高二选修4-5 证明不等式的基本方法 课件ppt课件

A.a2 b2
B.a b
C.2ab D.2 ab
5.设P a2b2 5,Q 2ab a2 4a,若P Q,则实数a,b
满足的条件为_a_b__1_或__a_b 2
6.若0
a
b
1,
P
log1
a
2
b
,Q
1 2
(log1
a
log1
b),
2
2
2
M log1 (a b),则P,Q, M的大小关系是_Q_>_P_>__M____
明:
a a
abb bba
aabbba
a
a
b
b
根据要证的不等式的特点(交换a,b的位置, 不等式不变)
不妨设a b 0,则 a 1, a b 0, a ab 1
b
b
当且仅当a b时,等号成立.
aabb abba ,当且仅当a b时,等号成立.
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abc
变式引申: 求证 : 若a,b,c R ,则aabbcc (abc) 3
,ac bd
, a 2c b 2d
,c d
中 最 大 的 是(
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)
A. a
B. a c
b
bd
C . a 2c
D. c
b 2d
d
2.若q 0, 且q 1, m, n N ,则1 qmn与qm qn
的大小关系是( A )
A.1 qmn qm qn
B.1 qmn qm qn
由于a,b,c不全相等, 所以上述三个式子中至少有一个不 取 等 号, 把 它 们 相 加 得 a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
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例2 已 知a1,a2 , ,an R , 且a1a2 an 1, 求 证(1 a1 )(1 a2 ) (1 an ) 2n 证明: a1 R ,1 a1 2 a1 , 同理1 a2 2 a2 , ,1 an 2 an a1,a2 , ,an R ,由不等式的性质,得 (1 a1)(1 a2 ) (1 an ) 2n a1a2 an 2n. ai 1时,1 ai 2 ai 取等号, 所以原式在a1 a2 an 1时取等号.
b a b a 0, 又 a,b, m都是正数,
m(b a) 0,b(b m) 0
m(b a) 0 即 a m a 0 a m a
b(b m)
bm b
bm b
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(2)作商比较法
例3 已知a,b是正数,求证aabb abba , 当且仅当a b时,等号成立.
证
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
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例1 已知a, b, c 0, 且不全相等, 求证a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明: b2 c2 2bc,a 0,a(b2 c2) 2abc c2 a2 2ac,b 0,b(c2 a2) 2abc a2 b2 2ab,c 0,c(a2 b2) 2abc
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一、比较法 (1)作差比较法
例1 已知a,b都是实数,且a b,求证a3 b3 a2b ab2
证明: (a3 b3) (a2b ab2) (a3 a2b) (ab2 b3)
a2(a b) b2(a b) (a2 b2)(a b)
(a b)(a b)2
a,b 0,a b 0 又 a b(a b)2 0
bm
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题: 已知a,b, m都是正数,并a b且,则 a m a
bm b
3
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题:
已知a,b, m都是正数,并a b且,则 a m a
下面给出证明
bm b
a m a m(b a) b m b b(b m)
故(a b)(a b)2 0即(a3 b3) (a2b ab2) 0
a3 b3 a2b ab2
2
例2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则其浓度为a , b
若 在 上 述 溶 液 中 再 添 加mkg白 糖, 此 时 溶 液 的 浓 度 增加到a m ,将这个事实抽象为数学问题,并给出证明.
ba
ba
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(2)分析法
从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至 所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公 理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立, 这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和 证明方法.
用分析法证明不等式的逻辑关系
B B1 B2 Bn A 结 (步步寻求不等式 已
C .1 qmn qm qn
D.不 能 确 定
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3.在等比数列an和等差数列bn中,a1 b1 0,
a3 b3 0,a1 a3,则a5与b5的大小关系为( A ) A.a5 b5 B.a5 b5 C,a5 b5 D.不能确定
4.设0 a b 1,则a b,2 ab,a2 b2,2ab中最大的值是(B )
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利用综合法证明不等式时, 应注意对已证 不 等 式 的 使 用, 常 用 的 不 等 式 有:
(1)a2 0;
(2) a 0;
(3)a2 b2 2ab;它的变形形式又有
(a
b)2
a2 4ab;
b2
a
b 2
2 2
(4) a b ab;它的变形形式又有 2
a b 2(ab 0); a b 2(ab 0)
补充例题:已知a 2,求证: loga(a 1) log(a1) a 课堂练习: 课本P23第1题,第2题.
补充练习: 若a,b, m, n都是正实数, 且m n 1, 试证明 ma nb m a n b
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补充练习:
1.已 知a, b, c, d都 是 正 数, 且bc ad,
则a b
2
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二、综合法与分析法
(1)综合法
在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性 质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明 的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种 证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.
用综合法证明不等式的逻辑关系