[原创精品]2021届新高三一轮单元金卷第十三单元复数训练卷 B卷学生版

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第30讲种群及其动态-2023年高考生物一轮复习(新教材)

样方法的调查步骤：
确定调查对象
适用于植物、活动范围小和活动能力弱的动物，如昆虫卵、蚜虫、跳蝻等。以植物为例，一般不选丛生或蔓生的单子叶植物，而选择个体数目易于辨别的双子叶草本植物
取样
根据调查对象的分布状况和地段的形状，确定样方的多少、样方大小和取样方法。植物大小不同，样方面积也应不同。草本植物样方的大小一般以1m2的正方形为宜。如果该种群个体数较少，样方面积可适当扩大。
非生物因素包括生物因素包括
阳光、温度、水等
种内竞争和其他种群的影响等
考点分析
目录
CONTENT
能够阐述种群的各数量特征，并说明它们之间的关系；能够运
01 用样方法和标志重捕法调查种群密度，能概述两种方法的适应
范围。
02
通过探究培养液中酵母菌种群数量的动态变化，明确构建种群增长模型(数学模型)的方法。
时间为横坐标，种群数量为纵坐标画出曲线来表示，曲线则大致呈 “J” 形。这种类型的种群增长称为“J”形增长。
（2）模型假设(形成原因)
在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有天敌和其他竞争物种等条件下，种群的数量每
年以一定的倍数(λ倍)增长。（3）数学模型：Nt＝N0λt
理想条件
N0为该种群的起始数量，t为时间，Nt表示t年后该种群的数量，λ表示该种群数量是前
死亡率性别比例
迁入率
迁出率
能力训练
6、请判断对错。
①可用每平方米草坪上杂草的数量来表示种群密度( × ) ②统计种群密度时，应去掉采集数据中最大、最小值后取平均值( × ) ③五点取样法适合调查灌木类行道树上蜘蛛的种群密度( × ) ④调查青蛙等活动范围不大的动物的种群密度可以用样方法 ( √ ) ⑤种群密度与出生率成正比( × ) ⑥种群密度能反映种群在一定时期的数量及其变化趋势 ( × )

2021高考数学复数历年来高考习题荟萃（2020-2021）（含解析）(1)

zi，+2=2z设=2a+2bi在复平面内对应的．第四象限，故答案为D．对应的点的坐标是( ) ()(+为虚数单位1i iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,因此对应点(-1,1).选B 选B9.【2021山东】（1）复数z 知足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( D )A. 2+i C. 5+i10.【2021上海理】设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，那么________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩11.【2021四川理】2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是（）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 12.【2021全国新课改II 】设复数z 知足(1i )z = 2 i ，那么z =（A ）1+ i（B ）1 i（C ）1+ i（D ）1 i答案：A【解法一】将原式化为z =2i 1- i ,再分母实数化即可.【解法二】将各选项一一查验即可.13.【2021课标1】假设复数z 知足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为()A 、－4（B ）－45（C ）4（D ）45【命题用意】此题要紧考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【点评】此题考查复数代数形式的四那么运算及复数的大体概念，考查大体运算能力.先把Z 化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数概念得出1z i =--. 10.【2021高考湖北文12】.若=a+bi （a ，b 为实数，i 为虚数单位），那么a+b=____________. 【答案】3【点评】此题考查复数的相等即相关运算.此题假设第一对左侧的分母进行复数有理化，也能够求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，大体概念（共轭复数），大体运算等的考查.11.【2021高考广东文1】设i 为虚数单位，那么复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i - 【答案】D12.【2102高考福建文1】复数（2+i ）2等于 +4i +4i +2i +2i 【答案】A.【解析】i i i 43)22()14()2(2+=++-=+，应选A.13.【2102高考北京文2】在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 【答案】A14.【2021高考天津文科1】i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+i （C ）1+i （D ）-1-i【答案】C或,复数a+为纯虚数0,0b00b,应选B.=+(i为虚数单位年高考（山东理））假设复数)117i-i D．3--B．35i【解析】1iz i-=2021年高考（大纲理）【考点定位】此题要紧考查复数的代数运算在复平面内所对应的图形的面积为__8__.3416．（2021年高考（上海春））假设复数z 知足1(iz i i =+为虚数单位),那么z =1i -_______.34（江苏））设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-(i 为虚数单位),那么a b +的值为____. 7. 【考点】复数的运算和复数的概念.【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,因此=5=3a b ，,=8a b + .2020年高考复数1.【2020安徽理】设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，那么实数a 为（A ）2 (B) -2 (C) 1-2(D) 12A. 【命题用意】此题考查复数的大体运算，属简单题.【解析】设()aibi b R i1+∈2-=，那么1+(2)2ai bi i b bi =-=+，因此1,2b a ==.应选A. 2.【2020北京理】复数i 212i-=+ A. i B. i - C. 43i 55-- D. 43i 55-+【解析】：i 212ii -=+，选A 。

高考数学《复数》专项练习(含答案)

