高等数学-概率3.1 数学期望

期望和方差
一、问题的引入
下面是两名射手的成绩统计表，问：哪个 射手的本领高？
甲射手 击中环数 概率 8 0.4 9 0.1 10 0.5 8 0.3 乙射手 9 0.4 10 0.3
设想：每人都打了N枪。则 总环数 甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N 乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N
pk
-1 1/8
0 1/4
2 3/8
3 1/4
1 1 3 1 11 解：E 1 0 2 3 8 4 8 4 8 1 2 1 3 2 1 31 2 2 2 E 1 0 2 3 8 4 8 4 8 1 1 3 1 7 E 2 1 3 1 3 5 8 4 8 4 4
总环数 甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N 乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N 平均每枪环数 甲：9.1N / N＝9.1 乙：9.0N / N＝9.0 甲射手的水平较高。
相当于8×0.4＋9×0.1＋10×0.5＝9.1
相当于8×0.3＋9×0.4＋10×0.3＝9.0
E g ,




g x, y f x, y dxdy
1 , a xb f x b a 0, 其它
故
E


xf x dx a
b
ab 2
1 x dx ba
例5、某种电子元件的使用寿命 是一个r.v. 其概率密度为 x0 e x , 指数 f x 分布 其它 0, 其中 >0 ，求这种元件的平均使用寿命。 解： E xf x dx x e x dx
的所有可能取值为10，5，0，－2，（单 位：万元） 0 5 0 P 10 C5 0.2 1 0.2 0.32768,
P 5 C 0.2 1 0.2 0.4096,
1 5 1 4
P 2 1 0.32768 0.4096 0.2048 0.05792 E 10 0.32768 5 0.4096 0 0.2048 2 0.05792 5.20896
例7、设r.v. 服从 0, 2 上的均匀分布，求 sin 的数学期望。 解：由题知 的概率密度为
1 , f x 2 0,
0 x 2
其它

故
E E sin sin xf x dx 2 1 sin x dx 0 0 2
第三章第一节
数学期望
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其 分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那 么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的.而且在一些实际应用中，人们并不需要 知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的 某些数字特征就够了.
因此，在对随机变量的研究中，确定某些 数字特征是重要的 . 其中最常用的是
P 0 C 0.2 1 0.2 0.2048,
2 5 2 3
一周内期望利润为5.20896万元。
例3、设某射手每次击中目标的概率为 p ， 他手中有10发子弹准备对一目标连续射击 （每次打一发），一旦击中目标或子弹打 完了就立刻转移到别的地方去，问他在转 移前平均射击几次？ 解：射手在转移前的射击次数是随机变量 首先求出 的分布。 的所有可能取值为1，2 … 10。 k 1 P k 1 p p, k 1, 2, 9 9 10 9 P 10 1 p p 1 p 1 p
例2、假设一部机器在一天内发生故障的概 率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。 若一周5个工作日里无故障，可获利润10万 元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生 两次故障所获利润为零；发生三次或三次 以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利 润是多少？ 解：设一周内所获利润为 ，首先求出 的分布。
1、离散型r.v的函数的数学期望 定义3 设离散型随机变量 的概率分布为:
P xk pk , k 1, 2,
则 g 的期望为
E Eg g xk pk
k 1
2、连续型r.v的函数的数学期望 定义4 设连续型随机变量 的概率密度为 f x 则它的函数 g 的期望为
2、连续型r.v的数学期望 定义2 设连续型随机变量 有概率密度 f x ， 若积分 xf x dx 绝对收敛，则称此积分的值 为r.v 的数学期望，记为
E

xf x dx
例4、计算在区间[a,b]上服从均匀分布的r.v. 的数学期望。 解：由题知 的概率密度为
若级数 xk pk 绝对收敛，则称此级数的和为 k 1 r.v 的数学期望，简称期望或均值。记为 E 即
E xk pk
k 1

例1、设r.v. 服从0－1分布，求 E 。 解：由题知 的分布列为

pk
0 1－p 1 p
E 0 1 p 1 p p
设二维离散型随机向量 , 的概率分布为 P xi , y j pij ，i, j=1,2, .则:
E g , g xi , y j pij
i j
设二维连续型随机向量 , 的密度函数为 f x, y ,则:
在这里，我们用了平均每枪环数这样一个 指标来衡量甲、乙两个射手的水平，它是 环数的以概率为权的加权平均，是“每枪 环数”这个随机变量的重要特征，称为期 望。
二、随机变量的数学期望 1、离散型r.v的数学期望 定义1 设离散型随机变量 的概率分布为:
P xk pk , k 1, 2,
E Eg g x f x dx

定义3和定义4表明，求随机变量函数 的数学期望，并不需要先求出该函数 的分布，而是可直接利用原始的分布 求得。这将大大地简化计算。
例6、设r.v. 的分布列如下，求 E ，E ， E 2 1 。
2

0


0
xd e
e
x
xe
1
x 0
e
0

x
Fra Baidu bibliotek
dx
0
1
x 0


随机变量的数学期望是随机变量按其 取值概率的加权平均，表征其概率分 布的中心位置，是概率论发展早期就 已产生的一个重要概念。
三、随机变量函数的数学期望 如果已知r.v. 的分布，需要计算的不是 的期 望，而是它的某个函数 f 的期望， 那么又应 该如何计算呢？
P k 1 p p, k 1, 2, 9 9 10 P 10 1 p p 1 p
k 1
E k 1 p
k 1
9
k 1
p 10 1 p
9
1 10 1 1 p p