[工学]控制工程基础第五章系统的稳定性
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第5章控制系统的稳定性
系统稳定
5.2 代数稳定性判据 1. 系统稳定性的初步判别（必要条件） 设系统的闭环特征方程式为如下标准形式：
2. 劳斯稳定判据
直至其余 项均为零。
按此规律一直计算到n -1行为止。
结论：
考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列 表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的; 假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且 第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上 根的个数。
不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。 Nyquist判据特点：
① 图解法：由几何作图判定系统稳定性； ② 由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析 法或实验法获得）； ③ 可判断系统相对稳定性； ④ 可指出各环节对系统稳定性的影响。
5.3 Nyquist稳定判据
一、幅角原理（Cauchy） 对于复变函数
例 系统特征方程为 判别系统的稳定性。
解：(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。
(2)列写劳斯阵列表如下:
第一列 为零
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
练习 系统特征方程为
判别系统的稳定性。
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均 为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于 原点对称的根。
能恢复原来的平衡状态。
5.1 系统稳定性的基本概念
如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而 当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则 称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳 定的，或不具有稳定性。
控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系 统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随 着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原来 平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该 系统为不稳定。
5.2 代数稳定性判据 1. 系统稳定性的初步判别（必要条件） 设系统的闭环特征方程式为如下标准形式：
2. 劳斯稳定判据
直至其余 项均为零。
按此规律一直计算到n -1行为止。
结论：
考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列 表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的; 假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且 第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上 根的个数。
不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。 Nyquist判据特点：
① 图解法：由几何作图判定系统稳定性； ② 由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析 法或实验法获得）； ③ 可判断系统相对稳定性； ④ 可指出各环节对系统稳定性的影响。
5.3 Nyquist稳定判据
一、幅角原理（Cauchy） 对于复变函数
例 系统特征方程为 判别系统的稳定性。
解：(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。
(2)列写劳斯阵列表如下:
第一列 为零
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
练习 系统特征方程为
判别系统的稳定性。
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均 为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于 原点对称的根。
能恢复原来的平衡状态。
5.1 系统稳定性的基本概念
如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而 当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则 称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳 定的，或不具有稳定性。
控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系 统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随 着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原来 平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该 系统为不稳定。
控制工程基础：第五章系统稳定性
∆1 = a 1 > 0
∆2 = a1 a0 a3 a2 = a 1a 2 − a 0 a 3 > 0
∆n
L L L 0 0 0 M 0 an
a5 L
a4 L a3 L M O M 0
a1 ∆3 = a 0 0
a3 a2 a1
0 2 2 a 4 = a 1a 2 a 3 − a 4 a 1 − a 0 a 3 > 0 a3
− c2 =
劳斯表的列法
前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 第三行起元素的计算为： 第三行起元素的计算为：分母为上一行第一 个元素； 个元素； 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 第二列为所计算元素右肩上元素。 第二列为所计算元素右肩上元素。次对角线 减主对角线元素。 减主对角线元素。 一行可同乘以或同除以某正数
c( t ) = ∑ c i e
i =1
k
pi t
+ ∑ e (A j cos ω j t + B j in ω j t )
j=1
r
σ jt
由上式知： 如果p 均为负值, 如果 i 和 σ i 均为负值 , 当 t
∞ 时 , c(t)
0。 。
自动控制系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部， 系统特征方程的根全部具有负实部， 闭环系统的极点全部在S平面左半部。 即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。 系统特征方程
a4 a5 b3 c3 …
a6 a7 b4 c4 …
… … … …
a1 a5 a1a4 − a0 a5 = a1 a1 a1 a3 b1 b2 b1a3 − a1b2 = b1 b1 a1 a5 b1 b3 b1a5 − a1b3 = b1 b1
∆2 = a1 a0 a3 a2 = a 1a 2 − a 0 a 3 > 0
∆n
L L L 0 0 0 M 0 an
a5 L
a4 L a3 L M O M 0
a1 ∆3 = a 0 0
a3 a2 a1
0 2 2 a 4 = a 1a 2 a 3 − a 4 a 1 − a 0 a 3 > 0 a3
− c2 =
劳斯表的列法
前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 第三行起元素的计算为： 第三行起元素的计算为：分母为上一行第一 个元素； 个元素； 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 第二列为所计算元素右肩上元素。 第二列为所计算元素右肩上元素。次对角线 减主对角线元素。 减主对角线元素。 一行可同乘以或同除以某正数
c( t ) = ∑ c i e
i =1
k
pi t
+ ∑ e (A j cos ω j t + B j in ω j t )
j=1
r
σ jt
由上式知： 如果p 均为负值, 如果 i 和 σ i 均为负值 , 当 t
∞ 时 , c(t)
0。 。
自动控制系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部， 系统特征方程的根全部具有负实部， 闭环系统的极点全部在S平面左半部。 即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。 系统特征方程
a4 a5 b3 c3 …
a6 a7 b4 c4 …
… … … …
a1 a5 a1a4 − a0 a5 = a1 a1 a1 a3 b1 b2 b1a3 − a1b2 = b1 b1 a1 a5 b1 b3 b1a5 − a1b3 = b1 b1
机械控制工程基础(北京理工)第五章 控制系统的稳定性分析-PPT课件
其中： a 1 a n n 2 i b i a a 1 a n (2 i 1 ) n 1 n
1a n 1 a n (2 i 1 ) c i b b 1 i 1 1 b
按上面给出的计算方法，一直算到第n行（S1）， 第n+1行是S0仅第1列有数即特征方程中系数a0。
稳定性概念：当系统受到扰动作用后，将偏离
原来的平衡位置，当扰动消除后，如果系统能在 一定的时间范围内以足够的准确度恢复到初始平 衡状态，则称系统是稳定的系统，反之则称系统 是不稳定系统。
系统输出的一般表达：
C () t Ct () Ct () t s s s
C s s ( t ) 为稳态分量（见第二章） C t s ( t ) 为暂态分量， 稳定的概念亦可理解为： 当输入发生变化时，如果系统的输出经过一 段时间后，暂态分量消失，只有稳态分量，则该 系统是稳定的。 所以研究系统稳定性实际就是研究系统输出 的暂态分量是否满足：
§ 5-4 奈魁斯特稳定判据
若开环传递函数中含有 个积分环节时， 绘制开环幅相频率特性曲线后，还应从 频率对应的点开始，逆时针方向用虚线 补画一条半径为无穷大，角度为90的圆 弧。此时，系统的开环幅相曲线应包括 补画的虚线部分。
§ 5-4 奈魁斯特稳定判据
例：已知两单反馈控制系统的开环传递函数 分别为
结论：对图3-1所示系统，在施加一个初始扰动y(0)=a后，
k 系统将永远按振幅为a，频率为 的余弦波振动， m
永远不能恢复到原始静止平衡状态。
例２：
m y cy Ky f( t )
.. .
