第二章 极限与连续

1
比如
lim
x
x2
1
0,
f (x) A
lim 1 0 x x
(x ）
lim 1 0 x x 10
一般地，有下述精确定义：
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定义1 设y=f(x)在(-,-M)∪(M,+ )内有定义,其中M＞0.
若对任给的 ＞0,存在正数X＞0,当∣x∣＞X时,相应的函 数值f(x)满足∣f(x)-A∣＜,则称A为f(x)的当x→ 时的极
（2）在无限的过程中，即当n无限增大时， An无限接近于A的精确值。
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2、截杖问题：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为x1
1 2
;
第二天截下的杖长为x2
1 22
;
第n天截下的杖长为xn
1 2n
;
xn
1 2n
0（当n无限增大时）
为了刻画对上面两个问 题的分析结果，我们
引入了数列的极限概念 :
{xn}发散．比如
lim
n
1
2n
0.
但n 时，{2n}的极限不存在 .
定义4只是极限的描述性定义,在这个定义中没有讲清楚
“n→∞”和“xn→A”的精确含义．
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研究数列
xn
1
1 的极限. n
将数列中的项依次在数轴上描出
“当n越来越大时,xn越来越接近于1” “当n越来越大时, xn 1 越来越接近于0”． “当n充分大时, xn 1 能够小于任意给定的
定义3 若存在数M＞0，使得对一切xn,n=1,2,…，都有 ｜xn｜≤M，则称数列｛xn｝是有界的，否则称{xn}是无界 的．数列有界的几何意义：
xn M的充分必要条件是- M xn M,即xn [M, M ].
如果我们将xn用数轴上的点表示，则从几何上看，所谓 {xn}有界，就表示存在一个关于原点对称的区间[-M.M]， 使得所有的xn均落在这一对称区间内，即xn∈[-M,M].反之 亦然 .
以上性质都可由数列极限的几何得到解释.
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例3 求
n!
lim
n
nn
解
用夹逼定理求解．这里xn=
n! nn
0
xn
n! nn
1 n
.
2n nn
1 n
由于
lim 0 =0,
n
.
lim 1 =0， n n
n!
由夹逼定理知，
lim
n
nn
=0．
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1 例4 设xn= ln(1 n)
,证明
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(4) 数列极限的几何意义．
xn→A(n→∞)就是对以A为中心，以任意小的正数ε为半 径的邻域U(A,ε),总能找到一个N,从第N+1项开始,以后的 各项(无限多项)都落在邻域U(A,ε)内，而在U(A,ε)外，至 多有N项(有限项) .
{xn}的聚点
由此可知，数列 1,-1,1,-1,… 发散。
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例如，已知半径为R的圆内接正n边形的面积为
An
nR2 2
sin
2
n
通过前面的讨论我们已经知道，该圆的面积A就是 An 的
极限. 即
lim nR2 sin 2 A
n 2
n
于是，求圆面积的问题就转化成了求 lim nR2 sin 2
n 2
n
通过后面对极限的进一步介绍我们就会知道
lim nR2 sin 2 R2, 于是就有了圆面积的计算公式 A R2
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对于一个数列{xn}, 如果保持在原有顺序的 情况 下，从其中任取无穷多 项构成一个新数列，这 个数 列称为原数列{xn}的一个子数列 .子数列通常记为 {xnk }.
例如，x2 , x4 ,, x2k ,和x1, x3,x2k1,是数列 {xn}的两个子数列.
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二、 数列的极限 极限思想是为了寻求某些问题的精确解答而产生的。 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）就有利用圆内 接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术。它就是极 限思想在几何上的应用。 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄 子·天下篇》一书中有一段名言：“一尺之棰，日取其半， 万世不竭。”其中也包含了深刻的极限思想。
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lim 1 (1)n 不存在.
