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P＝1 为必然事件
贝努里大数定律说明，当试验在不变的条件下，重复次 数n接近无限大时，频率 m/n与理论概率P的差值，必定要 小于一个任意小的正数ε，即这两者可以基本相等，这几 乎是一个必然要发生的事件，即P=1。 同时我们还可以理解为，样本容量越大，样本统计数与 总体参数值差越小。
随着实验次数的增多， 1粒小麦种子发芽这个事 件的概率越来越稳定地接近0.7，我们就把0.7作
为这个事件的概率。
在现实中，实验无法做到无数次，事件的概率只能 通过有限的大样本来估计理论概率，称实验概率 (empirical probability)。
m P(A)=P= lim
x n
频率与概率之间的关系，实际上是统计数 与参数的关系。
有的特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计 规律性。
随机试验（random trial）：一个试验如果满足下述三个特 性， 则称其为一个随机试验
试验可以在相同条件下多次重复进行； 每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有哪些可能的结果； 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前
随机事件的概率表示了随机事件在一次试验 中出现的可能性大小。若随机事件的概率很 小，例如小于0.05，称之为小概率事件。
小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次 试验中出现的可能性很小，不出现的可能性 很大，以至于实际上可以看成是不可能发生 的。在统计学上，把小概率事件在一次试验 中看成是实际不可能发生的事件，称为小概 率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原 理。小概率事件实际不可能性原理是统计学 上进行假设检验（显著性检验）的基本依据。
大数定律
大数定律（law of large numbers)是概率论 中用来阐述大量随机现象平均结果稳定性的一 系列定律的总称，最常用的是贝努里大数定律 （Bernoulli theorem），可描述为：设m是n次 独立试验中事件A出现的次数，而P是事件A在每 次试验中出现的概率，则对于任意小的正数ε， 有如下关系：
频率：在n次试验中，事件Ａ出现的次数m叫做Ａ 在这n次试验中的频数，而Ａ的频数与试验次数 的比叫事件Ａ在n次试验中出现的频率．记为 P(A)=m/n.
概率：就是用来度量每一事件出现的可能性大小
的数字特征。当试验重复数n逐渐增大时，随机 事件A的频率越来越稳定地接近某一数值P，那么 就把 P称为随机事件A的概率。
积事件（Product event）：事件A和事件B同时发生而构成的新事件
为事件A和事件B的积事件，以A*B或
表示。
例如，在调查棉田病虫害发生情况时，以棉铃虫的发生为事件A，以黄 萎病的发生为事件B，则棉铃虫和黄萎病同时发生这一新事件为A和B的积事件。
互斥事件（mutually exclusive event）：事件A和事件B不能同时发 生，即A*B＝V，那么事件A和事件B互斥。
随机现象（random phenomena）或 不确定性现象 （indefinite phenomena）：事前不可预言其结果的， 即在保持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果未 必相同。这种在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定 性现象，称为随机现象。
随机现象或不确定性现象，有如下特点：
结果呈现偶然性、不确定性； 但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固
独立事件 （independent event）：事件A的发生与事件B 的发生毫无关系，反之，事件B的发生也与事件A的发生毫 无关系，则称A和B为独立事件。 例如，播种两粒玉米，第一粒发芽为事件A，第二粒 发芽为事件B，则他们发芽互不影响。
和事件
互斥事件
非互斥事件
积事件
对立事件
小概率事件实际不可能性原理
例如，为了确定1粒小麦种子发芽这个事件的概 率，在下表中列出了小麦种子发芽试验记录。
试验种子 粒数n
发芽种子 粒数m
频率 m/n
100 65 0.650
200 300 400 500 600 700 155 204 274 349 419 489 0.675 0.680 0.685 0.698 0.6983 0.6986
概率的性质
1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、必然事件的概率为1，即P（U）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（V）=0。
二、概率的计算
事件的相互关系：
和事件 （Sum event）事件A和B至少有一件发生而构成的新事件称为
事件A和B的和事件，以A+B 或
表示。
例如，在检验小麦面粉品质时，随机抽取一个样品的出粉率为81％以下 称事件A，随机抽取另一样品的出粉率为81～85％称为事件B，现抽取一新样 品的出粉率为85％以下，则这一事件为A和B的和事件。
却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
wk.baidu.com
随机试验的每一种可能结果，称为随机事件 （random event)，简称事件(event) 。
不能再分的事件称为基本事件。 由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。
在一定条件下必然会出现的现象叫必然事件。 在一定条件下必然不出现的事件，叫不可能事件。
例如，豌豆的花色为红色和白色，开红花为事件A，开白花为事件B，现 一株F1代豌豆，不可能既开红花又开白花。
对立事件（contrary event）：事件A和事件B必有一个事 件发生，但二者不能同时发生，即A+B＝U，A*B＝V，则称 事件B为事件A的对立事件，可表示为 。 例如，新生婴儿是女孩为事件A，男孩为事件 B，现有刚出生婴儿，要么是男孩，要么是女孩，即A+B＝ U，是必然事件，但不能同时是男孩又是女孩，即A*B＝V。
第3章 概率及概率分布
项兴佳 安徽大学资源与环境工程学院
一、事件与概率
现象大体上分为两大类：
必然现象(inevitable phenomena)或确定性现象 （definite phenomena）：可预言其结果的，即在保 持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果总是确定 的，必然发生（或必然不发生）的现象。
