平面向量题型二平面向量的共线问题

题型二：平面向量的共线问题

1、若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y =

2、已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D

3、如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）

①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对；

③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0.

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．仅② 4、若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b

5、已知A(2,-2),B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且p ∥,则k 的值为 ( ) A.

109-

B.10

9 C.

1019-

D.10

19

6、已知a 是以点(3,1)A -为起点，且与向量(3,4)b =-平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 ．

7、 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a =b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a =b ，b =c ，则a =c ；④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ；⑤若a //b ，b //c ，则a //c ，其中正确的序号是 ．

8、平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ） A ．a ，b 方向相同

B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量

C ．R λ∃∈，

b a λ=

D ．存在不全为零的实数

1λ，2λ，120a b λλ+=

9、如图在三角形ABC 中,AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4,BN 与CM 相交于点P ，且

a =，

b =，试用a 、b

表示

10、已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，

B ，

C 三点共线的充要条件是( )．

A ．λ＋μ＝2

B ．λ－μ＝1

C ．λμ＝－1

D ．λμ＝1

11、在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =λ+31,则λ= (A)

3

2 (B)

3

1 (C) -

3

1

(D) -3

2

12、设a 、b 是不共线的两个非零向量,

(1)若2,3,OA a b OB a b OC =-=+=a-3b,求证:A 、B 、C 三点共线;

(2)若8a+kb 与ka+2b 共线,求实数k 的值.

13、如图点G 是三角形ABO 的重心,PQ 是过G 的分别交OA 、OB 于P 、Q 的一条线段，且mOA OP =，nOB OQ =,（m 、R n ∈）。

求证31

1=+n m

6、解：方法一：设向量a 的终点坐标是(,)x y ，则(3,1)a x y =-+，则题意可知

22

4(3)3(1)0311x y x y -++=⎧⎨+=⎩（－）（＋），解得：12,515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪

⎩　或18,595x y ⎧=⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩，故填121,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 方法二：与向量(3,4)b =-平行的单位向量是1(3,4)5±-，故可得

34,55a ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭，从而向量a 的终点坐标是(,)(3,1)x y a =+-，便可得结果．

归纳小结：①向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实

质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念；②与a 平行的单位向量

||a

e a =．

7、解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB DC =，∴||||AB DC =且//AB DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则，

//AB DC 且||||AB DC =，因此，AB DC =．

③正确．∵a =b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ．

④不正确．当a //b 且方向相反时，即使|a |=|b |，也不能得到a =b ，故|a |=|b |且a //b 不是a =b 的充要条件，而是必要不充分条件．

⑤不正确．考虑b =0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③． 归纳小结：本例主要复习向量的基本概念，向量的基本概念较多，因而容易遗忘，为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联系，帮助理解，加深记忆．

8、解析：若,a b 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数

12,,

λλ使

120a b λ+λ=；若0a ≠，则由两向量共线知，存在0λ≠，使得b a =λ，即0a b λ-=，符合题意，故选Ｄ．

归纳小结：概念定理性的问题往往是看似简单，实则处处陷阱，所以应加强对基础概念、定理的深入理解，明确问题关键之处，体会本质．

9、分析：本题是以向量为载体的平面几何题，所以我们很容易联想到点M 、P 、