平面曲线的切线与法线

P 条件： 0 ( x0 , y0 ) 为 L 上一点, 在 P0 近旁, F 满足 或 x x ( y ) );
L 在 P0 处的切线：
y y0 Fx ( P0 ) Fy ( P0 ) ( x x0 )
的条件. 容易算出
( Fx ( P0 ), Fy ( P0 )) (15, 12),
于是所求的切线与法线分别为
15( x 2) 12( y 1) 0, 即 5 x 4 y 6 0; 12( x 2) 15( y 1) 0, 即 4 x 5 y 13 0 .
在点 P0 (3,4,5) 处的切线与法平面.
解 曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线. 令
F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 50, G( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 .
根据公式 (5) 与 (6), 需先求出切向向量. 为此计算
F, G 在点 P0 处的雅可比矩阵:
由此得到切线方程和法平面方程分别为
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z2 2 : x 1 y 1 ; 2 2

: ( x

2 即 x y 2 z 4. 2
1 ) ( y 1) 2 ( z 2 2 ) 0,
绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下:
syms t; x=t-sin(t); y=1-cos(t); z=4*sin(t/2);
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故切向向量为
( 160, 120, 0)∥( 4, 3, 0),
据此求得

y4 x3 , 3 x 4 y 25 0, 3 切线 : 4 即 z 5; z 5 0,
法平面 : 4( x 3) 3( y 4) 0 ( z 5) 0, 即 4 x 3 y 0 ( 平行于 z 轴 ) .
令, 便可画出上述切线与法线的图象 (如图).
hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
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L

P0
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例3 设一般二次曲线为
F ( x, y, z ) 0 (7)
给出. 若点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) S , F ( x, y, z ) 在 P0 近旁 具有连续的一阶偏导数, 而且
( Fx ( P0 ), Fy ( P0 ), Fz ( P0 )) ( 0,0,0),
(8)
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不妨设 Fz ( P0 ) 0, 则由方程 (7) 在点 P0 近旁惟一 地确定了连续可微的隐函数 z f ( x , y ).
或 x x
0
Fy ( P0 ) Fx ( P0 ) ( y y0 ) .
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总之, 当 ( Fx ( P0 ), F y ( P0 ) ) ( 0, 0 ) 时, 就有
法向量 : n ( Fx ( P0 ), F y ( P0 ) ); 切线方程 : Fx ( P0 )( x x0 ) F y ( P0 )( y y0 ) 0; (1) 法线方程 : F y ( P0 )( x x0 ) Fx ( P0 )( y y0 ) 0 .
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二、空间曲线的切线与法平面
先从参数方程表示的曲线开始讨论. 在第五章§3 已学过, 对于平面曲线
x x( t ), y y( t ), t ,
若 P0 ( x0 , y0 ) ( x( t0 ), y( t0 )) 是其上一点, 则曲线
在点 P0 处的切线为 y ( t 0 ) x x0 y y0 y y0 ( x x0 ), 或 . x ( t 0 ) x ( t 0 ) y( t0 )
不妨设 J x y ( P0 ) 0, 于是存在隐函数组
x x( z ), y y( z ), z z .
这也就是曲线 L 以 z 作为参数的一个参数方程. 根据公式 (2), 所求切线方程为
x x0 y y0 z z0 . x ( z 0 ) y ( z 0 ) 1
ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])
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x t sin t , y 1 cos t , z 4sin(t 2).
t 2

