(完整版)10.3三重积分的概念和计算

z z2( x, y)
z2 S2
y1(x), y2 (x) 在 [a,b] 上连续.
z1 S1
z z1( x, y)
aO b
D
(x, y)
y
y y2( x)
x
y y1(x)
8
三重积分
(2) 对 (x, y) Dxy , 过 (x, y) 作平行于z轴的
直线穿过区域 ,
则由曲面 S1 : z z1(x, y) 穿入,穿入点 M1(x, y, z1(x, y))
截面法的一般步骤
(1) 把积分区域向某轴 (如z轴) 投影,
得投影区间 [பைடு நூலகம்1,c2 ];
(2) 对z [c1,c2 ] 用过z轴且平行xOy的平面去截 ,
得截面Dz; (红色部分)
即
(x,
y,
z) :
c1
z
c2 , ( x,
y) Dz
z
c2
(3) 计算二重积分 f ( x, y, z)dxdy z
则该区域上的三重积分的被积函数中的
x换成y的积分与y换成z的积分, z换成x的积分相等.
22
三重积分
从而
xdxdydz ydxdydz zdxdydz
于是
(x y z)dxdydz 3 xdxdydz
1 x y
3 dxdy0 xdz
Dxy
1
1 x
1 x y
30 xdx0 dy0 dz
Dxy
Dxy z1 ( x, y )
化为二次积分即可.
11
三重积分
同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影.
所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积 分(累次积分).
解题时, 要依据具体的被积函数 f ( x, y, z) 和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.
12
三重积分
例1 计算三重积分 zdxdydz,其中为
函数 f ( x, y, z)在闭区域Ω上的三重积分.
记为 f ( x, y, z)dv
Ω
n
即
Ω
f ( x, y, z)dv
lim 0
i 1
f (i ,i , i )vi
体积元素
4
三重积分
2. 三重积分存在性 (existence)
当f ( x, y, z)的三重积分存在性时,称f ( x, y, z) 在Ω上是可积的. 连续函数一定可积 3. 三重积分的几何意义
Dz
其结果为z的函数F (z);
c1
(4) 最后计算单积分 c2 F (z)dz.
c1
x
o
Dz
y
16
三重积分
c2
即 f ( x, y, z)dv dz f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
c2
F (z)dz
c1
注当被积函数仅与变量z有关, 且截面Dz易知时, 用上公式简便.
截面法的公式还有两个. 希望自己推
v1, v2 , vn
②其在中每个vi表v示i上第任i个取小一闭点区(域i ,,i也,表i ),示作它乘的积体积.
f (i ,i , i )vi (i 1,2 , n),③并作和
n
④
f (i ,i , i )vi .如当各小闭区域直径中的最大值
i 1
3
三重积分
趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为
(1)占有空间区域 , 体密度函数为 f (x, y, z)
的立体的质量为: M f (x, y, z)dv Ω
(2)设被积函数 f ( x, y, z) 1, 则区域Ω 的体积为
V 1 dv
V
5
三重积分
二、三重积分的计算
1. 在直角坐标系下计算三重积分 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的
三个坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
解 截面法(先重后单法)
1
zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
Dz {( x, y) | x y 1 z}
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
Dz
原式= 1 z 1(1 z)2dz 1 .
02
24
z
1 x yz1
1O
x
, , z 就叫点M的柱面坐标.
规定 0 , 0 2 ,
z
z
• M(x, y,z)
直角坐标与柱面坐标的关系为
x cos , y sin, z z
o
•
y
P(, )
x
27
三重积分
, , z 称点M的柱面坐标
柱面坐标系中, 三坐标面分别为
z 为常数
z
与xOy平面平行的平面;
19
三重积分
利用对称性(区域关于x=0对称,被积函数关于x是偶函数),
所以
x2 dv V a2
a a
x2 a2
dx
d ydz
Dx
2 bc
a
x2 (1
x2 )dx
a2 a 4 abc
由对等性知 15
a2
dydz bc(1 x2 )
Dx
a2
V
y2 b2
dv
V
z2 c2
dv
4 abc
平面的来划分 , 则 vi x jykzl . ( vi是小长方体 ). 故直角坐标系下的体积元素为
dv dxdydz
在直角坐标系下三重积分可表为
f ( x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
6
三重积分
思想是 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 1.投影法 (先单后重法)
Dz
1y
13
三重积分
计算三重积分 zdxdydz,其中为
三个坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域 .
投影法(先单后重法)
z
1 x yz1
zdxdydz
d
1 y z
zdx
1
D yz
0
1 z
1 yz
1O
1y
0 zdz0 dy0 dx
x
1
1 z
0 zdz0 (1 y z)dy
3 1 24 8
23
三重积分
例6 改变下列积分次序.
1
1 x
x y
I 0 dx0 dy0 f (x, y, z)dz, (z y x)
步骤: 1. 先画图 (先画边界曲面,再围成);
2. 退三次积分为先单后重或先重后单. z
: 0 x 1, 0 y 1 x, 0 z x y
y x
24
三重积分
y
解: (1)
x y
I dxdy0 f (x, y, z)dz Dxy
x
1
1 y
x y
0 dy0 dx0 f (x, y, z)dz, (z x y)
y zxy
1
(2) I 0 dx f (x, y, z)dydz x
Dyz
1 x x
1
x
1 x
1
1 x
dx[ dz f (x, y, z)dy dz f (x, y, z)dy],
V
x2 a2
dv
V
y2 b2
dv
V
z2 c2
dv
18
三重积分
解
因为
M
V
x2 a2
y2 b2
z2 c2
dv
V
x a
2 2
dv
V
y2 b2
dv
V
z2 c2
dv
先求
即V
I1
(
V
x,
x2 a2
dv
y, z) : a
x
a,
(
y,
z)
Dx
其中
Dx
( y, z) :
y2 b2
z2 c2
1
x2 a2
17
三重积分
例3 计算三重积分 zdxdydz, 其中为
三个坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
例4 已知椭球V:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
内点(x,y,z)处
质量的体密度为:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
,
求椭球的质量.