y (0 ) a ,y (0 ) 0
A m
第五章 控制系统稳定性分析
10 (1 + s )(1 + 2s )(1 + 3s )
奈氏轨迹穿过 ( −1, j 0 ) 点，所以系统临界稳定。 （3） G (s )H (s ) =
10 s (1 + 0.1s )(1 + 0.2 s )
2
6
∵ N = −2, P = 0, N ≠ P ∴ 系统不稳定
7-10 试根据下列开环频率特性分析相应系统的稳定性。
as + 1 s2
α s +1
s2
ϕ (ω ) = - 180 + tan −1 αω
γ = 180 + ϕ (ωc ) = 45
180 + tan −1 αωc − 180 = 45
α =1
4
7-8 判别图(题 7-7)(a)， （b）所示系统的稳定性。
解(a)
2
图(题 7-8
0.1( s + 1) GB ( s ) = 3 s + 0.19 s 2 + 0.2 s + 0.1 D ( s ) = s 3 + 0.19s 2 + 0.2s + 0.1
P 2
(3) G ( jω )H ( jω ) =
10 ( jω ) (1 + j 0.1ω )(1 + j 0.2ω )
2
∵在 ( 0, ωc ) 之间， N ' = −1, P = 0, N ' ≠ ∴系统不稳定。 (4) G ( jω )H ( jω ) =
P 2
2 ( jω ) (1 + j 0.1ω )(1 + j10ω )
0
α ( 2 + K ) − (1 + K ) =0 使第三行全为零 α
工程控制基础 第5章系统的稳定性4
3
【例2】图示为某系统的开环Nyquist图，其开环传递函数为
T1，T2，TG3为(正s)数H，(确s)定系(统T1稳2 s定2 性 。K2(TT1ass11))((TT2bss11))(T3 s 1)
开环不稳定，闭环稳定
因G(s)H(s)在[s]右半平面有一个极点，为s=1/T2，所以 P=1，开环不稳定。 当ω由-∞变到+∞时， 由于开环Nyquist轨迹 逆时针包围点（-1，j0）一圈， 所以，闭环系统稳定。
故Nyquist曲线将穿越负实轴，交点处G(j)H(j )=－180ｏ
即 arctan4 1800 arctan arctan2 1800
得
1
22
G( j)H ( j) 1 10.6 22
9
开环Nyquist轨迹如图，由于开环有两个积分环节，所以ω从0-变到0+时， 曲线顺时针从π到-π转过半径为无穷大的圆弧。
当ω由-∞变到+∞时， 开环Nyquist轨迹顺时针 包围点（-1，j0）两圈，N=2， 而开环为最小相位系统，P=0， 所以闭环系统不稳定。 有两个极点在s右半平面。
G( j )H ( j ) 1 10.6 22 10
7.关于Nyquist判据的几点说明 （1）Nyquist判据不是在[s]平面而是在[GH]平面判别系统的稳定性。 （2）Nyquist判据的证明复杂，但应用简单。 （3）开环Nyquist轨迹关于实轴对称。 因为当-ω变到+ω时，G(-jω)H(-jω)与G(jω)H(jω)的模相同，而相位异号， 即
G( j)H ( j) G( j)H ( j) G( j)H ( j) G( j)H ( j)
由 变到0与由0变到 的开环Nyquist轨迹关于实轴对称。 因而一般只需绘出 由0到 的曲线即可判别稳定性 。
【例2】图示为某系统的开环Nyquist图，其开环传递函数为
T1，T2，TG3为(正s)数H，(确s)定系(统T1稳2 s定2 性 。K2(TT1ass11))((TT2bss11))(T3 s 1)
开环不稳定，闭环稳定
因G(s)H(s)在[s]右半平面有一个极点，为s=1/T2，所以 P=1，开环不稳定。 当ω由-∞变到+∞时， 由于开环Nyquist轨迹 逆时针包围点（-1，j0）一圈， 所以，闭环系统稳定。
故Nyquist曲线将穿越负实轴，交点处G(j)H(j )=－180ｏ
即 arctan4 1800 arctan arctan2 1800
得
1
22
G( j)H ( j) 1 10.6 22
9
开环Nyquist轨迹如图，由于开环有两个积分环节，所以ω从0-变到0+时， 曲线顺时针从π到-π转过半径为无穷大的圆弧。
当ω由-∞变到+∞时， 开环Nyquist轨迹顺时针 包围点（-1，j0）两圈，N=2， 而开环为最小相位系统，P=0， 所以闭环系统不稳定。 有两个极点在s右半平面。
G( j )H ( j ) 1 10.6 22 10
7.关于Nyquist判据的几点说明 （1）Nyquist判据不是在[s]平面而是在[GH]平面判别系统的稳定性。 （2）Nyquist判据的证明复杂，但应用简单。 （3）开环Nyquist轨迹关于实轴对称。 因为当-ω变到+ω时，G(-jω)H(-jω)与G(jω)H(jω)的模相同，而相位异号， 即
G( j)H ( j) G( j)H ( j) G( j)H ( j) G( j)H ( j)
由 变到0与由0变到 的开环Nyquist轨迹关于实轴对称。 因而一般只需绘出 由0到 的曲线即可判别稳定性 。
控制基础第五章(稳定)
s 12
§5-3 代数稳定判据——劳斯判据
