高二选修4-5 证明不等式的基本方法 课件ppt课件
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高中数学人教A版选修4-5 4.2 用数学归纳法证明不等式举例 课件 (共15张PPT)
1当n 2时,由于x 0得
当n k 1时,
1 x
k 1
1 x 1 x
k
1 x1 kx 1 k 1x.
1 x kx kx2
所以当n k 1时不等式成立. 由12可知,贝努利不等式成立 .
n
即n 2 2 n n N , n 5.用数学归纳法证明上述 猜想时, 第1步应证n 5的情形.
分析 由数列的前几项猜想 , 从第5项起, an bn ,
证明
1当n 5时有5 2 , 命题成立 . 2 k 2假设当n k k 5时命题成立 , 即有 k 2 .
4.2 用数学归纳法证明不等式举例
下面我们结合具体例题 进一步讨论如何用数学 归 纳法证明不等式 .
例1 观察下面两个数列 , 从第几项起an小于bn ? 证明你的结论 . {an n 2 } : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ; {bn 2 } : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, .
例 4 证明: 如果nn为正整数个正数a1 , a2 , , an的乘 积a1a2 an 1, 那么它们的和 a1 a2 an n.
分析 这是与正整数密切相关 的不等式, 它的形式 简洁和谐.用数学归纳法证明它时 , 应注意利用n 个 正数的乘积为 1的条件, 并对什么是归纳假设和 由它 要递推的目标心中有数 . 证明 1当n 1时, 有a1 1, 命题成立 .
n
事实上, 把贝努利不等式中的正 整数 n 改为实数 时, 仍 有类似不等式成立 , 它们是贝努利不等式更 一般的形式:
人教版高中数学选修4-5第2讲 证明不等式的基本方法2ppt课件
∴假设不成立，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.
证法二：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12， 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－2f(2)| ≥f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋b＋c)＋(9＋3b＋c)－2(4＋2b＋c)＝2. 两式显然矛盾，∴原假设不成立． ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于21.
反证法
• 1．要证不等式M>N，先假设M≤N，由题设及其他性 质，推出矛盾，从而肯定M>N成立．凡涉及证明不 等式为否定性命题，唯一性命题或是含“至多”、 “至少”等字句时，可考虑使用反证法．
• 2．反证法证明不等式的步骤是：反设(假设不等式 的结论不成立)→归谬(从假设出发，经过推理论证， 得出矛盾)→断言(由矛盾得出反设不成立)．反证法
证法二：∵|x＋y|≤|x|＋|y|，∴|x|＋|y|－|x＋y|≥0. 由真分数性质ba<ab＋ ＋mm(0<a<b，m>0)知 1＋|x＋|x＋y|y|≤1＋|x＋|x＋y|＋y|＋|x||＋x|＋|y||－y|－|x＋|x＋y| y| ＝1＋|x||＋x|＋|y||y|≤1＋|x||x|＋1＋|y||y|. 即1＋|x＋|x＋y| y|≤1＋|x||x|＋1＋|y||y|成立．
(7)利用常用结论：
①1＝ k
2 k＋
k>
2 k＋
k＋1＝2(
k＋1－
k)，
1＝ k
2 k＋
k<
2 k＋
k－1＝2(
k－
k－1)(k∈N＋，k&g－1 1－1k；k12>kk＋1 1＝1k－k＋1 1(程度大)；
课件 选修4-5不等式的基本性质-经典公开课(优秀公开课件).ppt
用数学式子表示为:
a b a-b0 a b a-b0 a b a-b0
基本理论
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而 右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实 数的大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质 不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要 依据.
4.（1）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc; a>b，c<0⇒ac<bc. （2）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
5.乘、开方法则：a>b>0⇒an>bn，n a n b (n∈N，n≥2)． 6.倒数性质：a>b，且ab>0⇒
1 1 ． a b
n 特别地，当 n为奇数时， 条件可放宽为： a > b， 也有a n > bn， a n b (n∈N， n ≥2)．
x 3 x - 3 0, x 1 0, x -1 0
A- B 0
故A B
作差比较法常见的变形手段是: 通分、因式分 解或配方等；变形的结果是常数、若干个因式 的积或完全平方式等.
b, 试比较a abb与abba的大小。
注意： 2.以上不等式的基本性质可以得到严格证明；
3.要会用自然语言描述上述基本性质；
1.注意公式成立的条件，要特别注意“符号问题”；
4.上述基本事实和基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础.
不等式的基本性质
【例2】 判断下列命题是否正确，并说明理由。
(1)若a > b， 则ac > bc ； a b ( 2)若 2 2 ，则 a b; c c 1 1 (3)若a b，ab 0, 则 ; a b (4)若a b，c d , 则ac bd； 1 1 (5)若a b 0， ,则 ; a b (6)若 | a | b， , 则a 2 b2 ;
1新人教A版高中数学(选修4-5)《不等式》ppt课件]
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1 d 1 c cd cd 0,因此 1 d 1 c 0.