【复数】专项练习参考答案1．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，那么a ＝( )〔A 〕−3 〔B 〕−2 〔C 〕2 〔D 〕3 【答案】A【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++，由，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A ．2．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，那么i =x y +( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】B【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |x x y x y x x y +==+=所以故应选B ．3．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕设复数z 满足i 3i z +=-，那么z ＝( ) 〔A 〕12i -+ 〔B 〕12i - 〔C 〕32i + 〔D 〕32i - 【答案】C【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，应选C ．4．〔2021全国Ⅱ卷，理1，5分〕(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m 的取值范围是( )〔A 〕(31)-，〔B 〕(13)-，〔C 〕(1,)∞+ 〔D 〕(3)∞--，5．〔2021全国Ⅲ卷，文2，5分〕假设43i z =+，那么||zz ＝( ) 〔A 〕1 〔B 〕1- 〔C 〕43i 55+ 〔D 〕43i 55-【答案】D【解析】∵43i z =+，∴z ＝4－3i ，|z |＝2234+．那么43i ||55z z ==-，应选D ．6．〔2021全国Ⅲ卷，理2，5分〕假设z ＝1＋2i ，那么4i1zz =-( ) (A)1 (B)−1 (C)i (D)−i 【答案】C【解析】∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，那么4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，应选C ． 7．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，那么z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i【答案】C【解析一】(z －1)i ＝1＋i ⇒ zi －i ＝1＋i ⇒ zi ＝1＋2i ⇒ z ＝1＋2i i＝(1＋2i)i i 2＝2－i ．应选C ．【解析二】(z －1)i ＝1＋i ⇒ z －1＝1＋i i⇒ z ＝1＋i i＋1 ⇒z ＝(1＋i)i i 2＋1＝2－i ．应选C ．8．〔2021全国Ⅰ卷，理1，5分〕设复数z 满足1+z1z-＝i ，那么|z|＝( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】A 【解析一】1+z1z-＝i ⇒ 1＋z ＝i(1－z) ⇒ 1＋z ＝i －zi ⇒ z ＋zi ＝－1＋i ⇒ (1＋i)z ＝－1＋i ⇒9．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕假设a 为实数，且2＋ai 1＋i＝3＋i ，那么a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 【答案】D【解析】由得2＋ai ＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i ，所以a ＝4，应选D ．10．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕假设a 为实数，且(2＋ai)(a －2i)＝－4i ，那么a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】B【解析】(2＋ai)(a －2i)＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＋4i ＝0⇒ 4a ＋a 2i ＝0 ⇒ a ＝0．11．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕设z ＝11＋i＋i ，那么|z|＝( )A ．12 B ．√22 C ．√32 D ．2 【答案】B 【解析】z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，因此|z|＝√(12)2＋(12)2＝√12＝√22，应选B ．12．(1＋i )3(1－i )2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】D 【解析】(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i)(1－i )2·＝(1＋i 2＋2i)(1＋i)1＋i 2－2i＝＝2i(1＋i)－2i＝－(1＋i)＝－1－i ，应选D ．13．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕1＋3i 1－i＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i【答案】B 【解析】1＋3i 1－i＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i 2＝－1＋2i ，应选B ．14．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，那么z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i【答案】A【解析】由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，应选A ．15．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕1＋2i (1－i )2＝( )A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 【答案】B 【解析】1＋2i(1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i (－2i )i＝－2＋i 2＝－1＋12i ，应选B ．16．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕假设复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，那么z 的虚部为( )A ．－4B ．－45 C ．4 D ．45 【答案】D【解析】∵|4＋3i|＝√42＋32＝5，∴(3－4i)z ＝5，∴z＝53－4i＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，虚部为45，应选D ．17．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕|21＋i|＝( )A ．2√2B ．2C ．√2D ．1【答案】C 【解析】|21＋i|＝|2(1－i )2|＝|1－i|＝22)1(1-+＝√2．选C ．18〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 【答案】A【解析】由题意得z ＝2i1－i＝2i ·(1＋i )(1−i )(1＋i)＝2i ＋2i 22＝2i−22＝－1＋i ，应选A ．19．〔2021全国卷，文2，5分〕复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－I C ．－1＋iD ．－1－i【答案】D【解析】z ＝－3＋i 2＋i＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，∴z ＝－1－i ，应选D ．20．〔2021全国卷，文2，5分〕复数5i1－2i＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C 【解析】5i 1－2i＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5(i －2)5＝－2＋i ，应选C ．21．〔2021北京，文2，5分〕复数( ) 〔A 〕i 〔B 〕1＋i 〔C 〕〔D 〕【答案】A 【解析】，应选A ．22．〔2021北京，理9，5分〕设，假设复数在复平面内对应的点位于实轴上，那么_____________．【答案】－1【解析】(1＋i)(a ＋i)＝a ＋i ＋ai ＋i 2＝a ＋i ＋ai －1＝(a －1)＋(1＋a)i ，由题意得虚部为0，即(1＋a)＝0，解得a ＝－1． 23．〔2021江苏，文/理2，5分〕复数其中i 为虚数单位，那么z 的实部是____．【答案】524．〔2021山东，文2，5分〕假设复数21iz =-，其中i 为虚数单位，那么z ＝( ) 〔A 〕1＋i〔B 〕1−i〔C 〕−1＋i 〔D 〕−1−i【答案】B25．〔2021山东，理1，5分〕假设复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，那么z ＝( )〔A 〕1＋2i 〔B 〕1-2i 〔C 〕12i -+ 〔D 〕12i --【答案】B26．〔2021上海，文/理2，5分〕设32iiz +=，其中i 为虚数单位，那么z 的虚部等于_______．【答案】-312i=2i+-i -1i -12i (12i)(2i)2i 4i 2i 2i (2i)(2i)5+++++-===--+a ∈R (1i)(i)a ++a =(12i)(3i),z =+-【解析】32i 23i,iz +==-故z 的虚部等于−3．27．〔2021四川，文1，5分〕设i 为虚数单位，那么复数(1＋i)2＝( )(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2＋2i 【答案】C【解析】22(1i)12i i 2i +=++=，应选C ．28．〔2021天津，文9，5分〕i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，那么z 的实部为_______．【答案】1【解析】2(1)211i i iz z +=⇒==-+，所以z 的实部为1．29．〔2021天津，理9，5分〕,a b ∈R ，i 是虚数单位，假设(1+i)(1-b i)＝a ，那么ab的值为____．【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．。