[例3] 已知系统特征方程为: a0 s3+ a1 s2+ a2 s+ a3 =0 试求得系统稳定的条件。 解：(1)列劳斯表 (2)根据劳斯判据，要使 s3 a0 a2 系统稳定: ①特征方程的系数a0、 s2 a1 a3 a1、 a2、 a3均大于零; a1a2 a0 a3 s1 ②由劳斯表中第一列 a1 所有元素的值大于零 s0 a3 得： a1a2 – a0a3>0
sin[(nj 1 j2 )t j ]
上式中，si 和(-ζjωnj)分别是系统的实特征根和复 特征根实部。 上式表明：当系统的特征根都为负时，各暂 综上所述，线性定常系统稳定的充要 态项才都是衰减的，且 t → ∞时，各暂态分量都 条件是：闭环系统特征方程的所有根都具 趋向零；如果有任一个根的实部为正，则其对应 有负实部，或者说，闭环传递函数的极点 的暂态项将是发散的，系统将不稳定 。 均位于复平面的左平面（不包括虚轴）。
s n 3
§5-3 代数稳定判据——劳斯判据
特征方程： a0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s an 0
sn
劳 斯 表
a0 a1 b1 c1 u1
s n 1 s n2 s n 3 s0
a 2 a 4 a6 b1a3 a1b2 [劳斯判据] 系统稳定的充要条件是： c1 b1 ①特征方程的各项系数大于零；② a3 a5 a7 b1a5 a1b3 劳斯表中第一列所有元素的值均大 c2 b2 b3 b1 于零。如果第一列中出现小于零的 c2 c3 b a a1b4 c3 1 7 元素，系统就不稳定，且该列中数 b1 值符号改变的次数等于系统特征方 程正实部根的数目。
§5-3 代数稳定判据——劳斯判据
[例3] 已知系统特征方程为: a0 s3+ a1 s2+ a2 s+ a3 =0 试求得系统稳定的条件。 解：(1)列劳斯表 (2)根据劳斯判据，要使 s3 a0 a2 系统稳定: ①特征方程的系数a0、 s2 a1 a3 a1、 a2、 a3均大于零; a1a2 a0 a3 s1 ②由劳斯表中第一列 a1 所有元素的值大于零 s0 a3 得： a1a2 – a0a3>0
sin[(nj 1 j2 )t j ]
上式中，si 和(-ζjωnj)分别是系统的实特征根和复 特征根实部。 上式表明：当系统的特征根都为负时，各暂 综上所述，线性定常系统稳定的充要 态项才都是衰减的，且 t → ∞时，各暂态分量都 条件是：闭环系统特征方程的所有根都具 趋向零；如果有任一个根的实部为正，则其对应 有负实部，或者说，闭环传递函数的极点 的暂态项将是发散的，系统将不稳定 。 均位于复平面的左平面（不包括虚轴）。
s n 3
§5-3 代数稳定判据——劳斯判据
特征方程： a0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s an 0
sn
劳 斯 表
a0 a1 b1 c1 u1
s n 1 s n2 s n 3 s0
a 2 a 4 a6 b1a3 a1b2 [劳斯判据] 系统稳定的充要条件是： c1 b1 ①特征方程的各项系数大于零；② a3 a5 a7 b1a5 a1b3 劳斯表中第一列所有元素的值均大 c2 b2 b3 b1 于零。如果第一列中出现小于零的 c2 c3 b a a1b4 c3 1 7 元素，系统就不稳定，且该列中数 b1 值符号改变的次数等于系统特征方 程正实部根的数目。
第5章系统的稳定性
例3： 系统的特征方程为： s 4 3s3 s 2 3s 1 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解： ①由特征方程知各项系数为
a0 1, a1 3, a2 1, a3 3, a4 1
1 3 1 3 1 3 1
②
s4 s3 s2 s
0
s1 3 1
因为0<ε<1,则3-(3/ε)<0,表中第一列变号两次，故 系统有两个正根，是不稳定的。
统的稳定性。这是一种代数判据，依据根与系统的关系来 判断根的分布。
胡尔维茨n阶行列式
将系统特征方程的各系数排成如下行列式：
(1)特征方程式的各项系数均大于零，即ai>0
(2)胡尔维茨行列式中，主行列式及其对角线上各子行列式均具有正值。
例1 4 3 2 2 s s 3 s 5s 10 0 系统的特征方程为： 试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。 解： ①由特征方程知各项系数为： a4 2, a3 1, a2 3, a1 5, a0 10 均为正值，满足判据的必要条件ai>0， ②检验第二个条件， 1 a3 1 0
imre1k很小负穿越一次不稳定imre1k较大负正穿越各一次稳定imre1k更大正穿越一次负穿越二次不稳定已知开环乃氏图判断其闭环系统的稳定性bodenyquist轨迹与单位圆交点的频率即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率称为剪切频率或幅值穿越频率幅值交界频率记为nyquist轨迹与负实轴交点的频率即对数相频特性曲线与横轴交点的频率称为相位穿越频率或相位交界频率记为bode图上的稳定性判据可定义为
Xo(s)
H(s)
K (s z1 )(s z2 ) ( s zm ) Gk (s) G(s) H ( s) (n m) (s p1 )(s p2 )( s pn )
