模糊数学3(水平截集、最大隶属原则)-061008

A B

U B u A B u A 或u 0A
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 2
§1.2.2 分解定理
定义1.
2.2 数乘
设 A 是论域U上的一个模糊子集( A F (U ) )， 0,1 由 , A 构成一个新的模糊子集，记为 A ， 其隶属函数为 A (u) A (u)
§1.2.2 分解定理
分解定理：
对论域U上的一个模糊子集 A ( A F (U ) )，有
A A 0,1
1

A(u)


0
3
1
A(u)

A 3
A 2
A
U
2 1
0
A 1
u1 u2 u3
U
分解定理给出利用普通集合 A 表示模糊子集 §1.2.2 依据和实际做法。
常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法） 和择近原则（间接法）两种。
实例：苹果等级识别
1.
2. 3.
训练样本集的建立：从苹果的横径、色泽以 及果形指数三个方面把苹果分为四类，精品 果、二级果、三级果、四级果。 样本集训练步骤:原始数据标准化等，建立标 准类型（模式）－聚类分析。 试验结果：对52个苹果进行训练，精品果、 二级果、三级果、四级果各30个，正确率达 到95％ 。
A u u U , A (u )

“优良者” 所谓的“择优录取”，即为确定一个阈值 ， 1 ( u ) A 0 (u ) u )A u i （应试者）的隶属度 U C A ( 当元素 时， i 0 ( u ) A A 该应试者属于“优胜者”，否则不属于“优胜

1
A(u) “及格者”

为模糊子集 A 的



水平截集。
A0.6 u1, u2 , u4 , u5 所谓取一个模糊子集的水平 截集，就是将隶属函数按下 A0.8 u , u , u 1 2 5 式转化为特征函数：
1
§1.2.1 水平截集 C A (u ) A(u)
§1.2.3 扩张原则
水平截集说明了模糊子集向普通集合的转化过程； 分解定理则是相反过程，利用一系列普通集合（集 合套）求并得到模糊子集，从而将模糊集合论中的 问题转化到普通集合论的问题来解决。 而扩张原则却是把普通集合论的方法直接扩展到 模糊集合论。 设有映射 f : U V 如果在论域U上给定一个普通集合A，则可通过映 射 f 得到V 中的一个普通集合B，记为 B f ( A) ， 且 B V 。称B是由 f 产生的A的象，A是B的原象 论域U上模糊子集 A 在 f 下的象？ 1975年，zadeh，公理
2 A (u ) 或 B应的 (u )A 逐渐扩展，从而 1 得到一系列普通集合。

A(u) 从图中可见，当 1 max (u ) 的取值 A (u ), B
从1逐渐减小而到0时，相
性质（2）说明截集水平 越低， A 越大； 反之，截集水平 越高， A 越小 u ( A B ) (u )
分解定理
A的理论
0,1 任取 0,1 ，可将 A 切割为 A ，而将所有 A 的 A 拼凑起来组成 0,1 ，就得到 A ， 即任何一个模糊子集可由一类集合套来表示
分解定理： A
A
3
1
A(u)

A 3 当 遍取 0,1中，对
需要一种沟通模糊子集和普通集合的办法。
若对模糊子集给出一个确定的阈值 ，则模 糊子集的元素可分成“非此即彼”的两种情 A (u) 和 A (u) 。于是，诱导出在 形： 意义下的普通集合。
§1.2.1 水平截集
定义
1.2.1 水平截集
给定论域U，对 A F (U ), 0,1 ，称普通集合
1. 近似等腰三角形
A B与B C的差值愈大, u( A, B, C)越不等腰
0 A 85 , B 50 , C 45 三角形内角分别为： ，判别属何类？ U ( A , B , C ) A B C 180 ,A BC 0 例2：三角形识别问题
0
1 1 I (85,50,45) I ( A, B, C 1 ) 1 min 85 min 50,50 A B 45 ,B 0.916 C 1. 近似等腰三角形 I ， 60 60 1 1 C) 1 1 85 A 90 90 0.94 R ( A, B,45) R (85,50, 2. 近似直角三角形 R， 90 90 1 1 ( A, B, C ) 11 A (85,50, 45) 85 C 45 0.77 3. 近似正三角形 E ， E 180 180 (85,50,45) min 0.916,0.94 0.916 I RR 4. 近似等腰直角三角形 I ，

A0.6 u1, u2 , u4 , u5 A0.8 u1, u2 , u5 0 1 A0.9 u1, u2 A (u ) A1 u1
§1.2.1 水平截集
实际问题的某个时刻，需要判断某个元素对
模糊子集的明确归属，这就要求模糊子集与 普通集合可以依据某种法则相互转化。
整体被划分的类型（模式）和被识别的对象，如果 是某个论域中的模糊子集，这种模式识别就称为模糊 模式识别。
§1.3.1 最大隶属原则
整体被划分的类型（模式）和被识别的对象，如果 是某个论域中的模糊子集，这种模式识别就称为模糊 模式识别。