由a 0及性质4 , 得
a d
a c
0.
由a b 0,
1 c
0及性质4 , 得
a d b c
a d b c .
a c
b c
0.
由性质2 , 得
0.
根据性质6, 有
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小 可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1
比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6
的大小 .
分析 通过考察它们的差与 的大小关系 0 , 得出这两个多项式的大 小关系.
解
因为 x 3 x 7 x 4 x 6
:
这个基本事实可以表示 ab ab 0; a b ab 0; a b a b 0.
上面的符号 相推出 .
为
" " 表示 " 等价于 " , 即可以互
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考
从上述基本事实出发 比较
,
你认为可以用什么方法 两个实数的大小 ?
2 2
x 10 x 21 x 10 x 24 3 0
所以 x 3 x 7 x 4 x 6 .
探究
我们知道 , 等式有 " 等式两边同 " "等
加 或减 一个 数 , 等式仍然成立 式两边 同乘
或除于 一个数
6 如果 a b 0, 那么n
由a 0及性质4 , 得
a d
a c
0.
由a b 0,
1 c
0及性质4 , 得
a d b c
a d b c .
a c
b c
0.
由性质2 , 得
0.
根据性质6, 有
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小 可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1
比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6
的大小 .
分析 通过考察它们的差与 的大小关系 0 , 得出这两个多项式的大 小关系.
解
因为 x 3 x 7 x 4 x 6
:
这个基本事实可以表示 ab ab 0; a b ab 0; a b a b 0.
上面的符号 相推出 .
为
" " 表示 " 等价于 " , 即可以互
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考
从上述基本事实出发 比较
,
你认为可以用什么方法 两个实数的大小 ?
2 2
x 10 x 21 x 10 x 24 3 0
所以 x 3 x 7 x 4 x 6 .
探究
我们知道 , 等式有 " 等式两边同 " "等
加 或减 一个 数 , 等式仍然成立 式两边 同乘
或除于 一个数
6 如果 a b 0, 那么n
人教版选修A4-5数学课件：第二讲 证明不等式的基本方法整合 (共23张PPT)
-6-
本讲整合
专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
2.分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重 要不等式和逻辑推理的基本理论. 分析法证明不等式的思维方向 是“逆推”,即由待证的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件 “执果索因”,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.当要证 的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条 件简单而结论复杂的题目往往更为有效.
-7-
本讲整合
专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
例
1 2 设数列{an}满足 a1=0,且 1-������������+1
1 − =1. 1-������������
(1)求{an}的通项公式;
������ 1- ������������+1 (2)设 bn= ,记 Sn= ∑ bk,求证 Sn<1. ������ ������ =1
知识网络
专题归纳
高考体验
变式训练 1 求证
ln5 ln2 ln3 < < . 5 2 3 ln5 ln2 ln3 证明： 显然 >0, >0, >0, 5 2 3
ln5 2ln5 ln25 ln5 ln2 5 因为 ln2 = = <1,所以 < . 5ln2 ln32 5 2 2 ln2 3ln2 ln8 ln2 ln3 2 又 ln3 = = <1,所以 < . 2ln3 ln9 2 3 3
是公差为 1 的等差数列 .
1 1- 1-n+1 n
-9-
本讲整合
专题一 专题二 专题三
知识网络
人教版高中数学选修4-5 第四讲 二 用数学归纳法证明不等式 (共30张PPT)教育课件
22
1 32
...
1 n2
n 1都成立.
n
解：
1当n
2时，212
2
2
1，命题成立.
2 假设当n
kk
2
时，命题成立，即
1 22
1 32
...
1 k2
k k
1. 1
当n k 1时，
11
1
1 k 1
1
22
32
...
k2
k
12
k
1
k
12
k3 k2
k k 1
k 1 1
.
k 1
所以当n k 1时命题成立.
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力 和严谨的态度.
教学重难点
重点
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
难点
灵活运用数学归纳法.
例1
观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论.
{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
N+)
分析
这是个涉及正整数n的三角函数问题， 又与绝对值有关，在证明递推关系时，应 注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
证明
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即 有│sinkθ│≤k│sinθ│
1 32
...
1 n2
n 1都成立.
n
解：
1当n
2时，212
2
2
1，命题成立.
2 假设当n
kk
2
时，命题成立，即
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1 k2
k k
1. 1
当n k 1时，
11
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1 k 1
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...
k2
k
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k3 k2
k k 1
k 1 1
.
k 1
所以当n k 1时命题成立.
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力 和严谨的态度.
教学重难点
重点
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
难点
灵活运用数学归纳法.
例1
观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论.
{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
N+)
分析
这是个涉及正整数n的三角函数问题， 又与绝对值有关，在证明递推关系时，应 注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
证明
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即 有│sinkθ│≤k│sinθ│
选修4-5-证明不等式的基本方法(课堂PPT)
式.成立
2假设 nkk当 1时 ,不等,即 式 |s有 成 ik n| 立 k|sin |.