控制系统的稳定性与快速培训课件
Z P 2N
若Z=0，则闭环系统稳定，
Z 0 则闭环系统不稳定
Z为闭环特征方程正实部根旳个数。
例：如图5-17所示旳四种开环Bode曲线，试用Nyquist稳 定性判据, 判断系统旳稳定性。
已知P=0，在L(ω)≥0旳范围内，
N 1 N 1 N N N 0
Z P 2N 0
例5-7 设某控制系统旳特征方程为
s6 s5 2s4 3s3 7s2 4s 4 0
用Routh判据拟定系统正实部根旳个数。 解 列出Routh表
s6 1 2 7 4
s5 1 3 4
s4 1 3 4 辅助方程为 s3 0 0 0
（辅助方程A（s）=0系数）
A(s) s4 3s2 4 0
假如系统不能恢复稳定状态，则以为系统不 稳定。
mF F
单摆系统稳定
倒摆系统不稳定
a b
e d
c
The concept of stability
o
cF
b
a
M
o
The balance of a pendulum
The balance of a small ball
A necessary and sufficient condition for a feedback
n
A(s) a0 (s pi ) i 1
由多重根旳韦达定理得：
a1 a0
( p1
p2
pn )
a2 a0
( p1 p2
p1 p3
pn1 pn )
a3 a0
( p1 p2 p3 p1 p2 p4 pn2 pn1 pn )
an a0
(1)n ( p1 p2 p3 pn )
若Z=0，则闭环系统稳定，
Z 0 则闭环系统不稳定
Z为闭环特征方程正实部根旳个数。
例：如图5-17所示旳四种开环Bode曲线，试用Nyquist稳 定性判据, 判断系统旳稳定性。
已知P=0，在L(ω)≥0旳范围内，
N 1 N 1 N N N 0
Z P 2N 0
例5-7 设某控制系统旳特征方程为
s6 s5 2s4 3s3 7s2 4s 4 0
用Routh判据拟定系统正实部根旳个数。 解 列出Routh表
s6 1 2 7 4
s5 1 3 4
s4 1 3 4 辅助方程为 s3 0 0 0
（辅助方程A（s）=0系数）
A(s) s4 3s2 4 0
假如系统不能恢复稳定状态，则以为系统不 稳定。
mF F
单摆系统稳定
倒摆系统不稳定
a b
e d
c
The concept of stability
o
cF
b
a
M
o
The balance of a pendulum
The balance of a small ball
A necessary and sufficient condition for a feedback
n
A(s) a0 (s pi ) i 1
由多重根旳韦达定理得：
a1 a0
( p1
p2
pn )
a2 a0
( p1 p2
p1 p3
pn1 pn )
a3 a0
( p1 p2 p3 p1 p2 p4 pn2 pn1 pn )
an a0
(1)n ( p1 p2 p3 pn )
第五章 控制系统的稳定性分析
an−1an−4 − an an−5 A2 = an−1
M
A1an−3 − an−1 A2 B1 = A1
A1an−5 − an−1 A3 B2 = A1
M
控制工程基础
第五章 稳定性分析
(3)若劳斯计算表中，第一列各元素的符号都 相同，系统是稳定；若第一列各无符号不同， 则系统是不稳定的，其各符号依序改变的次数， 等于正实部特征根的个数。 系统稳定的充要条件： 系统稳定的充要条件： Routh表中第一列各元素的符号均为正且 Routh 表中第一列各元素的符号均为正且 值不零。 值不零。
引起的输出及其终态不超过预先给定的某值，即 不超出域 ε ，则称系统稳定，或称为李氏意义下 稳定。 其数学描述为： 初态为 输出满足
(k xo ) (0) <η
( x o k ) (t ) ≤ ε
oη (ε )
ε
(0 ≤ t ≤ ∞ )
式中， k=0,1,2,…,则系统称为李氏意义下稳定。
控制工程基础
控制工程基础
第五章 稳定性分析
三、关于稳定性的一些提法
1、李亚普诺夫意义下的稳定性
俄国学者李亚普诺夫在统一考虑了线性下非 线性系统稳定性问题后，于1982年对系统稳定性 提出了严密的数学定义。 若o为系统的平衡工作点,扰动使系统偏离此 工作点的起始偏差(即初态)不超过域 η，由扰动
控制工程基础
第五章 稳定性分析
控制工程基础
第五章 稳定性分析
结论：
1、存在两个符号相异，绝对值相同的实根； 2、存在一对共轭纯虚根； 3、存在实部符号相异，虚部数值相同的两对 共轭复数根。
控制工程基础
第五章 稳定性分析
例： D( s ) = s 5 + 2 s 4 + 24s 3 + 48s 2 − 25s − 50 = 0 解：
机械工程控制基础(第五版) 第五章系统的稳定性课件
本章难点
Nyquist判据及其应用。
5.1 系统稳定性的初步概念
5.2 Routh稳定判据
n Routh判据：通过系统特征方程的各项 系数进行代数运算，得出全部根具有 负实部的条件。从而判别系统的稳定 性，是一种时域判据。
一、系统稳定的必要条件
二、系统稳定的充要条件
三、Routh判据特殊情况
n 例5:设系统特征方程为
D(s)=s5+2s4+24s3+48s2-25s-50=0
试用Routh判据判别系统的稳定性.