贝努里大数定律说明，当试验在不变的条件下，重复次 数n接近无限大时，频率 m/n与理论概率P的差值，必定要 小于一个任意小的正数ε，即这两者可以基本相等，这几 乎是一个必然要发生的事件，即P=1。 同时我们还可以理解为，样本容量越大，样本统计数与 总体参数值差越小。
随着实验次数的增多， 1粒小麦种子发芽这个事 件的概率越来越稳定地接近0.7，我们就把0.7作
为这个事件的概率。
在现实中，实验无法做到无数次，事件的概率只能 通过有限的大样本来估计理论概率，称实验概率 (empirical probability)。
m P(A)=P= lim
x n
频率与概率之间的关系，实际上是统计数 与参数的关系。
有的特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计 规律性。
随机试验（random trial）：一个试验如果满足下述三个特 性， 则称其为一个随机试验
试验可以在相同条件下多次重复进行； 每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有哪些可能的结果； 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前
随机事件的概率表示了随机事件在一次试验 中出现的可能性大小。若随机事件的概率很 小，例如小于0.05，称之为小概率事件。
小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次 试验中出现的可能性很小，不出现的可能性 很大，以至于实际上可以看成是不可能发生 的。在统计学上，把小概率事件在一次试验 中看成是实际不可能发生的事件，称为小概 率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原 理。小概率事件实际不可能性原理是统计学 上进行假设检验（显著性检验）的基本依据。
大数定律
大数定律（law of large numbers)是概率论 中用来阐述大量随机现象平均结果稳定性的一 系列定律的总称，最常用的是贝努里大数定律 （Bernoulli theorem），可描述为：设m是n次 独立试验中事件A出现的次数，而P是事件A在每 次试验中出现的概率，则对于任意小的正数ε， 有如下关系：
频率：在n次试验中，事件Ａ出现的次数m叫做Ａ 在这n次试验中的频数，而Ａ的频数与试验次数 的比叫事件Ａ在n次试验中出现的频率．记为 P(A)=m/n.
概率：就是用来度量每一事件出现的可能性大小
的数字特征。当试验重复数n逐渐增大时，随机 事件A的频率越来越稳定地接近某一数值P，那么 就把 P称为随机事件A的概率。
积事件（Product event）：事件A和事件B同时发生而构成的新事件
为事件A和事件B的积事件，以A*B或
表示。
例如，在调查棉田病虫害发生情况时，以棉铃虫的发生为事件A，以黄 萎病的发生为事件B，则棉铃虫和黄萎病同时发生这一新事件为A和B的积事件。
互斥事件（mutually exclusive event）：事件A和事件B不能同时发 生，即A*B＝V，那么事件A和事件B互斥。
随机现象（random phenomena）或 不确定性现象 （indefinite phenomena）：事前不可预言其结果的， 即在保持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果未 必相同。这种在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定 性现象，称为随机现象。
随机现象或不确定性现象，有如下特点：
结果呈现偶然性、不确定性； 但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固
独立事件 （independent event）：事件A的发生与事件B 的发生毫无关系，反之，事件B的发生也与事件A的发生毫 无关系，则称A和B为独立事件。 例如，播种两粒玉米，第一粒发芽为事件A，第二粒 发芽为事件B，则他们发芽互不影响。
和事件
互斥事件
非互斥事件
积事件
对立事件
小概率事件实际不可能性原理
例如，为了确定1粒小麦种子发芽这个事件的概 率，在下表中列出了小麦种子发芽试验记录。
试验种子 粒数n
发芽种子 粒数m
频率 m/n
100 65 0.650
200 300 400 500 600 700 155 204 274 349 419 489 0.675 0.680 0.685 0.698 0.6983 0.6986
概率的性质
1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、必然事件的概率为1，即P（U）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（V）=0。
二、概率的计算
事件的相互关系：
和事件 （Sum event）事件A和B至少有一件发生而构成的新事件称为
事件A和B的和事件，以A+B 或
表示。
例如，在检验小麦面粉品质时，随机抽取一个样品的出粉率为81％以下 称事件A，随机抽取另一样品的出粉率为81～85％称为事件B，现抽取一新样 品的出粉率为85％以下，则这一事件为A和B的和事件。
却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
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随机试验的每一种可能结果，称为随机事件 （random event)，简称事件(event) 。
不能再分的事件称为基本事件。 由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。
在一定条件下必然会出现的现象叫必然事件。 在一定条件下必然不出现的事件，叫不可能事件。
例如，豌豆的花色为红色和白色，开红花为事件A，开白花为事件B，现 一株F1代豌豆，不可能既开红花又开白花。
对立事件（contrary event）：事件A和事件B必有一个事 件发生，但二者不能同时发生，即A+B＝U，A*B＝V，则称 事件B为事件A的对立事件，可表示为 。 例如，新生婴儿是女孩为事件A，男孩为事件 B，现有刚出生婴儿，要么是男孩，要么是女孩，即A+B＝ U，是必然事件，但不能同时是男孩又是女孩，即A*B＝V。
第3章 概率及概率分布
项兴佳 安徽大学资源与环境工程学院
一、事件与概率
现象大体上分为两大类：
必然现象(inevitable phenomena)或确定性现象 （definite phenomena）：可预言其结果的，即在保 持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果总是确定 的，必然发生（或必然不发生）的现象。