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n
2
例1 证 明lim 1 cos n 0.
n n
4
证 由于 1 cos n 0 1 | cos n | 1 ,
n4
n
4n
对 任 意
0, 要 使 |
1
n
cos
0 |
,只要1
,即n
1 .
n4
n
取N [ 1 ],则当n N时, 有 1 cos n 0 ,
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第二节 函数的极限
前面已经讨论了数列 xn =f(n)的极限，由于数列 xn=f(n)
也是一个函数，因此，数列的极限是函数极限中的特殊情 形．其特殊性是：自变量n只取正整数，且n趋向于正无穷 大，也就是说n是离散地变化着趋向于正无穷大的．在这一 节里，将讨论一般函数y=f(x)的极限问题．这里，自变量x 大致有两种变化形式：①x→∞, ②x→ x0 (有限数)，并且x 不是离散变化的，而是连续变化的．
lim 1 存在．
n ln(1 n)
证
因为
xn+1-xn=
1 ln(2 n)
-
1 ln(1 n)
<0，
故xn单调递减，且因xn>0，知xn有下界，由定理5知，
1
lim
n
ln(1 n)
存在．
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几个重要结论
1.若
lim
n
xn=a,
则对任何自然数k，有
lnimxn+k=a．
2.若
lim
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一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”
——刘徽
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正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正 6 2n1边形的面积 An
An
A （当n无限增大时）
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An
注:（1）在任何有限的过程中，即对任何确定 的n, An皆为A的近似值。
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一、 x→∞时, 函数的极限
1． 概念
设y f (x)在(-∞，-M)∪(M，+∞)内有定义，其中M＞0， 如果当自变量x的绝对值无限增大时，对应的函数值 f (x)
无限接近于一个确定的常数A，则称A为 f (x) 的当x 趋向于
无穷大时的极限，记作
lim f (x) A 或
x
限,记作 lim f(x)=A, 或 f (x)→A(x→ ). x
此时也称当x→ 时,f(x)的极限存在,否则称当x→ 时, f(x) 的极限不存在．
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2.几何意义
lim
x
f(x)=A的几何意义是：对任给的＞0,作直线y=A±
,存在X＞0,当 x X 时,y=f(x)的函数图形夹在两平行直
lim
n
xn
lim
n
yn．
特别地,若xn≥0
(或xn≤0),则
lim
n
xn
0
[或
lim
n
xn
0
].
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定理6(夹逼定理) 设数列{xn},{yn},{zn}满足xn≤yn≤zn(当n＞
N时)，且
lim
n
xn
lim
n
zn
a
,则
lim
n
yn
a
定理7(单调有界数列收敛准则) 单调递增且有上界的数列 必有极限；单调递减且有下界的数列必有极限．即单调有 界数列必有极限．
n 2
n
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四. 数列极限的四则运算
定理
设 lim n
xn
A, lim n
yn
B,则
(1)
lim
n
(
xn
yn )
lim
n
xn
lim
n
yn
(可以推广到有限个）
(2) lim n
xn yn
(lim n
xn
)
(lim n
yn )
(可以推广到有限个）
特别地，当xn k(常数）时，有
lim
n
k
n4
由极 限定 义可知 lim 1 cos n 0
n n
4
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我们不难得知
lim b b
n
lim(1)n 0
n 2
且lim ( 1 )n 0, (a 1). n a
当｜q｜＜1时，有
．
limq
n
0
n
sin n
lim n n
=0．
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三、 数列极限的性质及收敛准则 定理1 (唯一性) 若数列{xn}收敛,则其极限值必唯一． 定理2 (有界性) 若数列{xn}收敛，则{xn}必是有界数列．
yn
k
lim
n
yn
kB
(3) lim
xn
lim
n
xn
(B 0)
y n n
lim
n
yn
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例1
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim 1 (1 1)
n 2
n
1. 2
例2 教材p41 例5(略讲）. 作业P412,5.
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定义1 若xn=f(n)是一个以正整数集为定义域的函数， 则称它为数列.
将其函数值xn按自变量n的大小顺序排成一列
x1,x2,x3,…，xn,…
其中的每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做数列的一 般项或通项．数列也可表示为{xn}．
例如 数列{2n} 2,4,8,,2n ,;
{
1 2n
0(或xn
0)且lim n
xn
A,则有A
O(或A
0)
定理4 若数列{xn}收敛，且极限是A,则其任意子列 {xnk }也收敛，且极限也是A.
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定理5 (保序性) 设{xn},{yn}的极限存在,且
lim
n
xn
lim
n
yn
,
则存在正整数N,当n＞N时,有xn＞yn.
推论 设{xn},{yn}的极限存在,若xn≤yn(当n＞N时), 则
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注意: (1) 定义中的ε是预先给定的任意小的正数，因此，ε既具 有任意性，又具有确定性．
(2) 一般说来，定义中的N是随ε的变化而变化的，给定不 同的ε，所确定的N一般也不同．
(3) 定义中“当n＞N时，有∣xn-A∣＜ε”的意思是从第 N+1项开始，以后的各项都满足∣xn-A∣＜ε．至于第 N+1项前面的项(即第1项，第2项，…，第N项)是否满足 此式则不必考虑 ．
xn 1 会越来越接近于0．
于是，我们给出数列极 限的精确定义：
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定义5 设{xn}是一个数列,A是一个常数,若对任给的ε＞0, 存在正整数N,使得当n＞N时,总有∣xn-A∣＜ε,则称A是数 列{xn}的极限,或称{xn}收敛于A,记作
lim
n
xn
=A,或xn→A(n→∞)．
此时也称数列{xn}的极限存在.否则,称{xn}的极限不存在, 或称{xn}发散．
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二、 数列的极限
定义4 设{xn}为一数列，若当n取正整数且无限增大时,数 列中对应的项xn(即通项)无限接近于一个确定的常数A,则 称{xn}收敛于A，或称A为{xn}的极限,记作
lim
n
xn
=A,或xn→A(n→∞)，
此时也称{xn}的极限存在.否则称{xn}的极限不存在，或称
}
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{(1)n1 } 1,1,1,,(1)n1 ,;
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定义2 若数列{xn}满足
x1 x2 xn
则称{xn}是单调递增数列．如果
x1 x2 xn
则称{xn}是单调递减数列．单调递增和单调递减数列统称 为单调数列．
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n
xn=a,
则
lnim∣xn∣=∣a∣．反之不成立。
3.
lim
n
xn
=0的充要条件是
lnim∣xn∣=0．
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极限理论是整个微积分大厦的基石。极限理论集中了人类 的智慧，是人类思维的结晶，体现了“量的积累产生质的飞 跃”这一崇高的哲学精神。它实现了人类认识世界“从未知 到 已知，从有限到无限”的质的飞跃。微积分中涉及的几 乎所有重要概念都是借助于极限来描述的，无论是连续函数、 导数、偏导数、级数论，还是定积分、重积分、广义积分，极 限理 论始终贯穿其中，因此，把极限说成是微积分的灵魂一点 也不算言过其辞。
注意：有界性只是数列收敛的必要条件.
即无界数列必定发散.比如 {2n }发散，但
有界数列未必收敛.比如：数列1，-1,1，-1，…有界， 但发散.
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定理（3 保号性）若lim xn A,且A 0(或A 0),则必存在
n
正整数N,当n N时，恒有xn 0(或xn 0)
推论
若xn
第一节 数列的极限
一、 数列的概念 数列,直观地说就是将一些数按一定顺序排成一列,这
样的一列数就称为一个数列．
比如 1,2,3,, n ______就是一个数列. 有限数列:数列中的数为有限多个; 无限数列:数列中的数为无限多个. 我们这里只讨论无限数列. 下面用函数的观念给出数列的另一等价定义：
无论多么小的正数ε”
比如，给定 0.1，则当n 10时，总有xn 1 . 由如,给定 0.01，则当n 100时，总有xn 1 .
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再如,给定 0.001，则当n 1000时，总有xn 1 .
一般地，定义任意给定 的正数（无论多么小），
当n 1 时，总有
xn 1 .
由于ε是任意的,从而就说明了当n越来越大时,