当nk1时,
|s k i 1 n | |sk i c n o c k s o s|i s n 22
|sk in c o | |s ck o ss i|n
|sk i|n |co | |c sk o ||s si|n
(ab)(ab)2
a ,b 0 , a b 0 又 a b (a b )2 0
故 ( a b ) a ( b ) 2 0 即 ( a 3 b 3 ) ( a 2 b a 2 ) b 0
a3b3a2ba2b
例2 如果a用 k白 g 糖制 bk出 糖 g 溶,则 液其浓度 a, 为 b
abc 故 a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2 abc
abc
三、反证法与放缩法
(1)反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难 的命题常常用反证法证明.
1 x 与 1 y 中至少有一个小于
2
y
x
例 2已 a ,b ,c 知 为,a 实 b c 数 0 a, b b c c a 0, a b 0 求 c , :a 证 0 b ,0 c ,0.
证 明: 假 设a,b,c不 全 是 正,数 即 其 中 至 少 有 一 个正不数是, 不妨先设 a 0,下面分a 0和a 0两种情况讨. 论 (1)如果a 0,则abc 0,与abc 0矛盾,a 0不可能. (2)如果a 0,那么由abc 0可得bc 0,又abc 0, bc a 0,于是abbcca a(bc)bc 0, 这和已知 abbcca 0相矛盾.a 0也不可能 . 综上所述 a 0,同理可证 b 0,c 0,所以原命题成. 立
2假设 nkk当 1时 ,不等,即 式 |s有 成 ik n| 立 k|sin |.
当nk1时,
|s k i 1 n | |sk i c n o c k s o s|i s n 22
|sk in c o | |s ck o ss i|n
|sk i|n |co | |c sk o ||s si|n
(ab)(ab)2
a ,b 0 , a b 0 又 a b (a b )2 0
故 ( a b ) a ( b ) 2 0 即 ( a 3 b 3 ) ( a 2 b a 2 ) b 0
a3b3a2ba2b
例2 如果a用 k白 g 糖制 bk出 糖 g 溶,则 液其浓度 a, 为 b
abc 故 a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2 abc
abc
三、反证法与放缩法
(1)反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难 的命题常常用反证法证明.
1 x 与 1 y 中至少有一个小于
2
y
x
例 2已 a ,b ,c 知 为,a 实 b c 数 0 a, b b c c a 0, a b 0 求 c , :a 证 0 b ,0 c ,0.
证 明: 假 设a,b,c不 全 是 正,数 即 其 中 至 少 有 一 个正不数是, 不妨先设 a 0,下面分a 0和a 0两种情况讨. 论 (1)如果a 0,则abc 0,与abc 0矛盾,a 0不可能. (2)如果a 0,那么由abc 0可得bc 0,又abc 0, bc a 0,于是abbcca a(bc)bc 0, 这和已知 abbcca 0相矛盾.a 0也不可能 . 综上所述 a 0,同理可证 b 0,c 0,所以原命题成. 立
人教版B版高中数学选修4-5：第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 复习课件
c|＋|x－b|≤m，|x－c|＋|x－b|≥m. 5.会用平均值不等式求一些特定函数的最值. 6.理解不等式证明的五种方法：比较法、综合法、分析法、反
证法、放缩法，会用它用证明比较简单的不等式.
知识结构
知识梳理 1.实数的运算性质与大小顺序的关系： a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－ b<0，由此可知要比较两个实数的大小，判断 差的符号即可.
Hale Waihona Puke 随堂演练1.若 a，b，c∈R，且 ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是( )
A.a2＋b2＋c2≥2
B.(a＋b＋c)2≥3
C.1a＋1b＋1c≥2 3
D.abc(a＋b＋c)≤13
解析 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≥3(ab＋
ac＋bc)＝3，故应选 B.
答案 B
应用绝对值三角不等式证明不等式 【例 3】 已知 f(x)＝x2＋ax＋b (a，b∈R)的定义域为[－1，1].
(1)记|f(x)|的最大值为 M，求证：M≥12； (2)当 M＝12时，求 f(x)的表达式. (1)证明 由题意 M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，M≥|f(－1)|. ∴4M≥2|f(0)|＋|f(1)|＋|f(－1)| ＝2|b|＋|1＋a＋b|＋|1－a＋b| ≥|1＋a＋b＋1－a＋b－2b|＝2，∴M≥12.
4.基本不等式 (1)定理 1：若 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab (当且仅当 a＝b 时取“＝”). (2)定理 2：若 a，b∈R＋，则a＋2 b≥ ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”). (3)引理：若 a，b，c∈R＋，则 a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当 a＝b＝ c 时取“＝”)可以当作重要结论直接应用.
证法、放缩法，会用它用证明比较简单的不等式.
知识结构
知识梳理 1.实数的运算性质与大小顺序的关系： a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－ b<0，由此可知要比较两个实数的大小，判断 差的符号即可.
