高中数学 2.3.1 变量间的相互关系课件
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表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.
n
记 Q (yi bxi a)2 (∑为连加符号) i1
上式展开后,是一个关于a,b的二次多 项式,应用配方法,可求使Q取得最小值 时a、b的值.
这样,回归直线就是所有直线中Q取最 小值的那一条。由于平方又叫做二乘方, 所以这种使“离差平方和为最小”的方法, 叫做“最小二乘法”。
50
方程。
8
60
9
70
10
90
11
120
∑
510
Y
x2
xy
6
25
30
10
100
100
10
225
150
13
400
260
16
900
480
17
1600 680
19
2500 950
23
2600 1380
25
4900 1750
29
8100 2610
46 14400 5520
214 36780 13910
计算a^, b^的值. 由上表分别计算x,y的平均数得 x510,y214
设某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统 计资料如下表: (单位:万元)
年收入 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
饮食支出 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
由表中数据可以看出,y有随x增加而增加的趋势 当年收入的值由小变大时,年饮食支出的值也在由 小变大。这种相关称作正相关;反之如果一个变量 的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种 相关称作负相关。
用最小二乘法求回归直线方程中a,b
有下面的公式:
n
n
(xi x)(yi y)
xi yi nx y
bˆ i1
n
(xi x)2
i1 n
,
xi2 nx2
i1
i1
aˆ y bx.
其中 x
1 n
n i1
xi,
y
1 n
n i1
yi
同样a,b的上方加“^”,表示是由观察 值按最小二乘法求得的估计值。
上式叫做Y对于x的回归直线方程,
b叫做回归系数。
回归直线的方程 的求法:
设x,Y的一组观察值为 (xi,yi) (i=1,2
…,n) 且回归直线的方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为 yˆ bxa
当变量x取xi (i=1,2,…,n)时,可以 得到: yˆi bxi a (i=1,2,…,n),
它与实际收集到的yi之间的偏差是:
11 11
1391101510214
bˆ
11 110.30430.304
3675101(51)02
11
a ˆ214 0.30 453105.346
11
11
写出回归方程为^y=0.304x+5.346.
(3)根据求得的回归方程,当腐蚀时间为100s时,
^y=0.304×100+5.346=38.86(μm) 即腐蚀深度约为38.86μm.
Y/μm 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46
(1)画出表中数据的散点图;
(2)求Y对x的回归直线方程;
(3)试预测腐蚀时间为100时腐蚀深度是 多少?
解:(1)散点图如下
序号
x
(2)根 1
5
据公式求 2
10
腐蚀深度 3
15
Y对腐蚀
4 5
20 30
时间x的
6
40
回归直线 7
例2. 5个学生的数学和物理成绩如下表:
学生 学科
A
B
C
D
E
数学 物理
80 75 70 65 60 70 66 68 64 62
画出散点图,并判断它们是否有相关 关系.
物理
数学
具有相关关系.
例3. 下表给出了某校12名高一学生的身高 (单位:cm)和体重(单位:kg):
身 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 高1 2 3 4 6 7 8 0 0 2 3 4
由于 y bxa,故巧合的是:(xi,yi) (i=1,
2,…,n)的中心点
在( x回, y 归) 直线上,x
处的估计值为
yˆ . bxa
例2. 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验, 得到腐蚀深度Y与腐蚀时间x之间相应的一 组观察值如下表:
x/s 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120
2.3.1 变量间的相互关系
一、变量之间的相关关系
变量与变量之间的关系常见的有两类:一类是确定 性的函数关系,像正方形的边长a和面积S的关系,另 一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所 要求的确定性,它们的关系是带有随机性的。
一般地:自变量取值一定时,因变量的取 值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫 相关关系。
yiyˆi yibxa (i=1,2,…,n),
可见,偏差的符号有正有负,若将它们 相加会造成相互抵消,所以它们的和不能 代表n个点与相应直线在整体上的接近程 度。故采用n个偏差的平方和
Q ( y 1 b x 1 a ) 2 ( y 2 b x 2 a ) 2 ( y n b x n a ) 2
为了更清楚地看出x与y是否有相关关系,我们以 年收入x的取值为横坐标,把年饮食支出y的相应取值 作为纵坐标,在直角坐标系中描点。这样的图形叫做 散点图。
y
x
从散点图上可以看出,如果变量之间存在着 某种关系,这些点会有一个集中的大致趋势, 这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似描 述,这种近似的过程称为曲线拟合。在两个变 量x和y的散点图中,所有点看上去都在一条直 线附近波动,则称变量间是线性相关的。此时, 我们可以用一条直线来拟合(如图),这条直 线叫回归直线。
体 40 41 41 41 42 42 43 44 45 45 46 45
重
.5
.5
.5
画出散点图,并观察它们是否有相关 关系.
体重
身高
具有相关关系.
例4:下表是某小卖部6天卖出热茶的杯 数与当天气温的对比表:
气温/℃ 26 18 13 10 4 -1 杯数 20 24 34 38 50 64
(1)将上表中的数据制成散点图. (2)你能从散点图中发现温度与饮料杯 数近似成什么关系吗? (3)如果近似成线性关系的话,请画出 一条直线方程来近似地表示这种线性关系.
(1)画出散点图:
杯 数
温度
(2)温度与杯数成负相关. 温度与杯数成线性相关关系。
连接最左侧和最右侧的点
杯 数
温度 画出的直线上方的点和下方的点的数目相同
杯 数
温度
我们要找出一条直线,使这条直线“最贴近”
已知的数据点。记此直线方程是yˆ bxa
这里在y的上方加记号“^”,是为了区 分Y的实际值y. 表示当x取xi (i=1,2,…, 6)时,Y相应的观察值为yi,而直线上对应 于xi的纵坐标是^yi=bxi+a.
n
记 Q (yi bxi a)2 (∑为连加符号) i1
上式展开后,是一个关于a,b的二次多 项式,应用配方法,可求使Q取得最小值 时a、b的值.