t0
t 2


t 2

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例5 求曲线
L : x 2 y 2 z 2 50, x 2 y 2 z 2
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:
应用隐函数组求导公式, 有
x( z0 ) J z y ( P0 ) J x y ( P0 ), y( z0 ) J xz ( P0 ) J x y ( P0 ) .
于是最后求得切线方程为 x x0 y y0 z z0 : . J yz ( P0 ) J z x ( P0 ) J x y ( P0 ) 相应于 (3) 式的法平面方程则为
例1 求笛卡儿叶形线
2 ( x3 y3 ) 9 x y 0
在点 P0 (2,1) 处的切线与法线. 解 设 F ( x , y ) 2( x 3 y 3 ) 9 x y . 由§1 例 2 的讨
论 ( 这里 a 3 2 ), F 在点 P0 近旁满足隐函数定理
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设 P0 ( x0 , y0 , z0 ) L ; F , G 在点 P0 近旁具有连续的
一阶偏导数, 且
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( J x y , J yz , J z x )
其中 J x y
P0
( 0,0,0 ),
(F ,G ) (F ,G ) ( F , G ) , J yz , Jz x . ( x, y ) ( y, z ) ( z, x )
证 令 G ( x , y ) Ax 2 Bxy Cy 2 Dx 2 Ey F ,
2 2
则有
G x ( P0 ) 2 Ax0 2 By0 2 D , G y ( P0 ) 2 Bx0 2Cy0 2 E .
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由此得到所求切线为
L : x 2 y sin x y 0 例2 用数学软件画出曲线
的图象；并求该曲线在点 P0 ( 3 , 3 2 ) 处的
切线与法线.
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解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);
( Ax0 By0 D)( x x0 ) ( Bx0 Cy0 E )( y y0 ) 0,
利用 ( x0 , y0 ) 满足曲线 L 的方程, 即
F ( Ax02 2 Bx0 y0 Cy0 2 2 Dx0 2 Ey0 ),
整理后便得到
Ax0 x B( y0 x x0 y ) Cy0 y D( x x0 ) E ( y y0 ) F 0 .
L : Ax 2 Bxy Cy 2 Dx 2 Ey F 0,
2 2
P0 ( x0 , y0 ) L . 试证 L 在点 P0 处的切线方程为 Ax0 x B( y0 x x0 y ) Cy0 y D( x x0 ) E ( y y0 ) F 0 .
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Fx G x
Fy Gy
Fz x 2 Gz P 0 x
z 6 8 10 6 8 10 . y z P0 y
由此得到所需的雅可比行列式:
6 8 J x y ( P0 ) 0, 6 8 8 10 J y z ( P0 ) 160, 8 10 10 6 J z x ( P0 ) 120. 10 6
类似于平面曲线的情形, 不难求得 P0 处的切线为
x x0 y y0 z z0 : . x ( t 0 ) y ( t 0 ) z( t0 ) (2)
过点 P0 且垂直于切线 的平面 , 称为曲线 L 在点 P0 处的法平面 .
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因为切线 的方向向量即为
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由此得到 L 在点 P0 处的切线与法线分别为：
( 2 )( x ) (1 )( y 2 ) 0,
2 3 3 3 3 3
(1 )( x ) ( 2 )( y 2 ) 0 .
2
3
3
3
3
3
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指
就立即得到曲线 L 的图象 (见本例末页).
令 F ( x , y ) x 2 y sin x y , 容易求出:
F ( P ) (2 x y cos xy ) 2 3 3 2 , P0 x 0 Fy ( P0 ) (1 x cos xy ) P 1 3 . 0
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三、曲面的切平面与法线
以前知道, 当 f 为可微函数时, 曲面 z = f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面为
z z0 f x ( P0 )( x x0 ) f y ( P0 )( y y0 ).
现在的新问题是: 曲面 S 由方程
在点 P0 ( 对应于 t0 2 ) 处的切线和法平面. 1, 1, 2 2 ) , 故切向向量为 解 容易求得 P0 ( 2 ( x( t0 ), y( t0 ), z( t0 ) ) (1 cos t0 , sin t0 , 2cos( t0 2) ) (1, 1, 2 ).
因为
Fy ( P0 ) Fx ( P0 ) f x ( P0 ) , f y ( P0 ) , Fz ( P0 ) Fz ( P0 )
: J yz ( P0 )( x x0 ) J zx ( P0 )( y y0 )
J x y ( P0 )( z z0 ) 0 .
(5)
(6)
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例 4 求空间曲线
L : x t sin t , y 1 cos t , z 4sin( t 2)
下面讨论空间曲线.
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(A) 用参数方程表示的空间曲线:
L : x x( t ), y y( t ), z z ( t ), t .
若 P0 ( x0 , y0 , z0 ) ( x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) L , 且有
x 2 ( t0 ) y 2 ( t0 ) z 2 ( t0 ) 0,
法平面 的法向量, 所以法
平面的方程为
x( t0 )( x x0 ) y( t0 )( y y0 ) z( t0 )( z z0 ) 0. (3)
(B) 用直角坐标方程表示的空间曲线：
F ( x , y , z ) 0, L: G ( x , y , z ) 0. (4)
§3 几 何 应 用
在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的, 因此 在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函 数(组)的微分法. 一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线
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一、平面曲线的切线与法线
F 曲线 L ： ( x, y) 0;