Hale Waihona Puke 随堂演练1.若 a，b，c∈R，且 ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是( )
A.a2＋b2＋c2≥2
B.(a＋b＋c)2≥3
C.1a＋1b＋1c≥2 3
D.abc(a＋b＋c)≤13
解析 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≥3(ab＋
ac＋bc)＝3，故应选 B.
答案 B
应用绝对值三角不等式证明不等式 【例 3】 已知 f(x)＝x2＋ax＋b (a，b∈R)的定义域为[－1，1].
(1)记|f(x)|的最大值为 M，求证：M≥12； (2)当 M＝12时，求 f(x)的表达式. (1)证明 由题意 M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，M≥|f(－1)|. ∴4M≥2|f(0)|＋|f(1)|＋|f(－1)| ＝2|b|＋|1＋a＋b|＋|1－a＋b| ≥|1＋a＋b＋1－a＋b－2b|＝2，∴M≥12.
4.基本不等式 (1)定理 1：若 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab (当且仅当 a＝b 时取“＝”). (2)定理 2：若 a，b∈R＋，则a＋2 b≥ ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”). (3)引理：若 a，b，c∈R＋，则 a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当 a＝b＝ c 时取“＝”)可以当作重要结论直接应用.
人教版高中数学选修4-5课件：模块复习课 第二课 证明不等式的基本方法 (共39张PPT)
2.放缩法 将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小),使不等 式由繁化简,达到证明的目的.
【变式训练】1.对于任何大于1的自然数n,证明:
【(1证 31明（) 1】 51设）(a1>71b)>…0(,1m 2>n10,1则)＞a
2n 1 . 2 m＜a，
所以
bm b
1
1 2k 1
2k 2k 1
n
n 2
1＜Sn＜
n
12
2
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
(2)用分析法证明不等式时,一定要注意用好反推符号, 或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语. (3)用放缩法时,放缩要得当,不能“过大”也不能“过 小”.
类型一 比较法证明不等式 【典例1】设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2) =3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2). 因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0. 从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立.
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
5.3 证明不等式的基本方法 课件(人教A版选修4-5)
附课本例 3.已知 a , b 是正数，且 a b ， 求证： a b a b 证明：∵ a , b 是正数，且 a b ，
a b b a
∴要证 aabb abba ,只要证 lg (aabb ) lg(abba ) , 只要证 a lg a b lg b b lg a a lg b . (a lg a b lg b) (b lg a a lg b)
4 求证: 1 a b . 3
4. 比较 loga (1 x) 与 loga (1 x)
的大小（ a 0且a 1,0 x 1）.
作业:课本 P 习题 2.2 第 1、2、3 题. 26
1．若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 证明：采用差值比较法： 2 4 2 2 3(1 x x ) (1 x x ) = 3 3 x2 3 x4 1 x2 x4 2 x 2 x2 2 x3 = 2( x 4 x 3 x 1) = 2( x 1)2 ( x 2 x 1) 1 2 3 2 = 2( x 1) [( x ) ]. 2 4 1 2 3 2 x 1, ( x 1) 0, 且( x ) 0, 2 4 12 3 2 ∴ 2( x 1) [( x ) ] 0, ∴ 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2 4
证明不等式的常用的方法有: 比较法、综合法、分析法，它们各有其 优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应 该对具体问题的特点作具体分析，选择合适 的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻 找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个 证明过程.
思考二.(课本第 25 页例 4) a 2b2 b2c 2 c 2a 2 ≥ abc . 已知 a , b, c 0, 求证: abc
人教B版高中数学选修4-5课件：第一章不等式的基本性质和证明的基本方法
������2-������1, ������ > ������2,
所以g(x)max=p2-p1,故只需p2-p1≤log32. 综上所述,f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1-p2|≤log32.
8
专题一
专题二
专题三
专题四
知识建构
综合应用
真题放送
专题二 基本不等式的应用
利用基本不等式求最值问题一般有两种类型:(1)和为定值时,积
若p1=p2,则(*)式⇔0≤log32,显然成立;
若p1≠p2,记g(x)=|x-p1|-|x-p2|.
当p1>p2时, ������1-������2, ������ < ������2,
g(x) = -2������ + ������1 + ������2, ������2 ≤ ������ ≤ ������1, ������2-������1, ������ > ������1,
=4(a-b)b+
16 (������-������)������
≥2 4(������-������)������·(������1-���6���)������ = 16,
当且仅当 a=2b,(a-b)b=2,即 a=2 2,b=
所以
a2
+
16 ������(������-������)
的最小值为16.
的最小值为16.
11
专题一
专题二
专题三
专题四
知识建构
综合应用
真题放送
解法二:因为 a>b>0,所以 a-b>0,
所以
a2
+
16 ������(������-������)
所以g(x)max=p2-p1,故只需p2-p1≤log32. 综上所述,f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1-p2|≤log32.
