利用构造函数的思想探究罗尔定理的一些应用

价值工程

1知识准备罗尔定理：设函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内

可导，且f （

b ）=f （a ），则在（a ，b ）至少存在一点ξ使下式成立：f ′（ξ）=0

2如果有条件f （x ）在一个端点上的值为0，并且证明的等式有自然数m 和n ，则要借助f m 和f n

构造辅助函数

例1：若函数f （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，且f （x ）酆0，x ∈（a ，b ），f （a ）=0则对任意自然数m 和n ，存在x 1∈（a ，b ）和x 2∈（a ，b ）使nf ′（x 1）1）=mf ′（x 2）2）

成立。

证明：令g （x ）=f n （x ）f m

（x ）（a+b-x ），因为f （a ）=0则g （a ）=g （b ）=0由罗尔定理，存在ξ∈（a ，b ），使g ′（ξ）=0

即nf n-1（ξ）f m （a+b-ξ）f ′（ξ）-mf n

（ξ）f m-1（a+b-ξ）f ′（a+b-ξ）=0令ξ=x 1，a+b-ξ=x 2

整理得：nf ′（x 1）f （x 1）=

mf ′（x 2）

f （x 2）

命题得证。

又如：若函数f （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，且f （b ）=f （a ）

=0，f （x ）酆0，（x ∈（a ，b ））则对任意的自然数n ，存在ξ∈（a ，b ），使nf ′

（ξ）+f （ξ）=0成立。

令g （x ）=f n （x ）e x ，即可得证。

3如果在要证明的等式中同时出现函数及其导数，可以想函

数e x 的特性（e x ）′=e x ，应用罗尔定理的时候e x 可以约去,在这里只起辅助作用

例2：若函数f （x ）在[x 1，x 2]上连续，在（x 1，x 2）内可导，且f （x 1）=f

（x 2）=0，则存在ξ∈（x 1，x 2）使f （ξ）+f ′（ξ）=0。

证明：令g （x ）=f （x ）e x ，由于，f （x 1）=f （x 2）=0可知g （x 1）=g （x 2）=0，

由罗尔定理，存在ξ∈（x 1，x 2）使g ′（ξ）=0，即，因此，即可证明。

例3若函数f （x ）及g （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，且f （b ）

=f （a ）=0则存在ξ∈（a ，b ）使f ′（ξ）+f （ξ）g ′（ξ）=0

证明：令p （x ）=f （x ）e g(x)，f （b ）=f （a ）=0可知p （b ）=p （a ）=0，由罗尔

定理，存在ξ∈（a ，b ），使p ′（ξ）=0，即f ′（ξ）e g(ξ)+f （ξ）e g(ξ)g ′（ξ）=0因为e ξ≠0，即可证明。

另外如：若函数f （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，且f （b ）=f

（a ）=0则对任意自然数n ，存在ξ∈（a ，b ），使f ′（ξ）+nf （ξ）=0这是例2的特殊情况，令g （x ）=e nx ，即可证明。

4利用不定积分法构造辅助函数

例4：设函数f （x ）和g （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，且对

任意的x ∈（a ，b ）有g ′（x ）≠0，证明：

①对于[a ，b]上任意不同的两点x 1及x 2有g （x 2）-g （x 1）≠0。

②至少存在一点ξ∈（a ，b ），使f （

ξ）-f （a ）g （b ）-g （ξ）=f ′（ξ）g ′（ξ）分析：要证明的②属于中值ξ的存在性，要证的结论中的ξ换成x 且变形为[f （x ）-f （a ）]g ′（x ）=[g （b ）-g （x ）]f ′（x ）积分得乙[f （x ）-f （a ）]g ′（x ）dx=乙