解:列Routh表:
S5
1
24
-25
S4
2
48
-50
S3
0
0
0
由第二行各元构造辅助方程:
幂次)
2s4+48s2-50=0
(注意s的
取F(s)对s的导数:8s3+96s=0
S3中各元可用此方程中系数8和96代替,得Routh 表如下:
5.4 Bode稳定判据
n 一、Nyquist图和Bode图的对应关系 n 二、穿越的概念 n 三、Bode判据
一、Nyquist图和Bode图的对应关系
二、穿越的概念
三、Bode判据
5.5 系统的相对稳定性
The End！
比较这三个式子：
GB(s) GK(s)
F(s)
零点 零点
极点 极点ຫໍສະໝຸດ 零点极点n 3、幅角原理（映射定理）
二、Nyquist稳定判据
n 1、s平面封闭曲线的选择
n （3）平面[s]上，将-j∞→＋j∞→∞组成的曲线， 换成仅由虚轴（即-j∞→j∞）代表的曲线。
n 综上所述，Nyquist判据表述如下：
[工学]控制工程基础第五章系统的稳定性
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第五章 系统的稳定性
基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。
劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。每行计算 到出现零元素为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳 斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。
sn s n-1 s n-2 s n -3 s1 s0
an an -1 b1 c1 d1 e1
an - 2 a n -3 b2 c2
an - 4 a n -5 b3
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
y (t ) A j e
j 1
q
p jt
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r
k 1
r
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
2
基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。
劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。每行计算 到出现零元素为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳 斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。
sn s n-1 s n-2 s n -3 s1 s0
an an -1 b1 c1 d1 e1
an - 2 a n -3 b2 c2
an - 4 a n -5 b3
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
y (t ) A j e
j 1
q
p jt
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r
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r
Ck k nk Bk
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e k nkt sin dk t
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
2
机械控制工程基础-CH5系统的稳定性讲解
精品资料
§5.1 系统稳定性的初步(chūbù)概念
精品资料
5.1.1 系统不稳定(wěndìng)现象的 发生
如图5.1.1所示的液压位置随动系统，从油源来的压力为Ps的 压力油，经伺服阀和两条软管以流量
进入或流出油缸，阀芯相对于阀体获得输入位移(wèiyí)
q后1 ,，q 活2 塞输出位移(wèiyí) ，此输出再经活塞与阀体的刚性
式反中之，若要则求系系统统称的为输在出Л不яп能ун超о出в意任义意下(r稳èn定yì)；
给定的正数 ，但却不能找到不为零的正数
来满足式(5.1.6)，则系统称为在Ляпунов意义 下不稳定。
精品资料
2、渐近稳定性 渐近稳定性就是前面对线性系统定义的稳定性，
它要求由初态引起的响应最终衰减到零，一般所讲 的线性系统的稳定性，也就是渐近稳定性，当然， 也是Ляпунов意义下的稳定性；但对非线系统而言， 这两种稳定性是不同的。 比较渐近稳定性与Ляпунов意义下的稳定性可知， 前者(qián zhě)比后者对系统的稳定性的要求高，系 统若是渐近稳定的则一定是Ляпунов意义下稳定的， 反之则不尽然。
精品资料
§5.2 Routh（劳斯）稳定 (wěndìng)判据
精品资料
§5.2.1 Routh判据(pàn jù)
1.系统稳定的必要条件 设系统特征方程为：
将式（5.2.1）中D 各( s 项) 同 a 除n s 以n a na 并n 1 分s n 解 1 ( fēnj iěa )1 因s 式a ，0 得0
当然，由式（5.2.4）还可看出，仅仅
有各项系数ai 0 ,还不一定能判s1定,s2, ,sn
均具有负实部，也就是说，系统要稳 定，必须满足式（5.2.5）；而满足 (5.2.5），系统可能稳定，也可能不 稳定。
§5.1 系统稳定性的初步(chūbù)概念
精品资料
5.1.1 系统不稳定(wěndìng)现象的 发生
如图5.1.1所示的液压位置随动系统，从油源来的压力为Ps的 压力油，经伺服阀和两条软管以流量
进入或流出油缸，阀芯相对于阀体获得输入位移(wèiyí)
q后1 ,，q 活2 塞输出位移(wèiyí) ，此输出再经活塞与阀体的刚性
式反中之，若要则求系系统统称的为输在出Л不яп能ун超о出в意任义意下(r稳èn定yì)；
给定的正数 ，但却不能找到不为零的正数
来满足式(5.1.6)，则系统称为在Ляпунов意义 下不稳定。
精品资料
2、渐近稳定性 渐近稳定性就是前面对线性系统定义的稳定性，
它要求由初态引起的响应最终衰减到零，一般所讲 的线性系统的稳定性，也就是渐近稳定性，当然， 也是Ляпунов意义下的稳定性；但对非线系统而言， 这两种稳定性是不同的。 比较渐近稳定性与Ляпунов意义下的稳定性可知， 前者(qián zhě)比后者对系统的稳定性的要求高，系 统若是渐近稳定的则一定是Ляпунов意义下稳定的， 反之则不尽然。
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§5.2 Routh（劳斯）稳定 (wěndìng)判据
精品资料
§5.2.1 Routh判据(pàn jù)
1.系统稳定的必要条件 设系统特征方程为：
将式（5.2.1）中D 各( s 项) 同 a 除n s 以n a na 并n 1 分s n 解 1 ( fēnj iěa )1 因s 式a ，0 得0
