第八节 多元函数的极值及其求法

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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4z 10 0
确定的函数z f ( x , y )的极值.
解 法一 将方程两边分别对x, y求偏导数, 2 x 2 z z x 2 4z x 0 2 y 2z zy 2 4zy 0 由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1),
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
推广 如果三元函数 u f ( x, y, z )在点P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数, 则它在 P ( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件
为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0,
f z ( x0 , y0 , z0 ) 0.
第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法
多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值和最值
1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值的定义: 是在一点附近 将函数值比大小. 定义 设在点P0的某个邻域, f ( P ) f ( P0 ), 则称
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证 不妨设 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处有极大值, 则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意( x , y ) ( x0 , y0 ), 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ), 故当y y0 , x x0时,
有f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x , y0 )在x x0处有极大值, 必有 f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
z 1 2y x y 1 D dz 2 0, z 1 2 y 单调上升. 由于 O x dy 所以, z (0,0) 1 最小, z (0,1) 3 最大.
2 y 0 , z 1 x x 0 x 1上, ＊在边界线 1 1 3 dz 由于 1 2 x , 有驻点 x ,函数值 z( ,0) 2 2 4 dx
有时, 极小值可能比极大值还大.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数 容易判断的.
存在极值, 在简单的情形下是
z
2
例 函数 z 3 x 4 y
2
椭圆抛物面
x
O
y
在(0,0)点取极小值. (也是最小值).
4
2 2 例 函数 z x y
z
下半个圆锥面
x
O
在(0,0)点取极大值. (也是最大值). 例 函数 z xy 在(0,0)点无极值.
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
二、条件极值 拉格朗日乘数法
无条件极值 对自变量除了限制在定义域内外, 并无 其他条件.
条件极值 对自变量有附加条件的极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 解 设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z , 由题意 x y z 18, z 18 x y
问题.
有时条件极值 可通过将约束条件代入 目标函数中化为无条件极值. 但在一般情形 下,这样做是有困难的, 甚至是不可能的. 下面要介绍解决条件极值问题的一般 方法: 拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法: 现要寻求目标函数 z f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) 0
又在端点(1,0)处, 有 z (1,0) 1.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
y
z 1 x x2 2 y
＊在边界线 x y 1, 0 x 1上,
D
O
x y 1
z 1 x x 2 2(1 x ) 3 3 x x 2 dz 由于 3 2 x 0 (0 x 1), 函数单调下降, dx z(0,0) 1 所以, 最值在端点处. z(0,1) 3 1 (3) 比较 z (0,0), z (1,0), z (0,1) 及z ( ,0) z(1,0) 1 2 1 3 1 3 zmax z(0,1) 3 z( 2 ,0) 4 zmin z ( ,0) 2 4
将上方程组再分别对x, y求偏导数, 1 1 A z xx |P , B z , yy | P xy |P 0, C z 2 z 2 z
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4z 10 0
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x
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2 2 2 2 y 4上 求 f ( x , y ) x 4 y 9在D : x
的最大值与最小值. 解 令f x 2 x 0, f y 8 y 0 驻点 (0,0) 2 2 将x y 4代入f ( x, y ), 得
f ( x, y ) 3 y 13 g( y ) 令g( y ) 6 y 0 y 0
2
y [2,2]
此时 x 4 y 2 2
当y 2时, 均有x 0
f (0,0) 9
f ( 2,0) 13
f (0,2) 25
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故f ( x, y)在D上的最大值为 25, 最小值为 9.
f y ( x0 , y0 , z0 ) 0,
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仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的 点, 均称为函数的驻点.
注 驻点
极值点(偏导数存在)
如, 点(0,0)是函数z xy的 驻点, 但不是极值点.