8
专题一
专题二
专题三
专题四
知识建构
综合应用
真题放送
专题二 基本不等式的应用
利用基本不等式求最值问题一般有两种类型:(1)和为定值时,积
若p1=p2,则(*)式⇔0≤log32,显然成立;
若p1≠p2,记g(x)=|x-p1|-|x-p2|.
当p1>p2时, ������1-������2, ������ < ������2,
g(x) = -2������ + ������1 + ������2, ������2 ≤ ������ ≤ ������1, ������2-������1, ������ > ������1,
=4(a-b)b+
16 (������-������)������
≥2 4(������-������)������·(������1-���6���)������ = 16,
当且仅当 a=2b,(a-b)b=2,即 a=2 2,b=
所以
a2
+
16 ������(������-������)
的最小值为16.
的最小值为16.
11
专题一
专题二
专题三
专题四
知识建构
综合应用
真题放送
解法二:因为 a>b>0,所以 a-b>0,
所以
a2
+
16 ������(������-������)
高二选修4-5_证明不等式的基本方法ppt课件
用综合法证明不等式的逻辑关系
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
13
例1 已知a, b, c 0, 且不全相等, 求证a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明: b2 c2 2bc,a 0,a(b2 c2) 2abc c2 a2 2ac,b 0,b(c2 a2) 2abc a2 b2 2ab,c 0,c(a2 b2) 2abc
17
证明：(1)由aa＋ ＋2 bb≥ ＝1，ab， a、b∈0，＋∞
得 ab≤12⇒ab≤14⇒a1b≥4. (1)∵1a＋1b＋a1b
＝(a＋b)(1a＋1b)＋a1b≥2 ab·2 当且仅当 a＝b 时取等， ∴1a＋1b＋a1b≥8.
a1b＋4＝4＋4＝8，
18
(2)∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×14＝12， ∴a2＋b2≥12. ∵a12＋b12≥a2b≥8，∴a12＋b12≥8. (a＋1a)2＋(b＋1b)2＝a2＋b2＋4＋a12＋b12≥12＋4＋8＝225， ∴(a＋1a)2＋(b＋1b)2≥225.
29
[1]用柯西不等式证明：若 a，b，c 均为正数，
(ab＋bc＋ac)(ba＋bc＋ac)≥9.
证明：∵(ab＋bc＋ac)(ba＋bc＋ac)
≥(
a b·
ba＋
b c·
bc＋
c a·
ac)2＝9，
∴(ab＋bc＋ac)(ba＋bc＋ac)≥9.
D. c
b 2d
d
2.若q 0, 且q 1, m, n N ,则1 qmn与qm qn
的大小关系是( A )
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
13
例1 已知a, b, c 0, 且不全相等, 求证a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明: b2 c2 2bc,a 0,a(b2 c2) 2abc c2 a2 2ac,b 0,b(c2 a2) 2abc a2 b2 2ab,c 0,c(a2 b2) 2abc
17
证明：(1)由aa＋ ＋2 bb≥ ＝1，ab， a、b∈0，＋∞
得 ab≤12⇒ab≤14⇒a1b≥4. (1)∵1a＋1b＋a1b
＝(a＋b)(1a＋1b)＋a1b≥2 ab·2 当且仅当 a＝b 时取等， ∴1a＋1b＋a1b≥8.
a1b＋4＝4＋4＝8，
18
(2)∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×14＝12， ∴a2＋b2≥12. ∵a12＋b12≥a2b≥8，∴a12＋b12≥8. (a＋1a)2＋(b＋1b)2＝a2＋b2＋4＋a12＋b12≥12＋4＋8＝225， ∴(a＋1a)2＋(b＋1b)2≥225.
29
[1]用柯西不等式证明：若 a，b，c 均为正数，
(ab＋bc＋ac)(ba＋bc＋ac)≥9.
证明：∵(ab＋bc＋ac)(ba＋bc＋ac)
≥(
a b·
ba＋
b c·
bc＋
c a·
ac)2＝9，
∴(ab＋bc＋ac)(ba＋bc＋ac)≥9.
D. c
b 2d
d
2.若q 0, 且q 1, m, n N ,则1 qmn与qm qn
的大小关系是( A )
高二数学北师大版选修4-5课件1.4.1 不等式的证明
a b b a
主要适用于积、商、幂、对数、根 式形式的不等式证明
自主思考(1)用求差比较法证明不等式的一般步骤是什
么? 提示:用求差比较法证明不等式的一般步骤是:①作差:把不等式左、右 两边作差,可以是左边减右边,也可以是右边减左边;②变形:把这个差变化 为易于判断正负的形式,而不必考虑差的值是多少,变形的方法主要有配方 法、通分法、因式分解法等;③判断差的符号:主要依据差的最后变形的结 果来判断;④下结论:肯定所证明的不等式成立. (2)如何解决求商比较法中的符号问题? 提示:在求商比较法中, >1⇒ b>a 是不正确的,这与 a,b 的符号有关,比 如:若 a,b>0,由������>1,可得 b>a,但若 a,b<0,则由������>1 得出的反而是 b<a,也就是
π 2
������ ������
,求证:(sinα)sinα(cosα)cosα≥(sinα)cosα(cosα)sinα.