2021年高考历史一轮复习近代中国的政治民主化进程单元训练

1．(xx·高考山东卷)辛亥革命爆发后，山东巡抚孙宝琦曾致电清内阁，阐述对时局的看法。

阅读材料，回答问题。

顷者，宪法信条，业经颁布，君权削尽，仅存皇位，而各省不知信从，反多独立。

……重以土匪蜂起，列强环伺，瓦解瓜分，危在旦夕。

……今日各省民情，如决江河。

然察其所为，决非种族相仇，实渴望共和政体。

……依臣愚见，莫如毅然改计，俯顺舆情，实行公天下，宣布共和。

——孙宝琦致内阁电(1911年11月11日)(1)概括指出孙宝琦的电文反映了哪些史实。

(2)结合史实，说明清政府是如何应对“各省民情”的。

2．(xx·高考新课标全国卷Ⅰ)阅读材料，回答问题。

材料1：夫西人设立新闻纸馆，上以议国家之得失，下以评草野之是非，可以知四方之物价，可以悉外国之情形，原为有益之举。

今宜仿而行之，惟不准议朝廷得失。

凡外国物价，外国情形，及中国人而被外国人欺凌者，或传教不公道者，皆可写入新闻纸，布告各国，咸使闻知，使归曲于彼；且以见中国百姓痛恨洋人，必将激而生变。

庶彼君臣闻之，惕然知惧，必饬令彼国公使领事，自行约束。

——《李鸿章附呈潘司丁日昌条说》(1867年)材料2：19世纪70年代后，维新派开始办报。

他们在办报实践中提出，报纸必须“宗旨高而定”，“思想新而正”，“材料富而当”，“报事确而速”。

严复强调办报须“一举足不能无方向，一著论则不能无宗旨”。

有维新人士倡言：“无古今中外，变法必自空谈始。

故今日中国将变未变之际，以扩张报务为第一义。

阅报之多寡，与爱力之多寡有正比例；与阻力之多寡有反比例。

”梁启超提出：“所贵乎报馆之著述者，能以语言文字开将来之世界也。

”并说：“去塞求通，厥道非一，而报馆其导端也……阅报愈多者，其人愈智；报馆愈多者，其国愈强。

”——摘编自方汉奇《中国近代报刊史》(1)比较材料1、2，概括指出洋务派与维新派在办报宗旨、任务、目的方面的认识有何不同。

(2)根据材料1、2并结合所学知识，分析戊戌变法前报纸在推动近代中国民主进程中的作用。

高考数学一轮复习全套课时作业5-5复数

题组层级快练 5.5复数一、单项选择题1．(2021·衡水中学调研卷)复数i1＋2i(i 是虚数单位)的虚部是( )A.15B.25C.15iD.25i 2．(2019·课标全国Ⅱ)设z ＝i(2＋i)，则z －＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i 3．已知z－1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i 4．i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．－3C ．3D ．15 5．(2020·揭阳一模)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝3＋ai ，|z －|＝2，则a ＝( ) A.7或－7 B ．1或－1 C ．2 D ．－26．(2021·江西名校高三质检)若在复平面内，复数z ＝3＋mi 6－i (m ∈R )所对应的点落在直线y ＝x 上，则m ＝( )A.157B.715 C ．－157 D ．－7157．(2021·河北六校联考)已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为(2，－1)，(0，－1)，则z 1z 2＋|z 2|＝( )A ．2＋2iB ．2－2iC ．－2＋iD ．－2－i 8．(2020·唐山二模)若复数z ＝1＋ia －i (i 是虚数单位，a ∈R )是纯虚数，则z 的虚部为( )A ．1B ．IC ．2D ．2i 9．(2021·江南十校联考)若复数z 满足z(1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12 B.2－1 C ．1 D.2＋1210．(2021·武汉市武昌区调考)设z 是复数，α(z)表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i)＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 11．已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－bi ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( )A ．－6B ．6C ．0 D.1612．在复数集C 内分解因式2x 2－4x ＋5等于( )A ．(x －1＋3i)(x －1－3i)B ．(2x －2＋3i)(2x －2－3i)C ．2(x －1＋i)(x －1－i)D ．2(x ＋1＋i)(x ＋1－i)13.(2020·湖北黄冈期末)复数z 1，z 2在复平面内分别对应点A ，B ，z 1＝3＋4i ，将点A 绕原点O 逆时针旋转90°得到点B ，则z －2＝( )A ．3－4iB ．－4－3iC ．－4＋3iD ．－3－4i14．(2021·济南市质量评估)已知复数z 满足z ＋z·i ＝2(其中i 为虚数单位)，则z －＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i15．(2020·邯郸二模)复数z 在复平面内表示的点Z 如图所示，则使得z 2·z 1是纯虚数的一个z 1是( )A ．3－4iB ．4＋3iC ．3＋4iD ．4－3i 二、多项选择题16．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2B ．若z 1＝z －2，则z －1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2 D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 22 17．下列命题正确的是( )A ．若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数B ．z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z －(z －是z 的共轭复数)D ．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i(i 是虚数单位)，它们对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝1 三、填空题与解答题18．(2020·西安模拟)若a ＋bii (a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a ＝________，b ＝________．19．(2020·江苏阜宁中学调研)若复数z ＝i ＋i 2 020，则z －＋10z的模等于________．20．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ； (2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2； (3)1－3i（3＋i ）2.5.5复数参考答案1．答案 A 2．答案 D 3．答案 B解析 z －＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，则z ＝1－3i. 4．答案 B 解析1＋7i 2－i＝（1＋7i ）（2＋i ）5＝－1＋3i ，故a ＝－1，b ＝3，故ab ＝－3.5．答案 B解析 z ＝3＋ai ，z －＝3－ai ，又|z －|＝2，则3＋(－a)2＝4，解得a ＝±1，a 的值为1或－1.故选B. 6．答案 A解析依题意，z ＝3＋mi 6－i ＝（3＋mi ）（6＋i ）（6－i ）（6＋i ）＝18＋3i ＋6mi －m 37＝18－m 37＋3＋6m 37i ，则18－m ＝3＋6m ，解得m ＝157，故选A.7．答案 A解析由题意知z 1＝2－i ，z 2＝－i ，则z 1z 2＝2－i －i ＝（2－i ）i －i 2＝1＋2i ，|z 2|＝1，故z 1z 2＋|z 2|＝2＋2i ，故选A. 8．答案 A解析设z ＝1＋ia －i ＝bi(b ∈R 且b ≠0)，则1＋i ＝b ＋abi ，∴b ＝1.选A. 9．答案 A解析由z(1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A. 10．答案 C解析 ∵α(z)表示满足z n ＝1的最小正整数n ，∴α(i)表示满足i n ＝1的最小正整数n.∵i 2＝－1，∴i 4＝1，∴α(i)＝4. 11．答案 B解析因为z 1z 2＝3－bi 1－2i ＝3＋2b 5＋（6－b ）i 5，z 1z 2是实数，所以6－b 5＝0，所以b ＝6.故选B.12．答案 B解析 2x 2－4x ＋5＝2(x －1)2＋3＝[2(x －1)]2－(3i)2＝(2x －2＋3i)(2x －2－3i)． 13.答案 B解析由题意知A(3，4)，B(－4，3)，即z 2＝－4＋3i ，z －2＝－4－3i. 14．答案 A解析方法一：由z ＋z·i ＝2，得z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z －＝1＋i.方法二：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则a ＋bi ＋(a ＋bi)i ＝2，即a －b ＋(b ＋a)i ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以z ＝1－i ，所以z －＝1＋i. 15．答案 D解析由题意可得，z ＝－2＋i ，令z 1＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则z 2·z 1＝(－2＋i)2(a ＋bi)＝(3－4i)(a ＋bi)＝(3a ＋4b)－(4a －3b)i.又z 2·z 1为纯虚数，则z 2·z 1的实部为0，即3a ＋4b ＝0，则z 1＝4－3i ，故选D. 16．答案 ABC解析对于A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以z －1＝z －2为真；对于B ，若z 1＝z －2，则z 1和z 2互为共轭复数，所以z －1＝z 2为真；对于C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，若|z 1|＝|z 2|，则a 12＋b 12＝a 22＋b 22，即a 12＋b 12＝a 22＋b 22，所以z 1·z－1＝a 12＋b 12＝a 22＋b 22＝z 2·z －2，所以z 1·z －1＝z 2·z －2为真；对于D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 12＝1，z 22＝－1，所以z 12＝z 22为假，故选ABC. 17．答案 BC解析对于A ，z 1和z 2可能是相等的复数，错误；对于B ，若z 1和z 2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，正确；对于C ，由a ＋bi ＝a －bi ，得b ＝0，正确；对于D ，由题可知，A(－1，2)，B(1，－1)，C(3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x ＋y ，2x －y)，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，错误．故选BC. 18．答案－4 3解析因为a ＋bi i ＝（a ＋bi ）（－i ）－i 2＝b －ai(a ，b ∈R )，(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，由题意得b ＝3，a ＝－4.19．答案 6 2解析 z ＝i ＋i 2 020＝i ＋1，z －＋10z ＝1－i ＋101＋i ＝6－6i ，其模为6 2.20．答案 (1)15＋25i (2)－1 (3)－14－34i解析 (1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i.(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1.(3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i＝（－i ）（3－i ）4＝－14－34i.。