研究：模式为论域U中的n个模糊子集
被识别的对象分为单个确定的元素或模糊子集
称
A 为数 与模糊子集 A 的数乘。



特别地，当 A 为普通集合时： A (u) CA (u) 如果把 A 视为模糊子集，其隶属函数为：


1 u A u A A (u ) C A (u ) 0 u A 0 u A
l 1 2
A1 0.8 0.3 0.1 ; A2 0.2 0.6 0.1 乙 乙 甲 丙 甲 丙 A3 0 0.1 0.8 乙 甲 丙
那么，甲、乙、丙应归于那一类？ max A (甲), A (甲), A (甲) max 0.8, 0.2, 0 A (甲)

1

2

3

1
§1.3.2 应用实例
机器自动识别染色体或白血球分类，应用几何图形识别
例2：三角形识别问题
设三角形论域 U ( A, B, C ) A B C 1800 , A B C 0 现给出各种类型的三角形隶属函数。


I ，其隶属函数为 1 I ( A, B, C ) 1 min A B, B C 60 R，其隶属函数为 2. 近似直角三角形 u ( A, B, C )愈接近等腰三角形， A 与 B（或 B与C）愈接近，三角形 1 1 a min A B, B C 即隶属度趋于 1) 。 R ( A, B, C 1 I A 90 90
如果没有
B

f (u ) v

2
2
3
3
映射后的隶属度保持不变！ 扩张原则把普通集合论的方法直接扩展 到模糊集合论。

§1.3.1 最大隶属原则
模式识别： 对所研究的具体对象，根据它的某些特征 进行识别并分类。

这种分类是在已知模式的前提下进行的，也就是将 整体划分为若干类型，作为一组标准模式。对于某个 具体对象，判别它属于那个模式，即属于那一类。
u1 u2 u3
当 遍取[0,1] 中的实数时，按模 A 糊子集求并运算的规则， 0,1 恰好取各 点隶属函数的最大值， 将这些点连成一条曲线，正是模 A 糊子集 的隶属函数 。
U

1 1 1 0 2 2 0 0 3 1 A 1 , 2 A 2 , 2 A 2 u1 u 2 u 3 u1 u 2 u 3 u1 u 2 u 3 1 0 0 1 2 0 1 2 3 A 0,1 u1 u2 u3 1 2 3 A u1 u 2 u 3
直接方法：对象为单个确定的元素，通过直接计算 被识别对象的隶属函数以判别其属于那个模糊子集， 最大（极大）隶属原则。 间接方法：对象为群体，模糊子集，判别与那一种 已知的模糊子集最“贴近”，择近原则。
模式识别主要包括三个步骤 :
1.
2. 3.
提取特征，首先需要从识别对象中提取与识 别有关的特征，并度量这些特征，于是每个 识别对象就对应一个向量，建立训练样本。 建立标准类型的隶属函数，标准类型通常是 论域上的模糊子集。 建立识别判决准则，确定某些归属原则，以 判定识别对象属于哪一个标准类型。
1 0.9 0.5 0.6 0.8 A u1 u2 u3 u4 u5

§1.2.1 水平截集 u1 u2 u3 应试者
成 绩
u4
60
u5
80
100
90
50

“优胜者”的模糊子集 A 1 0.9 0.5 0.6 0.8 A u1 u2 u3 u4 u5 “及格者” “优良者” “优秀者” “满分者”
“模糊模式识别在计算机识别中的应用研究”， 张娜等，微计算机信息，2004，20（6）
§1.3.1 最大隶属原则
u 0 U 设 A1, A2, An 是论域U上 n 个模糊子集， 若有 l 1, 2,, n，使 A (u 0 ) max A (u 0 ), A (u 0 ), , An (u 0 ) 则认为 u 0 相对隶属于模糊子集 Al 。 U 甲，乙，丙，论域U 上有三个模糊子集 例1 ： A2 （一般）， A3（差）： A（研究能力强）， 1

§1.2.3 扩张原则
给定两个论域U、V，以及映射
f :U V
则对 A F (U ), f ( A) B 是论域V上的一个模 糊子集，即 B F (V ) 其隶属函数为 B (v) A (u ), u U , v V
u 使得 f (u) v ，则规定 (v) 0。 U 0.8 u · · U 0.8 u · v1 0.8 V v1 0.8 V · 1 1 0.7 u2 · · 0.7 u2 · v 0.7 v 0.5 · 0.5 u3 · 0.5 u3 · v 0.5 v 0
第一章 模糊集合的一般概念
§1.1 模糊子集的定义及运算 §1.2 水平截集、分解定理、扩张原则 §1.2.1 水平截集
§1.2.1 水平截集
引例：5位应试者参加的选拔考试中， 5位 应试者及其成绩如下表所示（百分制）：

应试者
u1
100
u2
90
u3
50
u4
60
u5
80
成 绩
如何按“择优录取”的原则来挑选优胜者 设模糊子集 A 表示“优胜者”，以各人成 A 的隶属度。 绩与最高分的比值作为属于

1


0

A
U
0
A
U
水平截集的性质：
A B ,( A B) A B （2） 若1，2 01 ，且 1 2 A1 A2
（1）( A B)
§1.2.1 水平截集
水平截集的性质：
( A B) A B ,( A B) A B （ 1） （2） 若1，2 0，且 1 1 2 A 1 A2
A 2
2 1
0
A 1
u1 u2 u3
A (u) 的值就是含有元素 u 的一切 A 中的最大的 值。
u U
U
1 1 0 2 1 A1 , 2 A 2 u1 u 2 u1 u 2
3
1
A(u)

A 3
A 2
2 1
0
A 1