高二数学杨辉三角和二项式系数性质PPT教学课件

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n 1
C n 2 相等,且同时取得最大值。
二项式系数的性质
(3)各二项式系数的和
在二项式定理中,令ab1,则:
C 0 n C 1 n C n 2 C n n 2 n
这就是说,(ab)n的展开式的各二项式系
数的和等于:2n
同时由于C0n 1,上式还可以写成: C 1 n C 2 n C 3 n C n n 2 n 1
和二项式系数性质





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杨辉三角 《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
杨辉三角
1.“杨辉三角”的来历及规 (律ab)n展开式中的二项式系数,当时,如下表所示:
(ab)1 (ab)2 (ab)3 (ab)4 (ab)5
(ab)6
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角
点击图片可以演示“杨辉三角”课件
二项式系数的性质
(ab)n展开式的二项式
系数依次是:C0 n,C 1 n,Cn 2, ,Cn n
从函数角度看,C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是:0,1 ,2, ,n
当 n6时,其图象是右
图中的7个孤立点.
二项式系数的性质
2.二项式系数的性质
赋 值
0 ( C n 0 C n 2 ) ( C n 1 C n 3 )
=2 法C n 0 C n 2 C n 1 C n 3 n-1
已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7; (3()1-a0+2xa)2+7a=4a+0a+6a.1x+a2x2+…+a7x7
(1)对称性 与首末两端“等距离”
的两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式
Cm n Cnnm得到. 图象的对称轴:r n 2
二项式系数的性质
(2)增减性与最大值
由于:Ckn
n(n1)
(n2)(nk1) k(k1)!
Ckn1nkk1
所以C
k n
相对于Ckn1的增减情况由
nk k
1
决定.
二项式系数的性质
这是组合总数公式.
例1 证明在(a+b)n 的展开式中,奇数 项的二项式系数的和等于偶数项的二项 式系数的和.
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n b C n r a n r b r C n n b n ( n N )
a1,b1
( 1 1 ) n C n 0 C n 1 C n 2 C n 3 ( 1 ) n C n n
(2)增减性与最大值
由:nk 1 1 kn 1
k
2
可知,当k n1时,
2
二项式系数是逐渐增大的,由对称性可
知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取
得最大值。
二项式系数的性质
(2)增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项
系式数 C
n
2 n
取得最大值;
n 1
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C n 2 、
令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=-1 令x=0得a0=1 ∴a0+a1+a2+…+a7=-2 (2)令x=-1,得 a0-a1+a2-a3+…+a6-a7=37=2187
由a1+上a3式+a得5+a7=-109|4a 0| |a 1| |a 7|
a0+a2+a4+a6=1093
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