高考数学《复数》真题练习含答案

高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z －＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ）＝－12 i ，所以z －＝12 i ，所以z －z －＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z －＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z －＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z －＝1D ．z ＋1z为实数答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z －＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________．答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________．答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________．答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ）＝8－（－4）＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z －＝z 2|z |2C ．z －w ＝z －－w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z －＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z －＝z 2|z |2 ，故B 正确；对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z －＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z －－w －＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z －－w －，故C 正确；对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z －＝1＋2i.由z ＋a z －＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________．答案：－1解析：方法一因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数，所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。

备战2020年高考高三一轮单元训练金卷+数学+第13单元++算法、推理证明与复数+A卷++Word版含答案

单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第13单元算法、推理证明与复数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复平面内，复数z i i 为虚数单位)，则复数z 对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为（）A ．5B ．6C ．7D ．83．定义x x f sin )(0=，()()10cos f x f x x '==，()()1n n f x f x +'=，则=)(2017x f （）A ．x sinB ．x cosC ．x sin -D ．x cos -4．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A ．B ．C ．D ．5．已知复数512z =+i ，则复数z z -2的虚部为（） A ．-i B ．1- C ．2-i D ．2-6．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示，则(32)4⊗⊗的值是（）A ．0B ．12C ．32D ．97．关于复数()211z +=-i i ，下列说法中正确的是（）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数1z =-iC ．若复数()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =D ．设a ，b 为复数z 的实部和虚部，则点(),a b 在以原点为圆心，半径为1的圆上8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A ．21B ．1-C ．2D ．19．已知222433+=⨯，333988+=⨯，444161515+=⨯，……，观察以上等式，若999k m n+=⨯(m ，n ，k 均为实数)，则m n k +-=（）A ．76B ．77C ．78D ．7910．阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k 值是（）A ．9B ．10C ．11D ．1211．网络工作者经常用网络蛇形图来解释网络的运作模式，如图所示，数字1出现在第一行;数字2，3出现在第二行;数字6，5，4(从左至右)出现在第三行;数字7，8，9，10出现在第四行;以此类推，则按网络运作顺序第63行从左到右的第2个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…，)是（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．201712．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}()n a n *∈N 的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则=++201720162015a a a （）A ．1008B ．1009C ．2017D ．2018第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若复数z 与2(2)4z -+i 都是纯虚数，则=-+22z z ________． 14．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是______．15．我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示的()()()()1234为刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是有相同的小正方形构成，小正方形越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含)(n f 个小正方形，则)(n f 的表达式为．16．在计算“)1(3221-++⨯+⨯n n ”时，某位数学教师采用了以下方法：构造等式：)]1()1()2)(1([31)1(+--++=+k k k k k k k k ，以此类推得：)210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯，)321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯， )432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯，…，…， )]1()1()2)(1([31)1(+--++=-⨯n n n n n n n n ，相加得11223(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯++-=++．类比上述计算方法，可以得到=+++⨯+⨯)2(4231n n ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设复数1z =+i ，若实数a ，b 满足2)2(2z a z b az +=+，其中z 为z 的共轭复数．求实数a ，b 的值．18．（12分）如图，已知单位圆221x y +=与x 轴正半轴交于点P ，当圆上一动点Q 从P 出发沿逆时针旋转一周回到P 点后停止运动．设OQ 扫过的扇形对应的圆心角为xrad ，当02x <<π时，设圆心O 到直线PQ 的距离为y ，y 与x 的函数关系式()y f x =是如图所示的程序框图中的①②两个关系式．（1）写出程序框图中①②处的函数关系式；（2）若输出的y 值为12，求点Q 的坐标．19．（12分）已知函数)()0,1f x a a =>≠且．（1）证明：函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；（2）求(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)f f f f f f f -+-++-+++++．20．（12分）已知数列{}n a 满足:211=a ，111)1(21)1(3++-+=-+n n n n a a a a ，()101n n a a n +<≥，数列{}n b 满足：()2211n n n b a a n +=-≥．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列．21．（12分）下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n 个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为)(n f ．（1）求出(2)f ，(3)f ，(4)f ，(5)f ；（2）找出)(n f 与)1(+n f 的关系，并求出)(n f 的表达式；（3）求证()111125111136(1)3(2)5(3)7()213333n f f f f n n *++++<∈+++++N ．22．（12分）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知数表中每一行的第一个数1a ，2a ，5a ，…构成一个等差数列，记为{}n b ，且42=b ，105=b ．数表中每一行正中间一个数1a ，3a ，7a ，…构成数列{}n c ，其前n 项和为n S ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数且113=a ，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）在满足（2）的条件下，记{}(1),n M n n c n λ*=+≥∈N ，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围．单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第13单元算法、推理证明与复数答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】∵z ===i ，∴z ，故选C ． 2．【答案】D【解析】由题意得，这种树的从第一年的分枝数分别是1，1，2，3，5，，则112+=，213+=，325+=，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第6年树的分枝数是853=+，故选D ． 3．【答案】B【解析】()()10cos f x f x x '==，x x x f x f sin )(cos )()(''12-===，'3()(sin )cos f x x x =-=-，'40()(cos )sin ()f x x x f x =-==，'51()(sin )cos ()f x x x f x ===，同理)()(26x f x f =，)()(37x f x f =，)()(48x f x f =，周期为4， ∴20171()()cos f x f x x ==，故选B ． 4．【答案】A【解析】由所给图形的规律看出，空心的矩形、三角形、圆形都是一个，实心的图形应均为两个，∴空白处应填实心的矩形，故选A ． 5．