当然，由式（5.2.4）还可看出，仅仅
有各项系数ai 0 ,还不一定能判s1定,s2, ,sn
均具有负实部，也就是说，系统要稳 定，必须满足式（5.2.5）；而满足 (5.2.5），系统可能稳定，也可能不 稳定。
第五章 控制系统的稳定性分析
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据 例 已知一调速系统的特征方程式为
试用劳斯判据判别系统的稳定性：S 3 + 41.5S 2 + 517 S + 2.3 × 10 4 = 0 解：列劳斯表
S3 S2 S1 S0 1 41.5 − 38.5 2.3 × 10 4 517 2.3 × 10 4 0 0
a n s n + a n −1 s n −1 + ⋯ + a 0 = 0 通过因式分解，总 对于特征方程： 通过因式分解， 对于特征方程：
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据
1) 列写罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数，结果不变 列写罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数， 。
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据 一．代数稳定判据
不必求解系统的特征方程， 不必求解系统的特征方程 ，通过对特征方程的系数进行分析来判 断系统的稳定性的方法。 断系统的稳定性的方法。
可 以 分 解 为 一 次 因 子 和 二 次 因 子 的 乘 积 的 形 式 ， 即 ： (s+a) 和 (s2+bs+c)相乘的形式。只有 、b、c都是非零的正值时，才能得到负 相乘的形式。 都是非零的正值时， 相乘的形式 只有a、 、 都是非零的正值时 实根或具有负实部的共轭复根。所以ai>0是判定系统稳定的必要条 实根或具有负实部的共轭复根 。 所以 是判定系统稳定的必要条 但非充分条件。罗斯-赫尔维茨稳定判据即是检验系统稳定的充 件，但非充分条件。罗斯 赫尔维茨稳定判据即是检验系统稳定的充 要条件。 要条件。 1、罗斯（Routh）稳定判据： 、罗斯（ ）稳定判据：
控制工程基础第5章稳定性分析
c3
b1a7 a1b4 b1
d1
c1b2
b1c2 c1
这种过程一直进行到第n行被算完为止。 系数的完整阵列呈现为三角形。在展开的 阵列中，为了简化其后的数值计算，可用 一个正整数去除或乘某一整个行。这时， 并不改变稳定性结论。劳斯判据还说明： 实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第 一列的系数符号改变的次数。
显然，对于K＝10的2频率特性，满足上式，系
统稳定。对于k=40的频率特性，当0＜ω<∞
变化时，
argG j 3
所以，这时系统不稳定2 。
0
乃奎斯特稳定性判据的另一表述
令ω从-∞增长到0，相应得出的乃氏图是与 ω从0增长到十∞得出的乃氏图以实轴对称的 ，例如图所示的乃氏图。
当开环特征式具有零根时，对应的乃氏曲线 不封闭。为使其封闭，实用中可将其处理成 左根，如下图所示，其中ε为非常小的正数 ，φ从0°90°。
）并命ω从0连续增大到∞时，复数D（s）的
角连续增大
n
i 1
args
si
n
2
5.4.2 乃奎斯特稳定性判据
设反馈控制系统前向通道和反馈通道传递函
数分别为 G1s
开环传递函数为
B1 A1
s s
,
H s
B2 s, A2 s
则其
G1sH s
B1 s A1 s
B2 A2
s s
NK DK
s s
X o s X i s
argDK
j
n
2
: 0
这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点
也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，
argDB
j
n
2
控制工程基础：第五章 控制系统稳定性分析
a3 0 a2
a1 a3 a5 3 a0 a2 a4 0
0 a1 a3
……
❖ 代数稳定性判据使用的多项式是系统闭环特征多项 式。 代数判据的局限性：
• 必须知道系统的闭环传递函数 • 定性——较难从量上判断系统的稳定程度 • 对含有延迟环节的系统无效
Nyquist 稳定性判据 （几何判据） 根据开环频率特性判断闭环稳定性
闭环系统稳定。
2、若开环极点有p个根在s右半平面，q个根在原点，其余 （n-p-q)个根在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理推论：
arg[DK
(
j)]
(n
p
q)(
2
)
,
: 0
如果闭环系统稳定，即 DB (s) 所有极点均在左半平面。
arg[
DB
(
j)]
n(
2
)
,
: 0
则
arg[F ( j)] arg[1+G( j)H ( j)] n( ) (n p q)( )
a b
倒摆系统不稳定
e d
c
5.2 系统稳定的充要条件
如果系统稳定，当时间趋近于无穷大时，零输入响应
应趋近于零。即 x0 (t ) 0
t
k
r
x0 (t) Cie pit Aieit sin(it i )
i 1
i 1
pi 0 ， i 0
❖ 控制系统另一充分必要条件是：系统特征方程的根
Nyquist 稳定性判据1
R(s) G(s)
C(s)
Gk (s)
G(s)H (s)
q(s) p(s) DK (s)
H(s)
设辅助函数F(s),令
G(s)
控制工程基础第5章
(s) G(s)
1 G(s)H(s)
闭环特征方程 1 G(s)H(s) 0
辅助函数 F(s) 1 G(s)H (s) 1 M (s) N (s) M (s)
N (s)
N (s)
特 点 ① F(s)的零点即为系统闭环传递函数Φ(s)的极点，
② F(s)的极点即为开环传递函数Gk(s)的极点。
s(s 1)
F(s) 1 G(s)H(s) s2 s 1 s(s 1)
s1 1 j2
F (s1 )
(1 j2)2 (1 j2) 1 (1 j2)(1 j2 1)
0.95
j0.15
j
j2
s1
s
Im
F s
s s'
1 0 1
s1 1 j2
0
0.95
0.15
Re
F (s1 )
F(s1) 0.95 j0.15
系统稳定的必要条件：特征方程的各项系数 ai >0。
劳斯（Routh）稳定判据
设系统的闭环特征方程式为如下标准形式
D(s) a0sn a1sn1
劳斯数列（劳斯表）
s n a0 a2 a4
s n1 a1 a3 a5
sn2
b1 b2
b3
s n3
c1 c2
c3
an1s an 0
特点：逐行计算， 运算中的空位置零， 系数呈上三角形。
若t→∞时，脉冲响应
limc(t) 0
t
即输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统是稳
定的。
(s) C(s)
R(s)
R(s) 1
C(s) (s)
c(t) g(t) lim g(t) 0 t
工程控制基础 第5章 系统的稳定性分析
或： an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
