第九章 相关分析与回归分析

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用相关系数表示的相关程度的等级有如下几 种情形： r＝0：不相关； ︱r︱＜0.3：极低度相关； 0.3 ≤︱r︱≤0.5：低度相关； 0.5 ≤︱r︱≤0.8：中度相关； ︱r︱≥0.8：高度相关； ︱r︱＝1：完全相关。
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需注意：变量之间的非线性相关程度较大可能 导致r＝0，当r＝0或r很小时，不能得出变量无关的结 论。 完全负相关 无线性相关



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r＝
L xy L xx L yy
从公式中可以看出： r取正值或负值决定于分子
L xy 0 r 0 正相关 L xy 0 r 0 负相关
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r值的意义是： ︱r︱愈接近0，x与y之间的直线相关程度愈
小，反之，︱r︱的值愈接近1，x与y之间的相关
程度愈高。 但需要注意的是r只表示x与y的直线相关密 切程度。当︱r︱值很小甚至等于0时，并不一定 表示x与y之间就不存在其他类型的关系。
0.9202
即产量与生产费用之间的相关系数r＝+0．9202，说
明二者之间存在高度正线性相关关系。
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2.相关系数的意义 相关系数的取值范围是：-1≤r≤1（︱r︱≤1）
︱r︱越接近1，表示相关程度越高；
︱r︱越接近0，表示相关程度越低； ︱r︱＝0表示两个变量之间不存在直线相关； r＝1表示存在着完全正相关； r＝-1表示存在着完全负相关。
y



x
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相关关系的特点：
相关关系表现为数量相互依存关系；
相关关系在数量上表现为非确定性的相互
依存关系。
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相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系
商品的消费量(y)与物价(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、 温度(x3)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
变化。
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回归分析的特点： 1．回归分析的两个变量是非对等关系； 2．回归分析中，因变量是随机变量，自变量
是可控制变量。
回归分析的内容： 1.确定现象之间相关关系的数学模型； 2.测定数学模型的拟合精度。
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（二）相关分析和回归分析的区别与联系 1.联系
二者具有共同的研究对象，而且在具体应用
时，常常必须互相补充。相关分析需要依靠回归
第九章
相关分析与回归分析
1
学习目标：
1.掌握相关分析的概念、分类及与函数关系的区 别； 2.能够利用相关系数对相关关系进行测定，并且 掌握相关函数的性质； 3.明确相关分析与回归分析各自特点以及它们的 区别与联系； 4.掌握回归分析基本理论和方法。
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第一节
相关分析的一般问题
一、变量之间的关系 (一)函数关系（确定性关系） 函数关系指现象间在数量上存在着确定的、 严格对应的依存关系。 特点：对于某一变量的每一个数值，都有另 一个变量的确定的值与之相对应，并且这种关系 可以用精确的数学函数式表示出来，因此称为函 数关系。
分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分
析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相 关程度。只有当变量之间存在着高度相关时，进
行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。
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2. 区别 （1）相关分析研究变量之间相关的方向和
程度，但不能指出变量间相互关系的具体形式，也
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(二)相关关系(非确定型关系） 指事物之间的关系数值存在着一定的依存关 系，但它们不是确定的和严格依存的，某一现象 在其发展变化中，当数量上为一确定值时，与之 有联系的其他现象可以有若干个数值与之对应， 在这些数值之间表现出一定的波动性，但这些值 按某种规律在一定范围内变化。
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（1）变量间关系不能用函 数关系精确表达； （2）一个变量的取值不能 由另一个变量唯一确定； （3）当变量 x 取某个值时， 变量 y 的取值可能有几 个； （4）各观测点分布在直线 周围。
直线正相关
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y
· · ·· ·· ·· ·· · · · · · · · · · ·· · · · · x
曲线相关
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y
·
·· ··
·
x 完全直线相关
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y · ··· ··· · · ·· · ··· · · · x 不相关
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y · ·· · ·
· · · ·
x
完全曲线相关
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y
·· · · · ··
用相关指数来衡量其相关程度的。
Baidu Nhomakorabea
r x
2 xy y
25
公式中：
2 ——协方差 xy x y
——变量x的标准差 ——变量y的标准差
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2 ＝ xy