思路分析:待证不等式的两边均为正值,且为幂的形式,可利用求商比较 法证明.
证法一:左边-右边=
������ + ������)
因为 ������ + ������>0, ������������>0,( ������ − ������)2≥0, 所以 所以 即
������ ������ ������ ������ ������
+ + +
������ -( ������ ������ ������
������ ������ + ������-( ������ 3 3 ( ������) +( ������) -( ������+ ������) ������������ = ������������ ( ������+ ������)[( ������)2 -2 ������������+( ������)2 ] = ������������ ( ������+ ������)( ������- ������)2 = . ������������
主要适用于积、商、幂、对数、根 式形式的不等式证明
自主思考(1)用求差比较法证明不等式的一般步骤是什
么? 提示:用求差比较法证明不等式的一般步骤是:①作差:把不等式左、右 两边作差,可以是左边减右边,也可以是右边减左边;②变形:把这个差变化 为易于判断正负的形式,而不必考虑差的值是多少,变形的方法主要有配方 法、通分法、因式分解法等;③判断差的符号:主要依据差的最后变形的结 果来判断;④下结论:肯定所证明的不等式成立. (2)如何解决求商比较法中的符号问题? 提示:在求商比较法中, >1⇒ b>a 是不正确的,这与 a,b 的符号有关,比 如:若 a,b>0,由������>1,可得 b>a,但若 a,b<0,则由������>1 得出的反而是 b<a,也就是
π 2
������ ������
,求证:(sinα)sinα(cosα)cosα≥(sinα)cosα(cosα)sinα.
思路分析:待证不等式的两边均为正值,且为幂的形式,可利用求商比较 法证明.
证法一:左边-右边=
������ + ������)
因为 ������ + ������>0, ������������>0,( ������ − ������)2≥0, 所以 所以 即
������ ������ ������ ������ ������
+ + +
������ -( ������ ������ ������
������ ������ + ������-( ������ 3 3 ( ������) +( ������) -( ������+ ������) ������������ = ������������ ( ������+ ������)[( ������)2 -2 ������������+( ������)2 ] = ������������ ( ������+ ������)( ������- ������)2 = . ������������
数学(选修4-5)课件1.2比较法证不等式
第1章 基本不等式和证明不等式的基本方法
1.2 比较法证不等式
学习目标
重点难点
1.了解比较法证明不等式的意义．
2.理解比较法的解题步骤及书面表
1.重点是利用比较法 证明不等式．
达．
2.难点是利用分类讨
3.能够应用比较法证明简单的不等
式.
论思想证不等式.
1．比较法 (1)求差比较法 我们已经知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此，要 证明a＞b，只要证明__a_－__b_＞__0__即可，这种方法称为求差比较 法． (2)求商比较法 由于 a＞b＞0⇔ba＞1 且 a＞0，b＞0，因此，当 a＞0，b＞0 时，要证明 a＞b，只要证明___ba_＞__1____即可，这种方法称为求
；
当 b＞a＞0 时，0＜ab＜1，a－2 b＜0，
由指数函数的性质，得aba－2 b
a+b
＞1，∴aabb＞(ab) 2
.
a+b
综上知，aabb＞(ab) 2 .
【点评】 当被证明的不等式(或变形后)的两端都是正数 且为乘积形式或幂指数形式时，一般用求商比较法．
a+b
2．当 a，b∈(0，＋∞)时，求证：abba≤(ab) 2 .
商比较法．
(1)求差比较法主要适用的类型是什么？实质是什么？ (2)求商比较法主要适用的类型是什么？ 提示：(1)求差比较法主要适用于具有多项式结构特征的不 等式证明．实质是把判断两个数(或式子)大小的问题转化为判 断一个数(或式子)与0大小的问题． (2)求商比较法主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式 的不等式证明．
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3．已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的取值范
1.2 比较法证不等式
学习目标
重点难点
1.了解比较法证明不等式的意义．
2.理解比较法的解题步骤及书面表
1.重点是利用比较法 证明不等式．
达．
2.难点是利用分类讨
3.能够应用比较法证明简单的不等
式.
论思想证不等式.
1．比较法 (1)求差比较法 我们已经知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此，要 证明a＞b，只要证明__a_－__b_＞__0__即可，这种方法称为求差比较 法． (2)求商比较法 由于 a＞b＞0⇔ba＞1 且 a＞0，b＞0，因此，当 a＞0，b＞0 时，要证明 a＞b，只要证明___ba_＞__1____即可，这种方法称为求
；
当 b＞a＞0 时，0＜ab＜1，a－2 b＜0，
由指数函数的性质，得aba－2 b
a+b
＞1，∴aabb＞(ab) 2
.
a+b
综上知，aabb＞(ab) 2 .