【答案】D 【解析】55(12)5(12)1212(12)(12)5z --====-++⋅-i i i i i i ， ∴22(12)(12)42z z -=---=--i i i ，∴复数z z -2的虚部为2-，故选D ．6．【答案】C【解析】根据程序框图知221323=+=⊗，∴413(32)42422-⊗⊗=⊗==，故选C ．7．【答案】C【解析】由题意可知()212111z +===-+--i ii ii，若()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =，故选C ． 8．【答案】B【解析】设每次循环所得到的a 的值构成数列{}n a ，由框图可111n n a a +=-，02a =，112a =，21a =-，32a =，412a =，…，所以{a n }的取值具有周期性，且周期为T ＝3．又由框图可知输出的122012-===a a a ，故选B ． 9．【答案】D【解析】观察以上等式，类比出等式2(1)(1)(1)(1)x xx x x x x x +=⨯-+-+，当9x =时，可得999818080+=⨯，所以80m =，80n =，81k =，所以80808179m n k +-=+-=．故选D ． 10．【答案】C 【解析】当111119(1)1335171921919S =+++=-=⨯⨯⨯时，10=k ，若199>S ，则输出的k 值是11，故选C ． 11．【答案】B【解析】网络蛇形图中每一行的第一个数1，2，4，7，11，，按原来的顺序构成数列{}n a ，易知n a a n n =-+1，且11=a ， ∴22132121()()()1123(1)2n n n n n a a a a a a a n --+=+-+-++-=+++++-=． ∴第63行的第一个数字为19542263632=+-，而偶数行的顺序为从左到右，奇数行的顺序为从右到左， ∴第63行从左到右的第2个数字就是从右到左的第62个数字，这个数为2015611954=+．故选B ． 12．【答案】B【解析】观察点的坐标，写出数列{}n a 的前12项：1，1，1-，2，2，3，2-，4，3，5，3-，6．可提炼出规律，偶数项的值等于其序号的一半，奇数项的值有正负之分，且n a n =-34，n a n -=-14，n a n =2，∴505350542017==-⨯a a ，504150442015-==-⨯a a ，10082016=a ， ∴2015201620171009a a a ++=，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】i 或-i【解析】由已知可设(),0z b b b =∈≠R i ，则222(2)4(2)44(44)z b b b -+=-+=-+-i i i i ，∴240440b b ⎧-=⎨-≠⎩，∴2b =±，∴2z =-i 或2z =i ，∴当2z =-i 时，2221(1)(1)22221(1)(1)2z z +--+-+⋅-=====---++⋅-i i i i ii i i i i ；当2z =i 时，()()()222222222z z ++=====---+⋅-i+1i i+1i i i i-1i+1i-1． 14．【答案】5【解析】5=n ，16=n ，1=k ；8=n ，2=k ；4=n ，3=k ；2=n ，4=k ；1=n ，5=k ，输出5．15．【答案】1222+-n n【解析】我们考虑，4)1()2(=-f f ，42)2()3(⨯=-f f ，43)3()4(⨯=-f f ，…，归纳得出)1(4)()1(-⨯=-+n n f n f ， ∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =++-+-++--21424344(1)14[123(1)]221n n n n =++⨯+⨯++-=+++++-=-+．16．【答案】)72)(1(61++n n n 【解析】构造等式：)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+n n n n n n n n ， ∴]31)1(531[6131⨯⨯--⨯⨯=⨯，)420642(6142⨯⨯-⨯⨯=⨯，)531753(6153⨯⨯-⨯⨯=⨯，……，)]1)(1)(3()3)(1)(1[(61)1()1(+---++-=+⨯-n n n n n n n n ，)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+⨯n n n n n n n n ，相加得11324(2)[(1)13024(1)(1)(3)(2)(4)]6n n n n n n n n ⨯+⨯+++=--⨯⨯-⨯⨯+-+++++)72)(1(61++=n n n ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．【解析】由1z =+i ，可知i z -=1，代入2)2(2z a z b az +=+得2(1)2(1)[2(1)]a b a ++-=++i i i ，即22(2)(2)44(2)a b a b a a ++-=+-++i i ，∴22(2)424(2)a b a a b a ⎧+=+-⎨-=+⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．18．【答案】（1）①②的式子分别为cos 2xy =，cos 2x y =-；（2）当0x <≤π时，此时点Q 的坐标为12⎛- ⎝⎭；当2x π<<π时，此时点Q的坐标为12⎛- ⎝⎭，．【解析】（1）当0x <≤π时，cos 2x y =；当2x π<<π时，cos cos 22x x y ⎛⎫=π-=- ⎪⎝⎭；综上可知，函数解析式为()(]()cos ,0,2cos ,,22x x f x x x ⎧∈π⎪⎪=⎨⎪-∈ππ⎪⎩，所以框图中①②处应填充的式子分别为cos 2xy =，cos 2x y =-．（2）若输出的y 值为12，则0x <≤π时，1cos22x =，得23x π=，此时点Q的坐标为12⎛- ⎝⎭；当2x π<<π时，1cos 22x -=，得43x π=，此时点Q的坐标为12⎛- ⎝⎭，． 19．【答案】（1）见解析；（2）2015-．【解析】（1）函数aa a x f x+-=)(的定义域为R ，在函数)(x f 的图象上任取一点),(00y x ，它关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点为)1,1(00y x ---，则aa a x f y x +-==0)(00，∴00(1)1f x y -====--，∴函数)(x f 图象上任意一点),(00y x 关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点)1,1(00y x ---仍在函数)(x f y =的图象上．即函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．（2）由（1）得1)1()(00-=-+x f x f ，∴1)2015()2014(-=+-f f ；1)2014()2013(-=+-f f ；1)2013()2012(-=+-f f ；……；1)2()1(-=+-f f ；1)1()0(-=+f f ．∴(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)2015f f f f f f f -+-++-+++++=-．20．【答案】（1）(1)n n a -=-11243n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）见解析．【解析】（1）由题意可知，)1(321221n n a a -=-+，令21n n a c -=，则2111++-=n n a c ，n n c c 321=+．又431211=-=a c ，则数列{}n c 是首项为431=c ，公比为32的等比数列，即13243n n c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1232143n na -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，∴1232143n na -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭．又0211>=a ，01<+n n a a ，故(1)n n a -=-，1122132321211434343n n n n n nb a a --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．（2）反证法：假设数列{}n b 存在三项r b ，s b ，t b ()r s t <<按某种顺序成等差数列，由于数列{}n b 是首项为41，公比为32的等比数列，于是有r s t b b b >>，则只能有t r s b b b +=2成立．∴1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边同乘以r t --1123，化简得s t r s r t r t ----⋅=+32223．由于t s r <<，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．21．【答案】（1）(2)12f =，(3)27f =，(4)48f =，(5)75f =；（2）36)()1(+=-+n n f n f ，2()3f n n =；（3）见解析．【解析】（1）由题意有：3)1(=f ，12233)1()2(=⨯++=f f ，27433)2()3(=⨯++=f f ， 48633)3()4(=⨯++=f f ，75833)4()5(=⨯++=f f ．（2）由题意及（1）知，36)(233)()1(++=⨯++=+n n f n n f n f ，即36)()1(+=-+n n f n f ．∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =+-+-++--3(613)(623)[6(1)3]36[123(1)]n n n =+⨯++⨯+++-+=+++++-2(1)3633(1)32n nn n n n n -=+⨯=+-=．（3）∵23)(n n f =，∴2111111(1)(1)1()213n n n n n f n n =<=-+++++， ∴11111111(1)3(2)5(3)7()213333f f f f n n ++++<+++++11111111111111125()()()4934451493149336n n n ++-+-++-=++-<++=++，所以对于任意n *∈N ，原不等式成立．22．【答案】（1）2n b n =；（2）2282n n n S -+=-；（3）(]4,5．【解析】（1）设数列{}n b 的公差为d ，则114410b d b d +=⎧⎨+=⎩解得122b d =⎧⎨=⎩，所以n b n 2=．（2）设每一行组成的等比数列的公比为q ，由于前n 行共有2)12(531n n =-++++ 个数，且224133<<，又8410==b a ，所以18331013===q q a a ，解得21=q ．因此121222n n n n c n --⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以12110121232222n n n n n S c c c c ---=++++=++++，0121112122222n n n n nS ---=++++，所以10121111211111122412222222212nn n n n n n n n S -----⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--，即2228-+-=n nn S ．（3）由（1）知22-=n n n c ，不等式λ≥+n c n )1(，可化为λ≥+-22)1(n n n ．设22)1()(-+=n n n n f ，计算得4)1(=f ，6)3()2(==f f ，5)4(=f ，415)5(=f ，因为121(1)(2)(1)(2)(1)(1)()222n n n n n n n n n f n f n ---+++-++-=-=，所以当3≥n 时，)()1(n f n f <+．因为集合M 的元素的个数为3，所以λ的取值范围是(]4,5．。

