数值分析应用实例

数值分析应用实例

非线性方程求根

问题：在相距 100m 的两座建筑物（高度相等的点）之间悬挂一根电缆，仅允许电缆在中间最多下垂 1m ，试计算所需电缆的长度。

设空中电缆的曲线（悬链线）方程为

x

x

a(e a e a )

（1）

y

2

, x [ 50,50]

由题设知曲线的最低点 (0, y ( 0)) 与最高点 (50, y (50)) 之间的高度差为

1m ，所以有

50

50

a(e a e a )

a 1

（2）

2

由上述方程解出 a 后，电缆长度可用下式计算：

50

x x 50

50

L

ds

1 y 2

(x ) dx

50 e a dx a (e

a

e a

)

（3）

50 e a

L

相关 Matlab 命令：

50

50

a( e a

e a ) 1、描绘函数

y(a)

a 1,a [500,1500] 的图形；

2

2、用 fzero 命令求方程在a1250 附近的根的近似值x，并计算y( x)的

函数值；

3、编写二分法程序，用二分法求y(a)0 在[1200,1300]内的根，误差不

超过 10 3，并给出对分次数；

4、编写 Newton 迭代法程序，并求y(a)0 在[1200,1300]内的根，误差

不超过 10 3，并给出迭代次数。

5、编写 Newton 割线法程序，并求y(a)0 在[1200,1300]内的根，误差

不超过 10 3，并给出迭代次数。

线性方程组求解应用实例

问题：投入产出分析

国民经济各个部门之间存在相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品（称为投入）经过加工变为自己的产品（称为产出），如何根据各部门间的投入产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会需求，是投入产出分析中研究的课题。考虑下面的例子：

设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表1 所示（数字表示产值）。

表 1国民经济三个部门间的关系单位：亿元产出

农业制造业服务业外部需求总产出

投入

农业152********

制造业301045115200

服务业2060070150

初始投入3511075

总投入100200150

假定总投入等于总产出，并且每个部门的产出与它的投入成正

比，由上表可以确定三个部门的投入产出表：如表 2 所示。

表 2 三个部门的投入产出表

产出农业制造业服务业

投入

农业0.150.100.20

制造业0.300.050.30

服务业0.200.300

上表中的数字称为投入系数或消耗系数，在技术水平没有明显提高的情况下，可以假定投入系数是常数。

（ 1）如果今年对农业、制造业和服务业的外部需求分别为 50，150，100 亿元，问这 3 个部门的总产出分别应为多少？

（2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问它们的

总产出应分别增加多少？

（3）投入产出分析称为可行的，是指对于任意给定的、非负的

外部需求，都能得到非负的总产出。为了可行，投入系数应满足什么

条件？

模型：设有 n 个部门，记一定时期内第 i 个部门的总产出为x i，其中对第 j 个部门的投入为x ij，外部需求为d i，则

n

x i x ij d i , i1,2,, n

j 1

记投入系数为 a ij，且 x ij a ij x j , i , j1,2,, n ，即 a ij是第j个部门的单位产出所需要的第i 个部门的投入。因此我们有：

n

x i a ij x j d i , i1,2,,n

j1

用矩阵乘法描述，即

x Ax d( I A) x d

其中 x ( x1 , x 2 , , x n ) T , d (d1 , d2 , , d n ) T , A(a ij ) n n。对于给定的投入系数 a ij及各部门的外部需求 d ，求出上述方程组的解，就可以得到各部门的总产出。