高二数学杨辉三角和二项式系数性质PPT教学课件
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这是组合总数公式．
例1 证明在(a+b)n 的展开式中，奇数 项的二项式系数的和等于偶数项的二项 式系数的和．
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n b C n r a n r b r C n n b n ( n N )
a1,b1
( 1 1 ) n C n 0 C n 1 C n 2 C n 3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ( 1 ) n C n n
令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=－1 令x=0得a0=1 ∴a0+a1+a2+…+a7=－2 （2）令x=－1,得 a0－a1+a2－a3+…+a6－a7=37=2187
由a1+上a3式+a得5+a7=-109|4a 0| |a 1| |a 7|
a0+a2+a4+a6=1093
n 1
C n 2 相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令ab1，则：
C 0 n C 1 n C n 2 C n n 2 n
这就是说，(ab)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C0n 1，上式还可以写成： C 1 n C 2 n C 3 n C n n 2 n 1
和二项式系数性质
《
九
章
杨
算
辉
术
》
杨辉三角 《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规 (律ab)n展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：
(ab)1 (ab)2 (ab)3 (ab)4 (ab)5
(ab)6
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
（1）对称性 与首末两端“等距离”
的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cm n Cnnm得到． 图象的对称轴：r n 2
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由于：Ckn
n(n1)
(n2)(nk1) k(k1)!
Ckn1nkk1
所以C
k n
相对于Ckn1的增减情况由
nk k
1
决定．
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由：nk 1 1 kn 1
k
2
可知，当k n1时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可
知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取
得最大值。
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项
系式数 C
n
2 n
取得最大值；
n 1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C n 2 、
杨辉三角
点击图片可以演示“杨辉三角”课件
二项式系数的性质
(ab)n展开式的二项式
系数依次是：C0 n,C 1 n,Cn 2, ,Cn n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1 ,2, ,n
当 n6时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
赋 值
0 ( C n 0 C n 2 ) ( C n 1 C n 3 )
=2 法C n 0 C n 2 C n 1 C n 3 n-1
已知（1－2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 求:（1）a1+a2+…+a7;（2）a1+a3+a5+a7; （3（）1－a0+2xa）2+7a=4a+0a+6a.1x+a2x2+…+a7x7
例1 证明在(a+b)n 的展开式中，奇数 项的二项式系数的和等于偶数项的二项 式系数的和．
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n b C n r a n r b r C n n b n ( n N )
a1,b1
( 1 1 ) n C n 0 C n 1 C n 2 C n 3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ( 1 ) n C n n
令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=－1 令x=0得a0=1 ∴a0+a1+a2+…+a7=－2 （2）令x=－1,得 a0－a1+a2－a3+…+a6－a7=37=2187
由a1+上a3式+a得5+a7=-109|4a 0| |a 1| |a 7|
a0+a2+a4+a6=1093
n 1
C n 2 相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令ab1，则：
C 0 n C 1 n C n 2 C n n 2 n
这就是说，(ab)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C0n 1，上式还可以写成： C 1 n C 2 n C 3 n C n n 2 n 1
和二项式系数性质
《
九
章
杨
算
辉
术
》
杨辉三角 《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规 (律ab)n展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：
(ab)1 (ab)2 (ab)3 (ab)4 (ab)5
(ab)6
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
（1）对称性 与首末两端“等距离”
的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cm n Cnnm得到． 图象的对称轴：r n 2
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由于：Ckn
n(n1)
(n2)(nk1) k(k1)!
Ckn1nkk1
所以C
k n
相对于Ckn1的增减情况由
nk k
1
决定．
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由：nk 1 1 kn 1
k
2
可知，当k n1时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可
知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取
得最大值。
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项
系式数 C
n
2 n
取得最大值；
n 1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C n 2 、
杨辉三角
点击图片可以演示“杨辉三角”课件
二项式系数的性质
(ab)n展开式的二项式
系数依次是：C0 n,C 1 n,Cn 2, ,Cn n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1 ,2, ,n
当 n6时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
赋 值
0 ( C n 0 C n 2 ) ( C n 1 C n 3 )
=2 法C n 0 C n 2 C n 1 C n 3 n-1
已知（1－2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 求:（1）a1+a2+…+a7;（2）a1+a3+a5+a7; （3（）1－a0+2xa）2+7a=4a+0a+6a.1x+a2x2+…+a7x7