2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)

【详解】
设这7天降雨量分别为X],a∙2 tx3tx4tx5tx6, J7
因为1厘米=10毫米,这7天降雨量分别为IOxI, 10‰, IOX3，IOX4，IoX5，IOX6，IO-V7,
平均值为10无二265,
所以标准差变为-X（IOxll-IOx）'xf=10×6」=61.
Y 7ZI=Iy 7/?=i
故选：C
【点睛】
本题考査统讣知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，屈于基础题・
4.若0<方<1,则““>戻”是“u>b”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】
因为OCbVl,所以b-b3=b（l-b2）>0,即b>b∖故">方可推出a > b'，
A. (0, 1)B.(—3,0)<j(1,2)
C.(—3,1)D.(―2,0)<j(1,3)
【答案】B
【解析】化简集合A, B,根据交集运算即可求值.
【详解】
因为A = {x∖x<x2} =(Y,0)u(1,+oc),
B = {x∖x2+X —6 v0} = (-3,2)
所以ACB = (-3,0)u(l,2)∙
而a >b3推不出u >b,（例如“=丄"=丄）42
故“α>Z√”是∏"的必要不充分条件.
故选:A
【点睹】
本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.
5.函数/(X) = x2SinX-XCOSx⅛[-π,π]±的图象大致为()

2023年新高考数学临考题号押题第2题复数(新高考)(解析版)

押新高考卷2题
复
数
考点3年考题
考情分析
复数
2022年新高考Ⅰ卷第2题2022年新高考Ⅱ卷第2题
2021年新高考Ⅰ卷第2题2021年新高考Ⅱ卷第1题2020年新高考Ⅰ卷第2题2020年新高考Ⅱ卷第2题
高考对复数知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练复数基础知识点，包括复数的代数形式，复数的实部与虚部，共轭复数，复数模长，复数的几何意义及四则运算．纵观近几年的新高考试题，均以复数的四则运算为切入点，考查复数的四则运算、共轭复数及几何意义．可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕复数的四则运算为背景展开命题．
1.虚数单位：i ，规定12-=i
2.虚数单位的周期4
=T 3.复数的代数形式：Z=(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部4.复数的分类
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧⎩⎨⎧=≠≠⎩⎨⎧===+=000
00
00
a b b b a b bi a z 纯虚数：虚数：：实数：5.复数相等：,,21di c Z bi a Z +=+=若则,21Z Z =d
b c a ==,6.共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；
(),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，
()()()2
22
22
2b a z z b a bi a bi a bi a z z +=⋅+=-=-+=⋅结论：推广：7.复数的几何意义：复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应
复平面内的点(,)
Z a b
8.复数的模：()R b a bi a Z ∈+=,，
则||z a bi =+=；。