提示
M
V
x2 a2
y2 b2
z2 c2
dv
或先重后单,不要直接化为三次积分;
(3) 充分利用对称性.
21
三重积分
例5 计算三重积分 (x y z)dxdydz, 其中为
三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域.
解 利用轮换对称性: 区域的边界面方程中
z
1 x yz1
x换成y, y换成z, z换成x,
1O
1y
区域的边界面方程不变. x
15
因此 M 4 abc.
5 20
三重积分
总结: (1) 如果被积函数是单变量z(或x,y)的函数,并且
用z=常数(或x=常数,y=常数)截空间区域 ,
得到的截面 Dz (Dx , Dy ) 的面积易求,
则考虑把三重积分化为先重(对xy)后单(对z)
的累次积分来计算;
(2) 将三重积分化为三次积分时,一定要先单后重
( 4a2 x2 y2 x2 y2 )d
极
坐
Dxy
2
标 d
2a
(
4a2 2 )d
0
0
O
x
y
8 (2 2)a3.
3
26
三重积分
cylindrical coordinates
2.利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xOy
面上的投影P的极坐标为 , , 则这样的三个数
则 f (x, y, z)dv
b
dx
y2 (x) dy
a
y1 ( x)
z2 (x,y) f (x, y, z)dz z1 ( x, y)
先对z,次对y,最后对x的三次积分
10
三重积分
注
这是平行于 z 轴且穿过闭区域
内部的直线与闭区域 的边界曲面 S
相交不多于两点情形.则考虑化为先对 z,后对xy的累次积分.过程如下:
29
三重积分
x cos , y sin , z z
dv d d dz
f ( x, y, z)dxdydz
f ( cos , sin ,z)dd dz
如何计算柱坐标系下三重积分
回想 直角坐标系下计算三重积分方法.
将三重积分化为 三次积分(累次积分)
30
三重积分
柱坐标系下三重积分的计算, 只要把被积
(1) 将 投影到xy平面,得区域 Dxy.
(2) 对 (x, y) Dxy , 过 (x, y) 作平行于z轴的
直线穿过区域 , 看看由哪个曲面穿入,哪个
曲面穿出,从而定出z的上下限.
(3) 最后再由二重积分的方法将
F (x, y)d [ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]d
由曲面 S2 : z z2 (x, y) 穿出,穿出点 M2 (x, y, z2 (x, y))
(3)先将 x, y 看作定值, 将 f ( x, y, z)只看作 z
的一元函数,是分布在线段 M1M 2 上的质量在
竖坐标z处的线密度,从而线段 M1M 2 上的质量为:
F(x, y) z2 (x,y) f (x, y, z)dz z1 ( x, y)
0
0
0
x
zx
(y z x) 25
三重积分
例7 求曲面z 4a2 x2 y2 及z x2 y2
所围立体体积 V .
解
两曲面的交线为
z x
2
2a y2 2a2
所以,V在xOy面的投影域Dxy : x2 y2 2a2
4a2 x2 y2
V dv d x2 y2 dz
z
V
Dxy
为常数
• •M(x, y,z)
以z轴为中心轴的圆柱面；
O •
y
为常数
P(, )
x
过z轴的半平面.
28
三重积分
如图, 在柱面坐标系中,
z
若以三坐标面分割空间区域 ,
得小柱体 V (红色部分). 即
V z
z
柱面坐标系中的体积元素为 o
y
dv dd dz
x
直角坐标系下三重积分与 柱(面)坐标系下三重 积分的关系是
9
三重积分
(4) 把物体质量看成分布在占有平面闭区域 Dxy
的平面薄片上,点 (x, y) 处的面密度为 F (x, y).
则物体的质量为:
M F (x, y)d [ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]d z1 ( x, y )
Dxy
Dxy
先单后重
由于 Dxy : a x b, y1(x) y y2 (x)
课程名称 《高等数学》
第四节 三重积分
(triple integral)
三重积分的概念 三重积分的计算 小结 思考题 作业
第九章 重积分
2
三重积分
一、三重积分的概念
1. 三重积分的定义 (define)
① 设f ( x, y, z)是空间有界闭区域Ω上的 有界函数. 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域
即
(x, y, z) : z1(x, y) z z2(x, y),(x, y) Dxy
(x, y, z) : a x b, y1(x) y y2(x), z1(x, y) z z2(x, y)
设 f (x, y, z) 在 上连续, z
z1(x, y), z2 (x, y) 在 Dxy 上连续,
设平行于z轴的直线与 的边界面至多相交 于两个点.
(1) 设 在xoy平面上的投影区域为 Dxy : a x b, y1(x) y y2 (x)
以 Dxy 的边界曲线为准线,作母线平行于z轴 的柱面,把 的边界曲面分为上,下两部分:
7
三重积分
S1 : z z1(x, y), S2 : z z2 (x, y),
1 z 1 (1 z)2dz 1 .
02
24
zdxdydz 1 x y
d 0 zdz
Dxy
14
三重积分
例2 求由旋转抛物面 z 1 (x2 y2 ), (a 0) a
和平面 z a 所围成的立体的质量, 假设立体上各点处的密度与该点到z轴的
距离成正比.
15
三重积分
2 截面法 (先重后单法)
函数中的 , , z与x, y, z等同的看为三个变量.