12
5.2 Routh （劳斯）稳定判据
系统稳定的充要条件
特征方程： D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
Routh 表：
sn an
LGH：
limG(s)H(s)
s1 (30) 11 1 30 12 0 0 （ 改 变 符 号 一 次 ）
s0
30 30
00
第一列各元符号改变次数为2，因此 1. 系统不稳定 2. 系统有两个具有正实部的特征根
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机械工程控制基础
14
例2 已知=0.2及n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。
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机械工程控制基础
4
5.1 系统的稳定性与稳定条件
系统不稳定现象
例：液压位置随动系统
① 随动：活塞跟随阀芯运动 ② 惯性：引起振荡 ③ 振荡结果：
① 减幅振荡 （收敛，稳定）
② 等幅振荡 （临界稳定）
华中科技大学 易朋兴
③ 增幅振荡 （发散，不稳定）
2019/12/30
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所得的结果
。
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5.2 Routh （劳斯）稳定判据
系统稳定的充要条件
特征方程： D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
Routh 表：
sn an
LGH：
limG(s)H(s)
s1 (30) 11 1 30 12 0 0 （ 改 变 符 号 一 次 ）
s0
30 30
00
第一列各元符号改变次数为2，因此 1. 系统不稳定 2. 系统有两个具有正实部的特征根
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例2 已知=0.2及n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。
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5.1 系统的稳定性与稳定条件
系统不稳定现象
例：液压位置随动系统
① 随动：活塞跟随阀芯运动 ② 惯性：引起振荡 ③ 振荡结果：
① 减幅振荡 （收敛，稳定）
② 等幅振荡 （临界稳定）
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③ 增幅振荡 （发散，不稳定）
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由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所得的结果
。
第五章 控制系统的稳定性分析(含习题答案)
f1 g1
劳斯阵列
注意：如果劳斯阵列第一列元素的符号不全 相同，则该列元素符号变化的次数，就是特 征方程所含实部为正的根的数目。
劳斯判据使用说明： （ 1）用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行，不会改变稳定性的结论。
4 3 2 例5-1 设控制系统的特征方程式为：D s s 8s 17 s 16s 5 0
Bl e
l 1
sin l t l Dr t r e r t sin r t r
r 0
n4 1
n2重实根
s pk
n3对不同的共轭复数根 s l jl
结论：控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的根全部具 有负实部。
5. 2 系统稳定的充要条件
s3, 4 2 j
系统特征方程具有两对共轭虚根，系统处于临界稳定。（不稳定，对应的 暂态分量为等幅振荡。)
劳斯判据使用说明：
例 5-3 ： 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：G s 试应用劳斯判据判断预使系统稳定的K的取值范围。 解：根据题意，可得系统的闭环传递函数为：
K s s 2 s 1 s 2
大范围稳定：系统稳定与否，与初始偏差的大小无关。 小偏差稳定：初始偏差不超过一定范围的情况下，系统是稳定的。
5. 2 系统稳定的充要条件
一、系统稳定条件分析
系统扰动输入到输出之间的传递函数：
Xo s G2 s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm M s N s 1 G1 s G2 s H s a0 s n a1s n 1 an 1s an D s
C s D s
闭环传递函数的特征方程：D(s)=0，特征方程的根即系统传递函数的极点。
第5章控制系统的稳定性分析
j 2
乃氏图如下图所示。开环特征式有一个右根 ，封闭的乃氏曲线逆时钟包围（-1，j0）点1 圈，则系统闭环后稳定。
Im
-1
Re 0
应用逆Nyquist图的Nyquist稳定判据
Nyquist稳定判据也可以采用逆Nyquist 图使用。采用逆Nyquist图的稳定判据可以从 顺Nyquist图的稳定判据推导出来。判据表述 如下：如果s沿D形围线变化一周时， G(s)H(s)逆时针方向包围(-1,j0)点的周数减 去G(s)H(s)逆时针方向包围原点的周数等于 G(s)H(s)在右半平面的极点数目p，则闭环系 统是稳定的。
Im S2
Im
Re
S3
Im
图5-5 具有负实部的共轭复根情况 因此，（n-p-q）个左根的总角变化量为（ n-p-q）π/2
设S2、S3为具有负实部的共轭复根， S2=-a+jb (a>0,b>0) S3=-a-jb 对于矢量（S-S2）和（S-S3）, 当S： 0→jω变化时 b arg s s 2 arctan 2 a b arg s s3 arctan 2 a arg s s 2 arg s s3 2 2
控制工程基础
第五章
控制系统的稳定性分析
付胜杰 华侨大学机电工程及自动化学院
第五章 控制系统的稳定性分析
5.1 系统稳定性的基本概念
1. 单摆
系统受扰动后能否恢复原来的状态
2. 控制系统的稳定性 定义：
若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其 过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零， 且有恢复原平衡状态的性能，则该系统稳定。
5.2 系统稳定的充要条件
X o s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm G2 s n n 1 N s 1 G1 s G2 s H s a0 s a1s an 1s an
乃氏图如下图所示。开环特征式有一个右根 ，封闭的乃氏曲线逆时钟包围（-1，j0）点1 圈，则系统闭环后稳定。
Im
-1
Re 0
应用逆Nyquist图的Nyquist稳定判据
