2017 第二讲(初等模型)解析

圆桶下沉时受到的海水阻力:
D = Cv，C =0.08
求解方法：
利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足 的微分方程：
m
其中
d2y dt 2
W B D
(1)
w dy m , D Cv, v g dt
或者：
g dv cg v (W B), W dt W V (0) 0. (2)
数学建模讲义
主讲人:穆学文
西安电子科技大学数学系
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第二章 初等数学模型
•例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 显然是由于节省了从相遇点到 换一种想法，问题就迎刃而 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 会合点，又从会合点返回相遇点这一 解了。假如他的妻子遇到他后仍 段路的缘故，故由相遇点到会合点需 载着他开往会合地点，那么这一 间？ 开5分钟。而此人提前了三十分钟到 似乎条件不够哦 。。 天他就不会提前回家了。提前的 达会合点，故相遇时他已步行了二十 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？ 十分钟时间从何而来？ 五分钟。
D L
例3 椅子能在不平的地面上放稳吗?
问题分析 通常 : 三只脚着地 放稳 : 四只脚着地 模 型 假 设
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
方程的解为
W B v(t ) (1 e C
Cg t W
),
t 0
计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间 t0 分析1：考虑圆桶的极限速度
W B 527.436 470.327 limv ( t ) t C 0.08
≈713.86>>40（英尺/秒）
实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！ 结论1：解决问题的方向是正确的.
分析2：解决思路：避开求t0的难点 令v(t)=v(y(t)),其中y=y(t) 是圆桶下沉深度
dv dv dy . 将 dt dy dt
代入(1)得
dv dy m . W B Cv , dy dt
或 v dv g , W B Cv dy W v (0) 0, y(0) 0.
例2 交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L 的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1 过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析 和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当 黄灯应当亮多久。 刹车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动
后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对 司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过 长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也 是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大， 设想一下黄灯的作用是什么，不难看 可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2 出，黄灯起的是警告的作用，意思是 既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定 马上要转红灯了，假如你能停住，请 律计算出来立即停车。停车是需要时间的，在这 （ 留作习题）。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 段时间内，车辆仍将向前行驶一段距 一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机 离 L。这就是说，在离街口距离为 L 停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 处存在着一条停车线（尽管它没被画 的车顺利穿过马路，即 T 至少应当达到 （L+D） 在地上），见图 1-4。对于那些黄灯亮 /v。 时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考: 建模的关键 : 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
例4 放射性废物的处理问题
美国原子能委员会(现为核管理委员会)处理 浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很 好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里. 他们这种做法安全吗？
• 椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
B´ B A´
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 两个距离
C
C´
O

D´
A
x
正方形 对称性百度文库
D
A,C 两脚与地面距离之和: f()
B,D 两脚与地面距离之和: g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数.
对任意, f(), g()至少 一个为0.
g()是连续函数 ;
数学 问题
已知： f() ,
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
已知：圆桶至多能承受最大冲撞速度： 40 英尺/秒
联想：安全 、危险 分析：可从各个角度去分析造成危险的因素， 这里仅考虑圆桶泄露的可能. • 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？是否超过了 极限的冲撞速度？（40英尺/秒）
问题: 求这一种桶沉入300英尺的海底时 的末速度.(原问题是什么?) 可利用的数据条件： 圆桶的总重量: W=527.327（磅） 圆桶受到的浮力:B=470.327（磅）