如何判定一个驻点是否为极值点
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3.极值的充分条件
定理2 (充分条件) 设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 )
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
4.多元函数的最值 与一元函数相类似,可利用函数的极值来 求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法
将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及 在D的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 求函数z 1 x x 2 2 y在x 0, y 0与 直线 x y 1 围成的三角形闭域D上的
(1) AC B 2 0时有极值, 当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值; (2) AC B 2 0时没有极值; (3) AC B 2 0时 可能有极值, 也可能无极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤: 第一步 f x ( x, y) 0 解方程组 f y ( x, y) 0 求出实数解, 得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C .
y
马鞍面
z
O
x
y
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2.极值的必要条件
定理1(必要条件) 设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 具有偏导数, 且在点( x0 , y0 )处 有极值, 则它在该 点的偏导数必然为零:
f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0.
利用隐函数的概念与求导法
(1)
(2)
下取得 极值的必要条件. 如函数(1)在( x0 , y0 ) 取得所求的极值, 那末首先有 ( x0 , y0 ) 0 (3) 由条件 ( x, y ) 0 确定y是x的隐函数 y y( x ).
又 f xx 6 x, f xy 3a, f yy 6 y .
在点(0,0)处, AC B 2 9a 2 0
故 f ( x , y )在(0,0)无极值; 在点(a,a)处, AC B 2 27a 2 0 且A 6a 0 故 f ( x, y ) 在(a,a)有极大值, 即 f (a, a) a 3 .
( x 1)2 ( y 1)2 ( z 2)2 16
于是
z 2 16 ( x 1)2 ( y 1)2
※
显然, 当x 1, y 1时, 根号中的极大值为4,
由※可知, z 2 4 为极值. 即 z 6 为极大值, z 2 为极小值.
第三步 定出 AC B 2 的符号, 再判定是否是极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 求函数 f ( x, y ) 3axy x 3 y 3 (a 0) 的极值. 2 f 3 ay 3 x 0 x 驻点 解 (0,0),(a, a ). 2 f y 3ax 3 y 0
长方体的体积为 V xyz xy(18 x y )
18xy x y xy x 0, y 0, x y 18 区域D： 2 Vx 18 y 2 xy y 0 驻点(6,6) 2
2
2
V y 18 x x 2 xy 0
由于V在D内只有一个驻点, 且长方体体积 一定有最大值, 故当的长、宽、高都为6时长方 体体积最大.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
上例的极值问题也可以看成是求三元函数
V xyz 的极值, 但x、y、z 要受到条件
目标函数 x y z 18 的限制, 这便是一个条件极值 约束条件
所以 z f (1,1) 6 为极大值.
|P 1 C zyy 2 z
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4z 10 0
确定的函数z f ( x , y )的极值.
解 法二 配方法 方程可变形为
的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0, 令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ,
则f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
极值只可能在驻点处 注 由极值的必要条件知, 取得. 然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,
这些点当然不是驻点, 但也可能是极值点. 如: 函数 z x 2 y 2 在点(0,0)处的偏导数 不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值. 在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外, 还应研究偏导数不存在的点.
最大(小)值.
解 (1) 求函数在D内的驻点 z x 1 2 x 由于 zy wenku.baidu.com 0 所以函数在D内无极值. (2) 求函数在 D边界上的最值 (现最值只能在边界上)
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y
x y 1
D
O
x
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z 1 x x2 2 y
y
＊在边界线 x 0, 0 y 1上,
点P0为函数的极大值点. f ( P0 )为极大值.
类似可定义极小值点和极小值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数的极大值与极小值统称为函数的 极值.
函数的极大值点与极小值点统称为函数的 极值点.
注 多元函数的极值也是局部的, 是与P0的邻域
内的值比较. 一般来说:极大值未必是函数的最大值. 极小值未必是函数的最小值.
A z xx |P 1 2 z B z xy |P 0
1 故 AC B 0 ( z 2) 2 (2 z ) 函数在P有极值.
2
将P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2, z2 6 1 当 z1 2时, A 0, 4 所以 z f (1,1) 2 为极小值; 1 当 z2 6时, A 0, 4