x x y y
2
n
x＝
x x n y y n
y＝

2
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完成量（小时）
40 40 40 40 50 50 50 50 50 50 80 80 80 80 80 单位成本（元/小时） 15 15 15 16 14 14 15 15 15 16 14 14 14 14 15 23
相关图
又称散点图。将x置于横轴上，y置于纵轴上， 将（x,y）绘于坐标图上。用来反映两变量之间 相关关系的图形。
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相关关系的两种情形： 1.现象之间的关系多体现为因果关系，
即某个现象的变化是由另一个或几个现象变化
引起的。 在数量表现上，把起主动作用的因素称 为自变量，一般用x表示；而把因主动因素的 变化而引起变化的因素称为因变量，用y表示。
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2.两个变量之间有时只存在相互联系而并 不存在因果关系。难以指出哪一个是原因，哪 一个是结果。在这种情况下，需要根据不同的 问题和研究目的来确定哪一个为因变量，哪一 个为自变量。
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相关关系与函数关系既有区别，也有一定的联系。
有些函数关系由于在实际观察时出现误差，常
常表现为相关关系。 而在研究相关关系时，为了寻求相关关系及数 量关系的一般表现形式，又往往运用函数关系的形 式加以描述。
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二、相关关系的种类
线性相关
(一)按相关形式不同 非线性相关
正相关 (二)根据相关反向划分（在直线相关中） 负相关
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完全相关 （三）按相关的程度
不完全相关 不相关（零相关） 单相关 （四）根据相关关系涉及变量的多少 复相关 偏相关 真实相关 （五）按相关的程度 虚假相关
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y ·· · · · · · · ·· · ·· ·· · · · · x
直线负相关
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y · ·· · ··· · ·· · ·· · x
L yy＝
y2 y2
n
19212 310505
12
2984.9167
10251921 x y 170094 6008.5833 L xy＝ xy n 12
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r＝
L xy L xx L yy

6008 5833 . 142829867 2984 9167 . .
33 12 33 12 40 13 56 14 58 14 65 20 72 22 80 26 80 26 90 30
30 广告费（万元） 年销售收入（百万元） 12
销售收入 （百万元）
40 30 20 10 0 0 20 40 60 80 100
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广告费（万元）
二、相关系数 1.简单线性相关系数的计算 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简 单相关系数，用r表示。而对于曲线相关来说，是
x
2
y
2
xy
5 200 6 300 7 750 7 700 9 750 12 012 13 860 17 000 19 372 22 500 22 750 25 900 170 094
1 600 1 764 2 500 3 025 4 225 6 084 7 056 10 000 13 456 15 625 16 900 19 600 101 835
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函数关系的例子
某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关 系可表示为 y = p x (p 为单价)； 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = r2 ；
企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产 量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可 表示为y = x1 x2 x3 。
例：为了研究分析某种劳务产品完成量与其单位产品成本之间的 关系，调查30个同类服务公司得到的原始数据如表。
完成量（小时）
20 30 20 20 40 30 40 80 80 50 40 30 20 80 50 单位成本（元/小时） 18 16 16 15 16 15 15 14 14 15 15 16 18 14 14
16 900 22 500 24 025 19 600 22 500 23 716 27 225 28 900 27 889 32 400 30 625 34 225 310 505
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根据表中资料：
L yy x
2
x
n
2
1025 101835
12
2
142829167 .
r＝ x

2 xy y
x x y y
xx yy
2
2
＝
L xy L xx L yy
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可化简为：
L xx x x
2
x
2
x 2
n
L yy＝ y y


2
y2
y 2
n
x y L xy ＝ x x y y ＝ xy n
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（1）是一一对应的确定关系； （2）设有两个变量 x 和 y ， 变量 y 随变量 x 一起变化， y 并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确 定的关系取相应的值，则 称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变 量，y 称为因变量； x （3）各观测点落在一条线上。
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（三）相关系数有正负号，表示正相关或负相关 （四）相关系数的计算对资料有一定要求，相关 的两个变量必须都是随机的，这也反映对等关系
相关系数的计算与应用有其独立意义，可直
接从给定资料计算，可不经过回归分析。
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第三节
回归分析
一、回归分析的概念与特点
(一)回归分析的概念
根据现象之间相关关系的形式，配合一条最适合 的直线或曲线(本章只介绍直线)，用这条直线，反映 它们之间数量变化的一般关系，即当自变量发生一个 量的变化时，因变量一般会(或平均会)发生多大量的
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例： 以下表的数据为例，计算12个企业产量与生产 费用之间的简单相关系数。
企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 产量x 40 42 50 55 65 78 84 100 116 125 130 140 1 025 生产费用y 130 150 155 140 150 154 156 170 167 180 175 185 1 921
完成量（小时）
20 50 20 30 50 20 50 40 20 80 40 20 50 80 30 单位成本（元/小时） 16 16 18 16 15 18 15 14 16 14 15 16 14 15 15
整理后有
完成量（小时）
20 20 20 20 20 20 20 20 20 30 30 30 30 30 40 单位成本（元/小时） 15 16 16 16 16 18 18 18 18 15 15 15 16 16 14
完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
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三、简单线性相关分析的特点 （一）两个变量是对等关系 直线相关分析所研究的两个变量不分彼此不反 映任何自变量和因变量的关系，而是完全对等的。 （二）只能算出一个相关系数 相关系数是一个绝对值在0与1之间的系数，其 值大小反映两变量间相关的密切程度。由于两变量 的关系是对等的，改变两者的地位不影响相关系数 的数值，所以只有一个相关系数。
x 不相关
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第二节
简单线性相关分析
一、相关关系的一般判断
是依据研究者的理论知识和实践经验，对客观 现象之间是否存在相关关系，以及何种关系作 出判断。 在定性分析的基础上，通过编制相关表、绘制 相关图、计算相关系数等方法，来判断现象之 间相关的方向、形态及密切程度。
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定性分析
定量分析
相关表
将自变量x的数值按照从小到大的顺序，并配合 因变量y的数值一一对应而平行排列的表。