(完整word版)数值微分

数值微分

数值微分(numerical differentiation)

根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。通常用差商代替微商，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值。例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。如果离散点上的数据有不容忽视的随机误差，应该用曲线拟合代替函数插值，然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近似值，这种做法可以起到减少随机误差的作用。数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。

7.1 数值微分

7.1.1 差商与数值微分

当函数是以离散点列给出时，当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算

的导数。在微积分中，导数表示函数在某点上的瞬时变化率，它是平均变化率的极限；在几何上可解释为曲线的斜率；在物理上可解释为物体变化的速率。

以下是导数的三种定义形式：

（7.1）

在微积分中，用差商的极限定义导数；在数值计算中返璞归真，导数取用差商（平均变化率）作为其近似值。

最简单的计算数值微分的方法是用函数的差商近似函数的导数，即取极限的近似值。下面是与式（7.1）相应的三种差商形式的数值微分公式以及相应的截断误差。

向前差商

用向前差商（平均变化率）近似导数有：

（7.2）

其中的位置在的前面，因此称为向前差商。同理可得向后差商、中心差商的定义。

由泰勒展开

得向前差商的截断误差：

向后差商

用向后差商近似导数有：（7.3）

与计算向前差商的方法类似，由泰勒展开得向后差商的截断误差：

中心差商

用中心差商（平均变化率）近似导数有：

（7.4）

由泰勒展开

得中心差商的截断误差：

差商的几何意义

微积分中的极限定义，表示在处切线的斜率，

即图7.1中直线的斜率；差商表示过和两

点直线的斜率，是一条过的割线。可见数值微分是用近似值内接弦的斜率代替准确值切线的斜率。

图7.1 微商与差商示意图

例7.1给出下列数据，计算，

0.10

－0.02 0.04 0.06 0.8

5.06 5.07 5.065 5.05 5.055

解：（5.07－5.06）/（0.04－0.02）= 0.5

（5.05－5.07）/（0.08－0.04）= －0.5

（5.05－5.055）/（0.08－0.10）= 0.25

（(0.10) －(0.06)）/（0.10－0.06）= 18.75

设定最佳步长

在计算数值导数时，它的误差由截断误差和舍入差两部分组成。用差商或插值公式近似导数产生截断误差，由原始值的数值近似产生舍入误差。在差商计算中，从截断误差的逼

近值的角度看，越小，则误差也越小；但是太小的会带来较大的舍入误差。怎样选择最佳步长，使截断误差与舍入误差之和最小呢？

一般对计算导数的近似公式进行分析可得到误差的表示式，以中心差商为例，截断误差不超过

而舍入误差可用量估计（证明略），其中是函数的原始值的绝对误差限，总误差

为

当时，总误差达到最小值，即（*）

可以看到用误差的表达式确定步长，难度较大，难以实际操作。

通常用事后估计方法选取步长，例如，记为步长等于的差商计算公式，给定误差界，当时，就是合适的步长。

例7.2对函数，取不同的步长计算，观察误差变化规律，从而确定最佳步长。

解：

误差误差

0.10 0.09 3.1630

3.1622

－0.0048

－0.0040

0.05

0.04

3.1590

3.1588

－0.0008

－0.0006

0.08 0.07 0.06 3.1613

3.1607

3.1600

－0.0031

－0.0025

－0.0018

0.03

0.02

0.01

3.1583

3.1575

3.1550

－0.0001

－0.0007

－

0.0032

表中数据显示，当步长从0.10减少到0.03时，数值微分误差的绝对值从0.0048减少到0.0001，而随着的进一步减少，误差的绝对值又有所反弹，表明当步长小于0.03时，舍入误差起了主要作用。

在实际计算中是无法得到误差的准确数值的，这时以最小为标准确定步长，本例中取= 0.04。

7.1.2 插值型数值微分

对于给定的的函数表，建立插值函数，用插值函数的导数近似函数

的导数。

设为上的节点，给定，以为插值点构造插值多项式，以的各阶导数近似的相应阶的导数，即

当时，

（7.5）误差项为：

例7.3给定，并有，计算。解：作过的插值多项式：

将代入得三点端点公式和三点中点公式：

利用泰勒（Taylor）展开进行比较和分析，可得三点公式的截断误差是。

类似地，可得到五点中点公式和五点端点公式：

7.1.3 样条插值数值微分

把离散点按大小排列成，用关系式构造插值点

的样条函数：

当则当时，可用计算导数。