【点评】 当被证明的不等式(或变形后)的两端都是正数 且为乘积形式或幂指数形式时，一般用求商比较法．
a+b
2．当 a，b∈(0，＋∞)时，求证：abba≤(ab) 2 .
商比较法．
(1)求差比较法主要适用的类型是什么？实质是什么？ (2)求商比较法主要适用的类型是什么？ 提示：(1)求差比较法主要适用于具有多项式结构特征的不 等式证明．实质是把判断两个数(或式子)大小的问题转化为判 断一个数(或式子)与0大小的问题． (2)求商比较法主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式 的不等式证明．
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3．已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的取值范
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由于a,b,c不全相等, 所以上述三个式子中至少有一个不 取 等 号, 把 它 们 相 加 得 a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
10
例2 已 知a1,a2 , ,an R , 且a1a2 an 1, 求 证(1 a1 )(1 a2 ) (1 an ) 2n 证明: a1 R ,1 a1 2 a1 , 同理1 a2 2 a2 , ,1 an 2 an a1,a2 , ,an R ,由不等式的性质,得 (1 a1)(1 a2 ) (1 an ) 2n a1a2 an 2n. ai 1时,1 ai 2 ai 取等号, 所以原式在a1 a2 an 1时取等号.
,ac bd
, a 2c b 2d
,c d
中 最 大 的 是(
D
)
A. a
B. a c
b
bd
C . a 2c
D. c
b 2d
d
2.若q 0, 且q 1, m, n N ,则1 qmn与qm qn
的大小关系是( A )
A.1 qmn qm qn
B.1 qmn qm qn
补充例题:已知a 2,求证: loga(a 1) log(a1) a 课堂练习: 课本P23第1题,第2题.
补充练习: 若a,b, m, n都是正实数, 且m n 1, 试证明 ma nb m a n b
6
补充练习:
1.已 知a, b, c, d都 是 正 数, 且bc ad,
则a b
b a b a 0, 又 a,b, m都是正数,
m(b a) 0,b(b m) 0
m(b a) 0 即 a m a 0 a m a
b(b m)
bm b
bm b
4
(2)作商比较法
例3 已知a,b是正数,求证aabb abba , 当且仅当a b时,等号成立.
证
ba
ba
12
(2)分析法
从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至 所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公 理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立, 这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和 证明方法.
用分析法证明不等式的逻辑关系
B B1 B2 Bn A 结 (步步寻求不等式 已
1
一、比较法 (1)作差比较法
例1 已知a,b都是实数,且a b,求证a3 b3 a2b ab2
证明: (a3 b3) (a2b ab2) (a3 a2b) (ab2 b3)
a2(a b) b2(a b) (a2 b2)(a b)
(a b)(a b)2
a,b 0,a b 0 又 a b(a b)2 0
bm
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题: 已知a,b, m都是正数,并a b且,则 a m a
bm b
3
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题:
已知a,b, m都是正数,并a b且,则 a m a
下面给出证明
bm b
a m a m(b a) b m b b(b m)
C .1 qmn qm qn
D.不 能 确 定
7
3.在等比数列an和等差数列bn中,a1 b1 0,
a3 b3 0,a1 a3,则a5与b5的大小关系为( A ) A.a5 b5 B.a5 b5 C,a5 b5 D.不能确定
4.设0 a b 1,则a b,2 ab,a2 b2,2ab中最大的值是(B )
11
利用综合法证明不等式时, 应注意对已证 不 等 式 的 使 用, 常 用 的 不 等 式 有:
(1)a2 0;
(2) a 0;
(3)a2 b2 2ab;它的变形形式又有
(a
b)2
a2 4ab;
b2
a
b 2
2 2
(4) a b ab;它的变形形式又有 2
a b 2(ab 0); a b 2(ab 0)
明:
a a
abb bba
aabbba
a
a
b
b
根据要证的不等式的特点(交换a,b的位置, 不等式不变)
不妨设a b 0,则 a 1, a b 0, a ab 1
b
b
当且仅当a b时,等号成立.
aabb abba ,当且仅当a b时,等号成立.
5
abc
变式引申: 求证 : 若a,b,c R ,则aabbcc (abc) 3
2
8
二、综合法与分析法
(1)综合法
在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性 质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明 的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种 证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.
用综合法证明不等式的逻辑关系
故(a b)(a b)2 0即(a3 b3) (a2b ab2) 0
糖溶液,则其浓度为a , b
若 在 上 述 溶 液 中 再 添 加mkg白 糖, 此 时 溶 液 的 浓 度 增加到a m ,将这个事实抽象为数学问题,并给出证明.