高考数学一轮总复习课时规范练32复数北师大版

课时规范练32 复数基础巩固组1.已知复数z 满足z (3-i)=10，则z=( )A.-3-iB .-3+iC .3-iD .3+i2.(2021湖北黄冈中学三模)已知复数z 满足z 2+4i =0，则|z|=( )A.4B.2C.√2D.13.设复数z 满足|z+1|=|z-i |，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A.x=0B .y=0C .x-y=0D .x+y=04.(2021山东聊城二模)已知复数z 1=-2+i ，z 2=z1i ，在复平面内，复数z 1和z 2对应的两点之间的距离是( )A.√5B.√10C.5D.105.复数z=a+(1-a )i ，a ∈R ，则z 在复平面内对应的点不可能在的象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知i 为虚数单位，则下列结论不正确的是( )A.复数z=1+2i 1−i 的虚部为32B.复数z=2+5i-i 的共轭复数z =-5-2iC.复数z=12−12i 在复平面内对应的点位于第二象限D.复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R7.复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1，1)，则|z|z 的实部与虚部的和是( )A.√2 B .0C .√22D .√22−√22i8.已知i 是虚数单位，则复数z=(1+i)(2-i)的实部是 .9.(2021河北石家庄二模)设a ，b 为实数，若复数1+2i a+bi =1-i ，则a b = .综合提升组10.对任意z 1，z 2，z ∈C ，下列结论不成立的是( )A.当m ，n ∈N *时，有z m z n =z m+nB.当z 1，z 2∈C 时，若z 12+z 22=0，则z 1=0且z 2=0C.互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z |2=|z|2=z zD.z 1=z 2的必要不充分条件是|z 1|=|z 2|11.设z 1，z 2是复数，则下列命题是假命题的有( )A.若|z 1-z 2|=0，则z 1=z 2B.若z 1=z 2，则z 1=z 2C.若|z 1|=|z 2|，则z 1z 1=z 2z 2D.若|z 1|=|z 2|，则z 12=z 2212.(2021山东淄博三模)已知复数z 满足等式|z-i |=1，则|z-1|的最大值为 .13.(2020全国Ⅱ，理15)设复数z 1，z 2满足|z 1|=|z 2|=2，z 1+z 2=√3+i ，则|z 1-z 2|= .14.已知复数z 1=i ，z 2=2i 1+i ，则|z 1+z 2|= ，z 1+z 12+…+z 12020= .创新应用组15.已知复数z=1+cos 2θ+isin 2θ-π2<θ<π2，则下列说法错误的是( )A.复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B.z 可能为实数C.|z|=2cos θD.1z 的实部为1216.国际数学教育大会(ICME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素.主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码(0)11111100100，换算成十进制的数是n ，则(1+i)2n = ，(1+i √2)n= .17.已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位):甲:z+z =2;乙:z-z =2√3i;丙:z z =4;丁:z =z 22.在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z= .课时规范练32 复数1.D 解析:z=103−i =10(3+i)(3-i)(3+i)=3+i ，故选D .2.B 解析:设z=a+b i(a ，b ∈R )，则z 2+4i =(a+b i)2+4i =a 2-b 2+(2ab+4)i =0，所以a 2=b 2且ab=-2，即a=√2，b=-√2或a=-√2，b=√2，故|z|=√a 2+b 2=2.故选B .3.D 解析:复数z 满足|z+1|=|z-i |，∴√(x +1)2+y 2=√x 2+(y -1)2，化简得x+y=0，故选D .4.B 解析:z 1=-2+i 在复平面内对应的点的坐标为(-2，1)， z 2=z 1i =-i(-2+i)-i 2=1+2i 在复平面内对应的点的坐标为(1，2)，所以复数z 1和z 2在复平面内对应的两点之间的距离为√(-2-1)2+(1−2)2=√10.故选B .5.C 解析:当在复平面内对应的点在第三象限时，满足{1−a <0,a <0,此时a 不存在. 故选C .6.C 对于A ，z=1+2i 1−i =(1+2i)(1+i)(1-i)(1+i)=-12+32i ，其虚部为32，故A 正确;对于B ，z=2+5i -i =(2+5i)i =-5+2i ，故z =-5-2i ，故B 正确;对于C ，z=12−12i 在复平面内对应点的坐标为12，-12，位于第四象限，故C 不正确;对于D ，设z=a+b i(a ，b ∈R )，则1z =1a+bi =a -bi a 2+b 2，又1z ∈R ，得b=0，所以z=a ∈R ，故D正确.故选C.7.B 由题意可得，z=1+i ，z =1-i ，则|z|=|z |=√2，∴|z|z =√21+i =√2(1-i)(1+i)(1-i)=√22−√22i ，所以|z|z 的实部为√22，虚部为-√22，故实部和虚部的和为0，故选B .8.3 解析:z=(1+i)(2-i)=3+i ，实部是3.9.-13 解析:1+2i a+bi =1-i ，则a+b i =1+2i 1−i =(1+2i)(1+i)(1-i)(1+i)=-1+3i 2=-12+32i ，所以a=-12，b=32，因此a b =-13.10.B解析:由复数乘法的运算律知，A正确;取z1=1，z2=i，满足z12+z22=0，但z1=0且z2=0不成立，故B错误;由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，故C正确;由z1=z2能推出|z1|=|z2|，但|z1|=|z2|推不出z1=z2，因此z1=z2的必要不充分条件是|z1|=|z2|，故D正确.故选B.11.D解析:对于A，若|z1-z2|=0，则z1-z2=0，z1=z2，所以z1=z2，故A为真命题;对于B，若z1=z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1=z2，故B为真命题;对于C，设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，a1，b1，a2，b2∈R，若|z1|=|z2|，则√a12+b12=√a22+b22，即a12+b12=a22+b22，所以z1z1=a12+b12=a22+b22=z2z2，故C为真命题;对于D，若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|，而z12=1，z22=-1，故D为假命题.故选D.12.√2+1解析:因为|z-i|=1，所以复数z在复平面内对应的点是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，如图所示，则|z-1|的最大值为圆心(0，1)到点A(1，0)的距离加1，即√(0-1)2+(1-0)2+1=√2+1.13.2√3解析:设z1=a+b i，z2=c+d i，a，b，c，d∈R.∵|z1|=|z2|=2，∴a2+b2=4，c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=√3+i，∴a+c=√3，b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.∴|z1-z2|=√(a-c)2+(b-d)2=2√3.14.√50解析:因为z2=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1-i)=1+i，z1+z2=i+(1+i)=1+2i，所以|z1+z2|=√12+22=√5;z1+z12+…+z12020=z1(1-z12020)1−z1=i(1−i2020)1−i=i[1−(i4)505]1−i=i(1−1)1−i=0.15.A解析:因为-π2<θ<π2，所以-π<2θ<π，所以-1<cos2θ≤1，所以0<1+cos2θ≤2，故A错误;当sin2θ=0，θ=0∈-π2,π2时，复数z是实数，故B正确;|z|=√(1+cos2θ)2+(sin2θ)2=√2+2cos2θ=2cosθ，故C正确;1 z =11+cos2θ+isin2θ=1+cos2θ-isin2θ(1+cos2θ+isin2θ)(1+cos2θ-isin2θ)=1+cos2θ-isin2θ2+2cos2θ，则1z的实部是1+cos2θ2+2cos2θ=12，故D正确.故选A.16.-22 020-1∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020.∴(1+i)2n=(2i)2020=-22020.(√2)n=(√2)2020=(√2)2×1010=i1010=-1.17.1+i解析:设z=a+b i(a>0，b>0)，则z=a-b i，∴z+z=2a，z-z=2b i，z z=a2+b2，z =z2a2+b2.∵z z=4与z =z22不可能同时成立，∴丙、丁的陈述不能同时正确;∵当z-z=2√3i时，b2=3>2，此时z =z22不成立，∴乙、丁的陈述不能同时正确;当甲、乙的陈述正确时，a=1，b=√3，则丙的陈述也正确，不合题意;当甲、丙的陈述正确时，a=1，b=√3，则乙的陈述也正确，不合题意;当乙、丙的陈述正确时，b=√3，a=1，则甲的陈述也正确，不合题意;当甲、丁的陈述正确时，a=b=1，乙、丙的陈述错误，符合题意.故z=1+i.。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（） A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 .考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （） A ．‐1B ．0 ∙C ．1D ．22．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（） A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（） A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（）A ．2-BC ．D ．22．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（） A ．10iB ．2iC ．10D ．23．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1-D ．1-4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（） A ．i -B ．iC ．0D ．16．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（）A ．1-B ．1-C ．13-D ．13-8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（） A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．22．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2CD ．53．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（） A ．1B ．5C ．7D ．255．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （） A ．0 B ．1CD ．26．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1CD ．27．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= . 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．19．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 . 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1-D ．1-3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）． A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i --5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=参考答案考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D【详细分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【答案详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 2．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 . 【答案】3【详细分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【答案详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3.故答案为：3.【名师点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （） A ．‐1 B ．0 ∙ C ．1 D ．2【答案】C【详细分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【答案详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【详细分析】利用复数相等的条件可求,a b .【答案详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b == C ．1,1a b =-= D ．1,1a b =-=-【答案】A【详细分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【答案详解】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（） A ．1,2a b ==- B ．1,2a b =-= C ．1,2a b == D ．1,2a b =-=-【答案】A【详细分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【答案详解】12z i =-12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩ 故选:A5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（）A ．2-BC ．D ．2【详细分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【答案详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D2．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（） A ．10i B ．2i C ．10 D ．2【答案】A【详细分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【答案详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A3．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-. 故选：D4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B【详细分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【答案详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+. 故选：B.5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（） A ．i - B ．i C ．0D ．1【答案】A【详细分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【答案详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．6．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（）A ．1- B ．1- C ．13-D ．13-【答案】C【详细分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【答案详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-- 故选：C8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【详细分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【答案详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D9．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +【答案】C【详细分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【答案详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1CD ．2【答案】C【详细分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【答案详解】若1i z =--，则z ==故选：C.2．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2CD ．5【答案】C【详细分析】由题意首先化简232i 2i ++，然后计算其模即可. 【答案详解】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则232i 2i 12i ++=-=故选：C.3．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B【详细分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【答案详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．5．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【详细分析】先根据2i 1=-将z 化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．【答案详解】因为31+2i i 1+2i i 1i z =+=-=+，所以 z ==．故选：C ．【名师点评】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．6．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【详细分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【答案详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.7．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= .【答案】【详细分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZ PZ 为菱形，12OZ OZ 2OP ===，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -. 【答案详解】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=+，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===.故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+,由已知122OZ OZ OP ====,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==.【名师点评】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．1【答案】C【详细分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【答案详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z =，故选C ．【名师点评】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 9．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 .【详细分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【答案详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-．【名师点评】本题考查了复数模的运算，是基础题. 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .【答案】2【详细分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【答案详解】1|||1|2z i ==+.【名师点评】本题考查了复数模的运算，属于简单题.考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【详细分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义详细分析判断.【答案详解】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-.故选：D3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i --在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【详细分析】利用复数的除法可化简2i13i --，从而可求对应的点的位置. 【答案详解】()()2i 13i 2i 55i 1i 13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i -- 【答案】B【详细分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【答案详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-.故选：B.【名师点评】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本详细分析求解能力，属基础题. 5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【详细分析】先求出共轭复数再判断结果.【答案详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（‐3，‐2）位于第三象限．故选C ．【名师点评】本题考点为共轭复数，为基础题目．6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【详细分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【答案详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -==则22(1)1y x +-=．故选C ．【名师点评】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．。