这样,回归直线就是所有直线中Q取最 小值的那一条。由于平方又叫做二乘方, 所以这种使“离差平方和为最小”的方法, 叫做“最小二乘法”。
50
方程。
8
60
9
70
10
90
11
120
∑
510
Y
x2
xy
6
25
30
10
100
100
10
225
150
13
400
260
16
900
480
17
1600 680
19
2500 950
23
2600 1380
25
4900 1750
29
8100 2610
46 14400 5520
214 36780 13910
计算a^, b^的值. 由上表分别计算x,y的平均数得 x510,y214
设某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统 计资料如下表: (单位:万元)
年收入 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
饮食支出 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
由表中数据可以看出,y有随x增加而增加的趋势 当年收入的值由小变大时,年饮食支出的值也在由 小变大。这种相关称作正相关;反之如果一个变量 的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种 相关称作负相关。
用最小二乘法求回归直线方程中a,b
有下面的公式:
n
n
(xi x)(yi y)
xi yi nx y
bˆ i1
n
(xi x)2
i1 n
,
xi2 nx2
i1
i1
aˆ y bx.
其中 x
1 n
n i1
xi,
y
1 n
n i1
yi
同样a,b的上方加“^”,表示是由观察 值按最小二乘法求得的估计值。
上式叫做Y对于x的回归直线方程,
b叫做回归系数。
回归直线的方程 的求法:
设x,Y的一组观察值为 (xi,yi) (i=1,2
…,n) 且回归直线的方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为 yˆ bxa
当变量x取xi (i=1,2,…,n)时,可以 得到: yˆi bxi a (i=1,2,…,n),
它与实际收集到的yi之间的偏差是:
11 11
1391101510214
bˆ
11 110.30430.304
3675101(51)02
11
a ˆ214 0.30 453105.346
11
11
写出回归方程为^y=0.304x+5.346.
(3)根据求得的回归方程,当腐蚀时间为100s时,
^y=0.304×100+5.346=38.86(μm) 即腐蚀深度约为38.86μm.
Y/μm 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46
(1)画出表中数据的散点图;
(2)求Y对x的回归直线方程;
(3)试预测腐蚀时间为100时腐蚀深度是 多少?
解:(1)散点图如下
序号
x
(2)根 1
5
据公式求 2
10
腐蚀深度 3
15
Y对腐蚀
4 5
20 30
时间x的
6
40
回归直线 7
例2. 5个学生的数学和物理成绩如下表:
学生 学科
A
B
C
D
E
数学 物理
80 75 70 65 60 70 66 68 64 62
画出散点图,并判断它们是否有相关 关系.
物理
数学
具有相关关系.
例3. 下表给出了某校12名高一学生的身高 (单位:cm)和体重(单位:kg):
身 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 高1 2 3 4 6 7 8 0 0 2 3 4
由于 y bxa,故巧合的是:(xi,yi) (i=1,
2,…,n)的中心点
在( x回, y 归) 直线上,x
处的估计值为
yˆ . bxa
例2. 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验, 得到腐蚀深度Y与腐蚀时间x之间相应的一 组观察值如下表:
x/s 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120
2.3.1 变量间的相互关系
一、变量之间的相关关系
变量与变量之间的关系常见的有两类:一类是确定 性的函数关系,像正方形的边长a和面积S的关系,另 一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所 要求的确定性,它们的关系是带有随机性的。
一般地:自变量取值一定时,因变量的取 值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫 相关关系。
yiyˆi yibxa (i=1,2,…,n),
可见,偏差的符号有正有负,若将它们 相加会造成相互抵消,所以它们的和不能 代表n个点与相应直线在整体上的接近程 度。故采用n个偏差的平方和
Q ( y 1 b x 1 a ) 2 ( y 2 b x 2 a ) 2 ( y n b x n a ) 2
为了更清楚地看出x与y是否有相关关系,我们以 年收入x的取值为横坐标,把年饮食支出y的相应取值 作为纵坐标,在直角坐标系中描点。这样的图形叫做 散点图。
y
x
从散点图上可以看出,如果变量之间存在着 某种关系,这些点会有一个集中的大致趋势, 这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似描 述,这种近似的过程称为曲线拟合。在两个变 量x和y的散点图中,所有点看上去都在一条直 线附近波动,则称变量间是线性相关的。此时, 我们可以用一条直线来拟合(如图),这条直 线叫回归直线。
体 40 41 41 41 42 42 43 44 45 45 46 45
重
.5
.5
.5
画出散点图,并观察它们是否有相关 关系.
体重
身高
具有相关关系.
例4:下表是某小卖部6天卖出热茶的杯 数与当天气温的对比表:
气温/℃ 26 18 13 10 4 -1 杯数 20 24 34 38 50 64
(1)将上表中的数据制成散点图. (2)你能从散点图中发现温度与饮料杯 数近似成什么关系吗? (3)如果近似成线性关系的话,请画出 一条直线方程来近似地表示这种线性关系.
(1)画出散点图:
杯 数
温度
(2)温度与杯数成负相关. 温度与杯数成线性相关关系。
连接最左侧和最右侧的点
杯 数
温度 画出的直线上方的点和下方的点的数目相同
杯 数
温度
我们要找出一条直线,使这条直线“最贴近”
已知的数据点。记此直线方程是yˆ bxa
这里在y的上方加记号“^”,是为了区 分Y的实际值y. 表示当x取xi (i=1,2,…, 6)时,Y相应的观察值为yi,而直线上对应 于xi的纵坐标是^yi=bxi+a.