A.a2 b2
B.a b
C.2ab D.2 ab
5.设P a2b2 5,Q 2ab a2 4a,若P Q,则实数a,b
满足的条件为_a_b__1_或__a_b 2
6.若0
a
b
1,
P
log1
a
2
b
,Q
1 2
(log1
a
log1
b),
2
2
2
M log1 (a b),则P,Q, M的大小关系是_Q_>_P_>__M____
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
9
例1 已知a, b, c 0, 且不全相等, 求证a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明: b2 c2 2bc,a 0,a(b2 c2) 2abc c2 a2 2ac,b 0,b(c2 a2) 2abc a2 b2 2ab,c 0,c(a2 b2) 2abc
10
例2 已 知a1,a2 , ,an R , 且a1a2 an 1, 求 证(1 a1 )(1 a2 ) (1 an ) 2n 证明: a1 R ,1 a1 2 a1 , 同理1 a2 2 a2 , ,1 an 2 an a1,a2 , ,an R ,由不等式的性质,得 (1 a1)(1 a2 ) (1 an ) 2n a1a2 an 2n. ai 1时,1 ai 2 ai 取等号, 所以原式在a1 a2 an 1时取等号.
,ac bd
, a 2c b 2d
,c d
中 最 大 的 是(
D
)
A. a
B. a c
b
bd
C . a 2c
D. c
b 2d
d
2.若q 0, 且q 1, m, n N ,则1 qmn与qm qn
的大小关系是( A )
A.1 qmn qm qn
B.1 qmn qm qn
补充例题:已知a 2,求证: loga(a 1) log(a1) a 课堂练习: 课本P23第1题,第2题.
补充练习: 若a,b, m, n都是正实数, 且m n 1, 试证明 ma nb m a n b
6
补充练习:
1.已 知a, b, c, d都 是 正 数, 且bc ad,
则a b
b a b a 0, 又 a,b, m都是正数,
m(b a) 0,b(b m) 0
m(b a) 0 即 a m a 0 a m a
b(b m)
bm b
bm b
4
(2)作商比较法
例3 已知a,b是正数,求证aabb abba , 当且仅当a b时,等号成立.
证
ba
ba
12
(2)分析法
从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至 所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公 理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立, 这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和 证明方法.
用分析法证明不等式的逻辑关系
B B1 B2 Bn A 结 (步步寻求不等式 已
1
一、比较法 (1)作差比较法
例1 已知a,b都是实数,且a b,求证a3 b3 a2b ab2
证明: (a3 b3) (a2b ab2) (a3 a2b) (ab2 b3)
a2(a b) b2(a b) (a2 b2)(a b)
(a b)(a b)2
a,b 0,a b 0 又 a b(a b)2 0
bm
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题: 已知a,b, m都是正数,并a b且,则 a m a
bm b
3
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题:
已知a,b, m都是正数,并a b且,则 a m a
下面给出证明
bm b
a m a m(b a) b m b b(b m)
C .1 qmn qm qn
D.不 能 确 定
7
3.在等比数列an和等差数列bn中,a1 b1 0,
a3 b3 0,a1 a3,则a5与b5的大小关系为( A ) A.a5 b5 B.a5 b5 C,a5 b5 D.不能确定
4.设0 a b 1,则a b,2 ab,a2 b2,2ab中最大的值是(B )
11
利用综合法证明不等式时, 应注意对已证 不 等 式 的 使 用, 常 用 的 不 等 式 有:
(1)a2 0;
(2) a 0;
(3)a2 b2 2ab;它的变形形式又有
(a
b)2
a2 4ab;
b2
a
b 2
2 2
(4) a b ab;它的变形形式又有 2
a b 2(ab 0); a b 2(ab 0)
明:
a a
abb bba
aabbba
a
a
b
b
根据要证的不等式的特点(交换a,b的位置, 不等式不变)
不妨设a b 0,则 a 1, a b 0, a ab 1
b
b
当且仅当a b时,等号成立.
aabb abba ,当且仅当a b时,等号成立.
5
abc
变式引申: 求证 : 若a,b,c R ,则aabbcc (abc) 3
2
8
二、综合法与分析法
(1)综合法
在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性 质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明 的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种 证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.
用综合法证明不等式的逻辑关系
故(a b)(a b)2 0即(a3 b3) (a2b ab2) 0
糖溶液,则其浓度为a , b
若 在 上 述 溶 液 中 再 添 加mkg白 糖, 此 时 溶 液 的 浓 度 增加到a m ,将这个事实抽象为数学问题,并给出证明.
A.a2 b2
B.a b
C.2ab D.2 ab
5.设P a2b2 5,Q 2ab a2 4a,若P Q,则实数a,b
满足的条件为_a_b__1_或__a_b 2
6.若0
a
b
1,
P
log1
a
2
b
,Q
1 2
(log1
a
log1
b),
2
2
2
M log1 (a b),则P,Q, M的大小关系是_Q_>_P_>__M____
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
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例1 已知a, b, c 0, 且不全相等, 求证a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明: b2 c2 2bc,a 0,a(b2 c2) 2abc c2 a2 2ac,b 0,b(c2 a2) 2abc a2 b2 2ab,c 0,c(a2 b2) 2abc