Nyquist稳定判据也可以采用逆Nyquist 图使用。采用逆Nyquist图的稳定判据可以从 顺Nyquist图的稳定判据推导出来。判据表述 如下：如果s沿D形围线变化一周时， G(s)H(s)逆时针方向包围(-1,j0)点的周数减 去G(s)H(s)逆时针方向包围原点的周数等于 G(s)H(s)在右半平面的极点数目p，则闭环系 统是稳定的。
Im S2
Im
Re
S3
Im
图5-5 具有负实部的共轭复根情况 因此，（n-p-q）个左根的总角变化量为（ n-p-q）π/2
设S2、S3为具有负实部的共轭复根， S2=-a+jb (a>0,b>0) S3=-a-jb 对于矢量（S-S2）和（S-S3）, 当S： 0→jω变化时 b arg s s 2 arctan 2 a b arg s s3 arctan 2 a arg s s 2 arg s s3 2 2
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控制系统的稳定性分析
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第五章 控制系统的稳定性分析
5.1 系统稳定性的基本概念
1. 单摆
系统受扰动后能否恢复原来的状态
2. 控制系统的稳定性 定义：
若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其 过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零， 且有恢复原平衡状态的性能，则该系统稳定。
5.2 系统稳定的充要条件
X o s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm G2 s n n 1 N s 1 G1 s G2 s H s a0 s a1s an 1s an
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Bk e k nkt cos dk t
k 1Leabharlann rk 1r
Ck k nk Bk
dk
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系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
Ck k nk Bk
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从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
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p jt
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
判别系统是否稳定，就是要确定系统特征方程根是否全部 具有负的实部，或者说特征根是否全部位于[s]平面的虚轴 左侧。这样就面临着两种选择；
1. 解特征方程确定特征根，这对于高阶系统来说是困难的。
5.1 系统稳定的定义和条件
1.几个例子
o
d
f
c bde
b
M
c
o
a
小球的稳定性
单摆
倒立摆
2.系统稳定的定义 若系统零输入响应随时间的推移，逐渐衰减并趋向于零(回到平衡 位置),则称该系统是稳定的；反之，若系统的零输入响应发散，则系 统是不稳定的。 控制系统的稳定性是指系统在给定信号作用下，输出应能达到新 的平衡状态，或在扰动去掉之后，系统的输出能以足够的精度恢复到 原来的平衡状态。
2. 讨论根的分布，研究特征方程的是否包含右根及有几个 右根。
4.控制系统的稳定性分析
控制系统能在实际中应用的首要条件就是必须稳定。一个不 能稳定的系统是不能工作的。判别系统稳定性的准则，也称 为系统的稳定性判据。 劳斯（Routh）-胡尔维茨（Hurwitz）判据:是依据闭环系统 特征方程式对系统的稳定性做出判别，它是一种代数判据。
对于
(s p ) 0
j j 1
q
求极点。
s1 p1 ; s2 p2 ; s j p j ;
对于
(s
k 1
r
2
2 k nk s ) 0
2 nk
根据情况不同，解不同，但实部都为
nk
为便于分析，假定闭环传递函数有q个相异的实数极点及r对 不相同的共轭复数极点，当输入单位脉冲函数X(s)=1时，输 出的拉氏变换式为
Bk s Ck Y ( s) 2 2 s p s 2 s j 1 k 1 j k nk nk
q
Aj
r
上式的拉氏反变换为
y (t ) A j e
j 1
q
p jt
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r
k 1
r
est
1 G( s) H ( s) 0
n
i
s t 其自由响应，即线性齐次方程的通解为: xo (t ) Ai e i 1
t
0
稳定的条件：
lim xo (t ) 0
t
系统稳定的充要条件：若系统的全部特征根（传递函数的全部极点） 全部具有负实部（位于[s]左半平面），则系统稳定。
综上可见： 特征根中只要有一个是正实根，则解就发散，系统就不稳定； 当特征根中的共轭复根具有正实部时，解呈发散振荡，故系 统不稳定； 若特征根中有零根，则全解中的瞬态分量将趋于某个常值， 故系统也不稳定； 若特征根中含有共轭虚根，则的解呈等幅振荡，这时系统出 现所谓临界稳定状态。由于在实际工作中，系统的参数值往 往要发生变化，因此共轭虚根有可能转变成具有正实部的共 轭复根，而使系统不稳定。所以，从控制工程实践角度看， 一般认为临界稳定属于系统的实际不不稳定工作状态。 当特征根中没有零根，没有共轭虚根，并且所有实根都是复 的，共轭复根具有负实部时，解是指数衰减的，或衰减振荡 的，因而系统稳定。
Y (s) b s 一般情况下，系统的闭环传递函数为 (s) X ( s) a s
m n
m
bm 1s m 1 ...... b1s b.0 n an 1s n 1 ...... a1s a0
m i 1
...... b1s b.0 Y ( s ) bm s bm 1s (s) p ) ( s 2 s ( s X ( s ) an s n an 1s n 1 ...... a1s a0
第五章 系统的稳定性
基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。
图5-1系统稳定性示意图 控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，而与输 入信号的形式无关。
3.稳定性条件
n n 1 对于线性微分方程 (an p an 1 p a1 p a0 ) xo (t ) xi (t )
闭环传递函数为: 特征方程为:
GB ( s )
G( s) 1 G( s) H ( s)
m
K (s Zi )
r 2 k q j nk j 1 k 1
m 1
2 nk
)
K (s Zi )
i 1 2 2 ( s p ) ( s 2 s j k nk nk ) j 1 k 1 q r
m
闭环系统的特征方程为
2 2 ( s p ) ( s 2 s j k nk nk ) 0 j 1 k 1 q r