[g （b ）-g （x ）]f ′（x ）dx

上式左端用分部积分法，右端拆成两个积分，得：

[f （x ）-f （a ）]g （x ）-乙g （x ）-f ′（x ）dx=乙g （b ）f ′（x ）dx-乙

g （x ）-f ′（x ）dx

从而得[f （x ）-f （a ）]g （x ）=g （b ）乙

f ′（x ）dx 故[f （x ）-f （a ）]

g （x ）=g （b ）f （x ）+C 取C=0，并移项，使等式右端为零，等式左端就是所构造的辅助函数。

证明：（1）由题设知，函数g （x ）在以x 1和x 2为端点的闭区间上满足拉格朗日中值定理的条件，故有：g （x 2）-g （x 1）=g ′（ξ）（x 2-x 1）（ξ在x 1，x 2之间）

又因为g ′（ξ）≠0，X 2-X 1≠0所以g （x 2）-g （x 1）≠0（2）设F （x ）=[f （x ）-f （a ）]g （x ）-g （b ）f （x ）由题设知，F （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，且F （a ）=F （b ）-f （a ）g （b ）由罗尔定理，至少存在一点ξ∈（a ，b ），使F ′（ξ）=0，即：f ′（ξ）g （ξ）+[f （ξ）-f （a ）]g ′（ξ）-g （b ）f ′（ξ）=0亦即f （ξ）-f （a ）g （b ）-g （ξ）=f ′（ξ）g ′（ξ）又如：设f （

x ）在[0，1]上有连续导数，在（0，1）内二阶可导，且f （0）=f （1）=0，

证明：至少存在一点ξ∈（a ，b ），使2f ′（ξ）+ξf ″（ξ）=0。

将要证明的结论中的ξ换成x ，积分可得。

5利用三点确定二次抛物线的方法构造函数

例5：设f （x ）在[-1，1]上有二阶连续导数，且f （-1）=0，f （0）=

0，f （1）=2

证明：存在ξ∈[-1，1]，使f ″（ξ）=2

分析：若令p （x ）=ax 2

+bx 则p （0）=0=f （0），

只要使p （-1）=a-b=0=f （-1）及p （1）=a+b=2=f （1），则p （x ）与f

（x ）在x=-1，0，1三点处的函数值相等，求得a=1，b=1作F （x ）=f （x ）-x 2

-x ，则有F ″（x ）=f ″（x ）-2，于是可对F （x ）及F ′（x ）用罗尔定理证，上

述的p （x ）就是过三点（-1，0），（0，0），（1，2）的抛物线。

证明：过三点（-1，0），（0，0），（1，2）作抛物线p （x ）=ax 2+bx

令a+b=2a-b=乙

1

解得，a=1，b=1作辅助函数F （x ）=f （x ）-p （x ）=f （x ）-x 2-x 则F （-1）=F （0）=F （1）=0，对F （x ）在[-1，0]和[0，1]上分别用罗尔定理。存在ξ1∈（-1，0）和ξ2∈（0，1），使F ′（ξ1）=F ′（ξ2）=0再对F ′（x ）在[ξ1，ξ2]上用罗尔定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]奂（-1，1），使利用构造函数的思想探究罗尔定理的一些应用

Thoughts on the Application of Rolle's Theorem

张高明Zhang Gaoming

（河套大学，巴彦淖尔015000）（Hetao University ，Bayannaoer 015000，China ）

摘要：罗尔定理在一元微分学处于很重要的地位，本文通过构造函数的思想来探究罗尔定理的应用。

Abstract:Rolle's theorem plays a very important part in the study of one differential calculus.This paper attempts to explore the application of

Rolle ’s theorem from the perspective of constructing function.

关键词：罗尔定理；构造函数；连续；可导Key words:Roll Theorem ；constructing function ；continuous ；derivatives

中图分类号：O1-0

文献标识码：A

文章编号：1006-4311（2010）31-0140-02

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—作者简介：张高明（1959-），男，内蒙古呼和浩特人，现任河套大学副校长，副

教授，从事教学管理和教学工作，主要研究方向是高校教学管理

和高等数学教学。

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