三角级数及三角函数系的正交性

第七节 傅里叶级数
第十一章
一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数
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一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动 :
(谐波函数)
( A为振幅, 为角频率, φ为初相 )
复杂的周期运动 :
(谐波迭加)
An sinn cos n t An cosn sin n t
简介 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
f
(
x)
1
1
, ,
x 0 0 x
y
将 f (x) 展成傅里叶级数.
1
解: 先求傅里叶系数
o
x
1
1
0
(1)
cos
nx
d
x
1
0
1
cos
nx
d
x
0 ( n 0 ,1, 2 , )
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F (x) cos nx d x
1
f
(x) cos nx dx
2
x sin nx n
cos nx n2
0
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2
n2
( cos n
1)
4
(2k 1)2
0,
,
n 2k 1 n 2k
cos2 k x dx
(利用正交性)
ak
1
f (x) cos k x dx
( k 1, 2, )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
bk
1
f
(x)sin k x dx
(k 1, 2, )
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f
(x)
a0 2
n1
an
cos
nx
bn
sin
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f (x) 4 sin x sin 3x sin 5x sin 7x sin 9x ]
3
5
79
说明: 1) 根据收敛定理可知,
y
1
o
x
1
时,级数收敛于 11 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近
f (x) 的情况见右图.
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nx d
x
0
cos k x cos nx dx
1 2
cos(k
n)x
cos(k
n)x
d
x
0
同理可证 : sin k x sin nx dx 0 (k n )
cos
k
x
sin
nx
dx
0
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有
11dx
周期延拓
f (x) ,
x [ , )
F(x)
f (x 2k ) , 其它
傅里叶展开
上的傅里叶级数
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例3. 将函数
展成傅里叶
级数 .
y
解: 将 f (x)延拓成以
2为周期的函数 F(x) , 则
o
x
a0
1
F(x)d x
1
f (x)d x
2
x2 2
0
an
1
令
an An sinn , bn An cosn ,
得函数项级数
a0 2
(an
k 1
cos
nx
bn
sin
nx
)
称上述形式的级数为三角级数.
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定理 1. 组成三角级数的函数系
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
1
cos
nx d
x
1
sin
n
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an
1 cos n n2
2
(
2k 1)2
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
bn
1
f (x)sin nx d
2 cos x
x
1 0
x sin nxdx
sin x 1 sin 2x (
n
(1)n1
1,n2, )
4
2
2
32
②
证: 由定理条件, 对①在
逐项积分, 得
f
(x)dx
a0 2
d
x
n1
an
cos
nx
dx
bn
sin
nx
dx
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a0
1
f
( x) d
x
f
(x) cos k x dx
a0 2
cos k x dx
n1an
cos
k
x
cosnx
d
x
bn
cos
k
x
sin
nx
dx
ak
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
y
3 2 2 3
o
x
将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
a0
1
f (x)d x
1
0
xd
x
1
x2 2
0
2
an
1
f (x) cos nxdx
1
0
x cos nx d x
1
x
sin n
nx
cos nx n2
0
1
cos
n2
cos 3x 1 sin 3x 1 sin 4x
3
4
522
cos 5x
1 5
sin 5x
( x , x (2k 1) , k 0, 1 , 2 , )
说明: 当 x (2k 1) 时, 级数收敛于 0 ( )
2
2
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定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
nx
①
an
1
f (x) cos nx d x
(n 0, 1, )
②
bn
1
f
(x)sin nx d x
(n 1, 2, )
由公式 ② 确定的
称为函数
的傅里叶系数 ; 以 的傅里
叶系数为系数的三角级数 ① 称为
的傅里叶级数 .
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定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1
0
(1)
sin
nx
d
x
1
0
1
sin
nxdx
1
cos nx n
0
1
cos nx n
0
2
n
1
cos
n
2
n
1
(1)n
4,
n
0,
当n 1,3, 5, 当n 2 , 4 , 6 ,
f (x) 4 sin x 1 sin 3x 1 sin(2k 1)x
3
2k 1
( x , x 0 , , 2 , )
2
cos2
n xdx
sin
2
nx
dx
cos2 nx 1 cos 2nx , sin2 nx 1 cos 2nx
2
2
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二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
f
(x)
来自百度文库
a0 2
(an
n1
cos
nx
bn
sin
nx)
①
右端级数可逐项积分, 则有
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
f (x) ,
f (x) f (x) ,
2
x 为连续点 x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )