概率与概率分布PPT课件
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概率论二维随机变量及其分布 ppt课件
二维随机变量的分布函数
F ( x , y ) P { X x , Y y } 就是随机点 (X,Y)落入区域
{t,s ( )|t x ,s y }
的概率(如图1).
由概率的加法法则，随机点(X,Y)落入矩形域
{ x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 }
的概率
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 )
F (x ,y)1 2 2arc 2 x t 2a anrc 3 y .ta
(2)由 (1)式得
P { 2 X , 0 Y 3 } F ( , 3 ) F ( , 0 ) F ( 2 , 3 ) F ( 2 , 0 ) 1/1.6
完 21
三、二维离散型随机变量及其概率分布
Pi1
i
Pi 2
Pij
i
27
联合概率分布表
对离散型随机变量而言，联合概率分布不仅比联合
分布函数更加直观，而且能够更加方便地确定(X,Y)
取值于任何区域 D上的概率. 设二维离散型随机变
量的概率分布为
P { X x i , Y y j } p i ( i j , j 1 , 2 , )
二维离散型随机变量及其概率分布
分布:
p i ( i 1 , 2 , )p , j( j 1 , 2 ).
p i P {X x i} p i,ji 1 ,2 , j
p j P { Y y j}p i,jj 1 ,2 ,25 i
二维离散型随机变量及其概率分布
分布: p i ( i 1 , 2 , )p , j( j 1 , 2 ).
F X ( x ) P { X x } P { X x , Y } F(x, )
生物统计学课件1、概率及概率分布
04
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件
0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
随机事件与概率随机变量与概率分布PPT教学课件
天气系统，如高压、冷锋等
⑵锋是影响天气的重要天气系统，
冷暖空气的交界面叫锋面。
向 东 南 移 动
大风 降温 降雨
向东北移动
升温 降雨
如何从锋的图例 上知道它是向哪 个方向移动呢?
三角形或半圆凸 所指的方向
过境前 过境时 过境后
冷锋
气温高,气压低
出现较大风 雨雪天气
气温下降,气压 上升,天气转好
问题的引伸
随机事件的数量化—随机变量 多个事件的概率描述—概率分布
随机变量及其概率分布
随机变量的分类
离散变量(疗效分级、受教育程度) 计数变量(如单位时间或空间内检出细菌的
数量、发生某事件的数量)
连续变量 如血压、血脂、血糖等
判断：白色的程度越浓，表明云层越厚， 这种云区下面下雨往往就越大。
问题：
古代劳动人民并没有现代科技手段， 他们是如何预知未来的天气形势呢？
燕子低飞要下雨
天气谚语
一场秋雨凉一阵 •东虹日头西虹雨1
暖锋 气温低气压高
多连续性降水
气温上升,气压 下降,天气转晴
常见天气系统
高压 低压 冷锋 暖锋 台风
探 1、请分析当天的天气形势，并说明理由。 究 2、预测北京、上海、广州未来24小时天气形势，并说明理由
活
动
1012.5
1017.5
1007.5
低
1017.5
高
1007.5 1002.5
低
* *
1017.5 1012.5
定小概率事件选择大概率事件
多个随机事件的关系
任一事件发生：和事件 几个事件同时发生：积事件 一事件发生则另一事件不发生：互斥 当只有两种事件时，互斥即对立
⑵锋是影响天气的重要天气系统，
冷暖空气的交界面叫锋面。
向 东 南 移 动
大风 降温 降雨
向东北移动
升温 降雨
如何从锋的图例 上知道它是向哪 个方向移动呢?
三角形或半圆凸 所指的方向
过境前 过境时 过境后
冷锋
气温高,气压低
出现较大风 雨雪天气
气温下降,气压 上升,天气转好
问题的引伸
随机事件的数量化—随机变量 多个事件的概率描述—概率分布
随机变量及其概率分布
随机变量的分类
离散变量(疗效分级、受教育程度) 计数变量(如单位时间或空间内检出细菌的
数量、发生某事件的数量)
连续变量 如血压、血脂、血糖等
判断：白色的程度越浓，表明云层越厚， 这种云区下面下雨往往就越大。
问题：
古代劳动人民并没有现代科技手段， 他们是如何预知未来的天气形势呢？
燕子低飞要下雨
天气谚语
一场秋雨凉一阵 •东虹日头西虹雨1
暖锋 气温低气压高
多连续性降水
气温上升,气压 下降,天气转晴
常见天气系统
高压 低压 冷锋 暖锋 台风
探 1、请分析当天的天气形势，并说明理由。 究 2、预测北京、上海、广州未来24小时天气形势，并说明理由
活
动
1012.5
1017.5
1007.5
低
1017.5
高
1007.5 1002.5
低
* *
1017.5 1012.5
定小概率事件选择大概率事件
多个随机事件的关系
任一事件发生：和事件 几个事件同时发生：积事件 一事件发生则另一事件不发生：互斥 当只有两种事件时，互斥即对立
概率与概率分布PPT课件
其概率分布见下表
0
1
P
0.05
0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布] 某人投篮的命中率为0.7，现投篮20次，则投篮命中
的次数 是随机变量，可能取值为0，1，2，…，20，
其概率分布为
P( k) C2k0 (0.7)k (0.3)20k (k 1,2,,20)
二项分布
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率
分布为
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 1,2,, n) 则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球] 练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件
从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品 的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可 以用0，1，2，3这4个数字来表示．
案例3 [抛硬币] 抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面” 两种情况，若用数0表示出现正面，数1表示出现反 面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这2个数 字来表示．
二、 概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 取0或1来表示，那么称 服从两点（或0-1）分布． 设 取0时的概率为p，则 的概率分布见下表
0
1
P
p
1 p
三、进一步练习
练习[产品抽样]
某厂生产的产品合格率为0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 服从两点分布．
一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出
0
1
P
0.05
0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布] 某人投篮的命中率为0.7，现投篮20次，则投篮命中
的次数 是随机变量，可能取值为0，1，2，…，20，
其概率分布为
P( k) C2k0 (0.7)k (0.3)20k (k 1,2,,20)
二项分布
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率
分布为
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 1,2,, n) 则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球] 练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件
从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品 的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可 以用0，1，2，3这4个数字来表示．
案例3 [抛硬币] 抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面” 两种情况，若用数0表示出现正面，数1表示出现反 面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这2个数 字来表示．
二、 概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 取0或1来表示，那么称 服从两点（或0-1）分布． 设 取0时的概率为p，则 的概率分布见下表
0
1
P
p
1 p
三、进一步练习
练习[产品抽样]
某厂生产的产品合格率为0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 服从两点分布．
一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出
概率分布-说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
(2) P() 1(必然事件）; P() 0 (不可能事件)
(3) o1,o2,,ok
P(o1) P(o2 ) P(ok ) 1 例如: 掷骰子
6
P(oi
i1
)
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1
(4) 对立事件 P( A) 1 P( A)
A={1, 2} P( A) 2 / 6 1/ 3 P( A) 1 P( A) 2 / 3
n=10 个球, x1=绿色: P(x2 | x1=绿色) = ? (1)放回抽样
红黄 蓝
绿
44
1
1
4/10 4/10 1/10 1/10
(2) 不放回抽样
红黄 蓝 绿
44
1
0
4/9 4/9 1/9
0
3.2 随机变量（Random Variable X ）
为了方便研究随机现象，能够把随机事件与一种 变量联系起来。用随机变量的不同取值来表达不 同的基本领件。
Distribution)
Antoine de Moivre (1733)
X 服从正态分布: X ~ N (, 2 )
• 密度函数
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2 2
F(x)
P( X
x)
x
f
( x)dx
E(X )
Var( X ) 2
正态分布的性质
(1) 有关 X= 对称，钟形曲线（见第
n=10, p = 1/5, k = 5,6,7,8,9,10
二项分布的数学盼望值与方差
问题：手上有一枚均匀硬币，持续抛掷100次， 有多少次正面朝上？
概率与概率分布
第二节 随机事件的概率
描述随机事件发生的可能性大小的数值 称为随机事件的概率，通常用符号P（A）， P（B），P（C）……显示。 一、概率的古典定义 古典型试验的特点： 1、试验观测的一切可能结果的个数是有限 的。 2、各个可能结果出现的可能性是均等互斥 的。
概率的古典定义： 如果在一次试验中，共有n个同等可能且 互斥的结果，其中属于事件A的有m个，则事 件A的概率定义为 m p( A) n m：属于事件A的结果数 n：一切可能结果数
x 2
2 2
则称随机变量x服从正态分布，记作 2 X∽ N（， ） μ 总体平均数 σ 总体标准差 e 自然对数的底数 e=2.71828
二、正态分布的性质 1、一个高峰， 一个对称轴，一条渐近线。 2、曲线与横轴所围的面积为1 ，包含的概率 为100%。 3、正态曲线下的面积有一定的分布规律。 包含的概率为68.26% 1 2 包含的概率为95.45% 3 包含的概率为99.73%（99.74%) 1.96 包含的概率为95% 2.58 包含的概率为99%
第四章 概率与概率分布
第一节 随机现象与随机事件
一、 确定性现象与随机现象 （一）确定性现象 定义：在一定条件下必然会发生某一种结果 的现象称为确定性现象。 特点：在一定试验条件下，发生的结果有着 必然或肯定性的规律，而且可根据已知的事 实推算或预言它的结果。
（二）随机现象 定义：在一定条件下，对同一研究对象进 行试验观测，其试验观测的结果是不确定 的，这种现象叫随机现象。 特点：在一定条件下具备多种可能结果，但 究竟发生哪一种结果事先不能确切地知道。 二、事件与随机事件 在一定条件下，对某事物或现象所进行的 观察或实验叫试验，观察或实验的结果叫作 事件。
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积事件（Product event）：事件A和事件B同时发生而构成的新事件
为事件A和事件B的积事件，以A*B或
表示。
例如，在调查棉田病虫害发生情况时，以棉铃虫的发生为事件A，以黄 萎病的发生为事件B，则棉铃虫和黄萎病同时发生这一新事件为A和B的积事件。
互斥事件（mutually exclusive event）：事件A和事件B不能同时发 生，即A*B＝V，那么事件A和事件B互斥。
有的特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计 规律性。
随机试验（random trial）：一个试验如果满足下述三个特 性， 则称其为一个随机试验
试验可以在相同条件下多次重复进行； 每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有哪些可能的结果； 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前
概率的性质
1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、必然事件的概率为1，即P（U）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（V）=0。
二、概率的计算
事件的相互关系：
和事件 （Sum event）事件A和B至少有一件发生而构成的新事件称为
事件A和B的和事件，以A+B 或
表示。
例如，在检验小麦面粉品质时，随机抽取一个样品的出粉率为81％以下 称事件A，随机抽取另一样品的出粉率为81～85％称为事件B，现抽取一新样 品的出粉率为85％以下，则这一事件为A和B的和事件。
独立事件 （independent event）：事件A的发生与事件B 的发生毫无关系，反之，事件B的发生也与事件A的发生毫 无关系，则称A和B为独立事件。 例如，播种两粒玉米，第一粒发芽为事件A，第二粒 发芽为事件B，则他们发芽互不影响。
和事件
互斥事件
非互斥事件
积事件
对立事件
小概率事件实际不可能性原理
第3章 概率及概率分布
项兴佳 安徽大学资源与环境工程学院
一、事件与概率
现象大体上分为两大类：
必然现象(inevitable phenomena)或确定性现象 （definite phenomena）：可预言其结果的，即在保 持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果总是确定 的，必然发生（或必然不发生）的现象。
大数定律
大数定律（law of large numbers)是概率论 中用来阐述大量随机现象平均结果稳定性的一 系列定律的总称，最常用的是贝努里大数定律 （Bernoulli theorem），可描述为：设m是n次 独立试验中事件A出现的次数，而P是事件A在每 次试验中出现的概率，则对于任意小的正数ε， 有如下关系：
随机现象（random phenomena）或 不确定性现象 （indefinite phenomena）：事前不可预言其结果的， 即在保持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果未 必相同。这种在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定 性现象，称为随机现象。
随机现象或不确定性现象，有如下特点：
结果呈现偶然性、不确定性； 但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固
P＝1 为必然事件
贝努里大数定律说明，当试验在不变的条件下，重复次 数n接近无限大时，频率 m/n与理论概率P的差值，必定要 小于一个任意小的正数ε，即这两者可以基本相等，这几 乎是一个必然要发生的事件，即P=1。 同时我们还可以理解为，样本容量越大，样本统计数与 总体参数值差越小。
例如，为了确定1粒小麦种子发芽这个事件的概 率，在下表中列出了小麦种子发芽试验记录。
试验种子 粒数n
发芽种子 粒数m
频率 m/n
100 65 0.650
200 300 400 500 600 700 155 204 274 349 419 489 0.675 0.680 0.685 0.698 0.6983 0.6986
例如，豌豆的花色为红色和白色，开红花为事件A，开白花为事件B，现 一株F1代豌豆，不可能既开红花又开白花。
对立事件（contrary event）：事件A和事件B必有一个事 件发生，但二者不能同时发生，即A+B＝U，A*B＝V，则称 事件B为事件A的对立事件，可表示为 。 例如，新生婴儿是女孩为事件A，男孩为事件 B，现有刚出生婴儿，要么是男孩，要么是女孩，即A+B＝ U，是必然事件，但不能同时是男孩又是女孩，即A*B＝V。
却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
随机试验的每一种可能结果，称为随机事件 （random event)，简称事件(event) 。
不能再分的事件称为基本事件。 由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。
在一定条件下必然会出现的现象叫必然事件。 在一定条件下必然不出现的事件，叫不可能事件。
随着实验次数的增多， 1粒小麦种子发芽这个事 件的概率越来越稳定地接近0.7，我们就把0.7作
为这个事件的概率。
在现实中，实验无法做到无数次，事件的概率只能 通过有限的大样本来估计理论概率，称实验概率 (empirical probability)。
m P(A)=P= lim
x n
频率与概率之间的关系，实际上是统计数 与参数现的次数m叫做Ａ 在这n次试验中的频数，而Ａ的频数与试验次数 的比叫事件Ａ在n次试验中出现的频率．记为 P(A)=m/n.
概率：就是用来度量每一事件出现的可能性大小
的数字特征。当试验重复数n逐渐增大时，随机 事件A的频率越来越稳定地接近某一数值P，那么 就把 P称为随机事件A的概率。
随机事件的概率表示了随机事件在一次试验 中出现的可能性大小。若随机事件的概率很 小，例如小于0.05，称之为小概率事件。
小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次 试验中出现的可能性很小，不出现的可能性 很大，以至于实际上可以看成是不可能发生 的。在统计学上，把小概率事件在一次试验 中看成是实际不可能发生的事件，称为小概 率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原 理。小概率事件实际不可能性原理是统计学 上进行假设检验（显著性检验）的基本依据。