[工学]控制工程基础第五章系统的稳定性

Bk s Ck Y ( s) 2 2 s p s 2 s j 1 k 1 j k nk nk
q
Aj
r
上式的拉氏反变换为
y (t ) A j e
j 1
q
p jt
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r

k 1
r
5.1 系统稳定的定义和条件
1.几个例子

o
d
f
c bde
b
M
c
o
a
小球的稳定性
单摆
倒立摆
2.系统稳定的定义 若系统零输入响应随时间的推移，逐渐衰减并趋向于零(回到平衡 位置),则称该系统是稳定的；反之，若系统的零输入响应发散，则系 统是不稳定的。 控制系统的稳定性是指系统在给定信号作用下，输出应能达到新 的平衡状态，或在扰动去掉之后，系统的输出能以足够的精度恢复到 原来的平衡状态。
综上可见： 特征根中只要有一个是正实根，则解就发散，系统就不稳定； 当特征根中的共轭复根具有正实部时，解呈发散振荡，故系 统不稳定； 若特征根中有零根，则全解中的瞬态分量将趋于某个常值， 故系统也不稳定； 若特征根中含有共轭虚根，则的解呈等幅振荡，这时系统出 现所谓临界稳定状态。由于在实际工作中，系统的参数值往 往要发生变化，因此共轭虚根有可能转变成具有正实部的共 轭复根，而使系统不稳定。所以，从控制工程实践角度看， 一般认为临界稳定属于系统的实际不不稳定工作状态。 当特征根中没有零根，没有共轭虚根，并且所有实根都是复 的，共轭复根具有负实部时，解是指数衰减的，或衰减振荡 的，因而系统稳定。
Y (s) b s 一般情况下，系统的闭环传递函数为 (s) X ( s) a s
m n
m
bm 1s m 1 ...... b1s b.0 n an 1s n 1 ...... a1s a0
m i 1
...... b1s b.0 Y ( s ) bm s bm 1s (s) p ) ( s 2 s ( s X ( s ) an s n an 1s n 1 ...... a1s a0
图5-1系统稳定性示意图 控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，而与输 入信号的形式无关。
3.稳定性条件
n n 1 对于线性微分方程 (an p an 1 p a1 p a0 ) xo (t ) xi (t )
闭环传递函数为: 特征方程为:
GB ( s )
G( s) 1 G( s) H ( s)
2. 讨论根的分布，研究特征方程的是否包含右根及有几个 右根。
4.控制系统的稳定性分析
控制系统能在实际中应用的首要条件就是必须稳定。一个不 能稳定的系统是不能工作的。判别系统稳定性的准则，也称 为系统的稳定性判据。 劳斯（Routh）-胡尔维茨（Hurwitz）判据:是依据闭环系统 特征方程式对系统的稳定性做出判别，它是一种代数判据。
est
1 G( s) H ( s) 0
n
i
s t 其自由响应，即线性齐次方程的通解为: xo (t ) Ai e i 1
t
0
稳定的条件：
lim xo (t ) 0
t
系统稳定的充要条件：若系统的全部特征根（传递函数的全部极点） 全部具有负实部（位于[s]左半平面），则系统稳定。
m
K (s Zi )
r 2 k q j nk j 1 k 1
m 1
2 nk
)

K (s Zi )
i 1 2 2 ( s p ) ( s 2 s j k nk nk ) j 1 k 1 q r
m
闭环系统的特征方程为
2 2 ( s p ) ( s 2 s j k nk nk ) 0 j 1 k 1 q r
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r

k 1
r
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
对于
(s p ) 0
j j 1
q
求极点。
s1 p1 ; s2 p2 ; s j p j ;
对于
(s
k 1
r
2
2 k nk s ) 0
2 nk
根据情况不同，解不同，但实部都为
nk
为便于分析，假定闭环传递函数有q个相异的实数极点及r对 不相同的共轭复数极点，当输入单位脉冲函数X(s)=1时，输 出的拉氏变换式为
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
判别系统是否稳定，就是要确定系统特征方程根是否全部 具有负的实部，或者说特征根是否全部位于[s]平面的虚轴 左侧。这样就面临着两种选择；
1. 解特征方程确定特征根，这对于高阶系统来说是困难的。
第五章 系统的稳定性
基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
y (t ) A j e
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q
p jt