90º；②绕 v′轴转动90º；③绕x轴转动90º。求① T；②改变旋转顺序，如 何旋转才能获得相同的结果。
习题2： 已知齐次变换矩阵
要求R（f,θ), 求f和θ值