导数的综合应用PPT课件

2 3 2 y 2 x0 x0 (4 x0 3x0 )( x x0 ). l过点P(0, 4), 2 3 2 3 2 4 2 x0 x0 (4 x0 3x0 )(0 x0 ), x0 x0 2 0, 3 2 2 x0 1 ( x0 1) 0, ( x0 1)( x0 2 x0 2) 0,
而g(x)的图象关于y轴对称,所以
所以m=-3.代入①得n=0.
2m 6 0, 23
于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
由f′(x)>0得x>2或x<0, 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞);
函数的极值与导数
【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,
-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.
(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极 值. 思维启迪 (1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关
1 1 1 1 n 1 .故 选C . f (1) f ( 2) f ( n) n 1 n 1
4.a、b为实数，且b-a=2，若多项式函数f(x)在区间 (a,b)上的导函数f′(x)满足f′(x)<0,则以下式子 中一定成立的关系式是 ( B ) 1 A.f(a)<f(b) B.f(a+1)>f(b) 2 3 ) C.f(a+1)>f(b-1) D.f(a+1)>f(b2 解析 因为f(x)在区间(a,b)上的导函数f′(x)满
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值
的大小,最大(小)者为最大(小)值.
基础自测
1.已知曲线C:y=2x2-x3,点P(0,-4),直线l过点P且与 曲线C相切于点Q,则点Q的横坐标为 A.-1 B.1 C.-2 D.2 (
A )
解析
2 3 y 4 x 3x 2 ,设Q( x0 , 2 x0 x0 ), 则l方程为
案为A.
3.已知函数f(x)=xm+ax的导数f′(x)=2x+1,则数列
1 } (n∈N*)的前n项和为 f ( n) n n 1 n A. Β. C. n 1 n n 1 {
( C )
D. n2 n 1
解析
∵f′(x)=mxm-1+a=2x+1
m 2 a 1
∴f(x)=x2+x ∴f(n)=n2+n=n(n+1)
足f′(x)<0,故f(x)在区间(a,b)上单调递减, 1 1 又b - a 2, a 1 a 2 b , 2 2 1 故f(a+1)>f(b),故选B. 2
5.函数y=f(x)在其定义域 ( ,3) 内可导,其图象如
图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式
于y轴对称可求m,n.由f′(x)>0及f′(x)<0可求单
调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值 点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.
解
(1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6), ①
得m-n=-3. 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n, 则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
增函数(或减函数);若函数在闭区间［a,b］上连续,
则单调区间可扩大到闭区间［a,b］上.
3.函数的极值 求可导函数极值的步骤
f′(x)=0的根→检验f′(x) 求导数f′(x)→求方程________
在方程根左右值的符号,求出极值(若左正右负,则
f(x)在这个根处取极大值;若左负右正,则f(x)在这
个根处取极小值). 4.函数的最值 求可导函数在［a,b］上的最值的步骤 求f(x)在(a,b)内的极值→求f(a)、f(b)的值→比 极值 较f(a)、f(b)的值和 _____的大小.
5.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问 题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关 系式y=f(x); (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;
§3.4 导数的综合应用
基础知识
要点梳理 1.曲线的切线方程
自主学习
点P(x0,f(x0))在曲线y=f(x)上,且f(x)在(x0,f(x0))
处存在导数,曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y___ f(x0)=f′(x0)(x-x0) __________________.
2.函数的单调性 (1)用导数的方法研究函数的单调性往往很简便, 但要注意规范步骤.求函数单调区间的基本步骤是:
①确定函数f(x)的定义域; ②求导数f′(x); ③由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围.当 增函数 f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是 ______;当f′(x) 减函数 <0时,f(x)在相应的区间上是 _______. 还可以通过列表,写出函数的单调区间. (2)在利用导数研究函数的单调性时,我们往往应用 以下的充分条件：设函数f(x)在(a，b)内可导，若 f′(x)>0(或f′(x)<0),则函数f(x)在区间(a,b)内为
1 [ ,1] [2,3) f′(x)≤0的解集为__________. 3
3 2
解析
3 2
由函数y=f(x)在定义
域 ( ,3) 内的图象可得,函 数y=f′(x)的大致图象如图
所示.由图象可得不等式 f′(x)≤0的解集为
1 [ ,1] [2,3). 3
题型分类
题型一
深度来自百度文库析
x0 1.
2.函数f(x)=xcos x的导函数f′(x)在区间[-π ,π ] 上的图象大致是 ( A )
解析
∵f(x)=xcos x,∴f′(x)=cos x-xsin x.
∴f′(-x)=f′(x),∴f′(x)为偶函数,∴函数图象 关于y轴对称.由f′(0)=1可排除C、D选项.而 f′(1)=cos 1-sin 1<0,从而观察图象即可得到答