高考数学专题《复数》练习

专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i -的虚部是（） A ．310- B ．110- C ．110 D ．3102．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（）A ．–4B ．4C ．–4iD ．4i3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i + 5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i -- 6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i - 7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（）A ．–34i -B ．34i -+C ．34i -D ．34i + 8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（） A ．1- B ．1 C ．3- D ．39．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（）A B C ．3 D ．510．（2019·全国高考真题（文））设，则=（） A ．2 B C D ．11．（2010·山东高考真题（文））已知，，其中为虚数单位，则=（）A ．-1B ．1C ．2D ．3z z ⋅=3i 12i z -=+z 2a i b i i +=+,a b ∈R i +a b 练提升练基础2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( ) A ． B ．ｉ C ． D ． 3．（2018·全国高考真题（理））设，则（） A ． B ． C ． D4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（） A ． B ． C ． D．5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，则（）A ．1或 B或 C ．D6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（）A ．2i -B ．2i -+C ．2i +D ．2i --7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin3cos3,sin3cos3+-B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数 9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（）A ．1z z ⋅=212i i+-i -35i -35i 1i 2i 1iz -=++||z =0121z 1-5i z 2i -2i +2i --2i -+R a ∈i z a =+4z z ⋅=a =1-B ．1z z+为实数 C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限 D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ （O 为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．-4 2．（2021·全国·高考真题）复数2i 13i --在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1CD ．24．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （）A ．0B ．1CD ．25.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．z z i 12i z ⋅=+z 练真题。

2025届高考数学一轮总复习课时跟踪练三十一数系的扩充与复数的引入理含解析新人教A版

课时跟踪练(三十一)A 组基础巩固1．(2024·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－iD ．3＋i解析：(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i. 答案：D2．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－3，m ＜1，⇒－3＜m ＜1. 答案：A3．(2024·武邑模拟)设i 是虚数单位，复数a ＋i2－i是纯虚数，则实数a ＝( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2解析：因为a ＋i 2－i ＝（a ＋i ）（2＋i ）5＝（2a －1）＋（a ＋2）i5是纯虚数，所以2a －1＝0且a ＋2≠0，所以a ＝12.答案：B4．(2024·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：因为x ，y ∈R ，(1＋i)x ＝1＋y i ，所以x ＋x i ＝1＋y i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.答案：B5．(2024·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i 1＋i，则实数a ＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：因为1－i ＝2＋a i 1＋i ＝（2＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋a 2＋a －22i ，所以2＋a 2＝1，且a －22＝－1，解得a ＝0.答案：C6．(2024·安庆二模)已知复数z 满意：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( )A.15－35iB.15＋35iC.13－i D.13＋i 解析：由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，所以z —＝15＋35i. 答案：B7．(2024·深圳二模)设i 为虚数单位，则复数|1－3i|1＋i ＝( )A ．－1＋iB ．－2＋2iC ．1－iD ．2－2i解析：|1－3i|1＋i ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i.答案：C8．(2024·九江联考)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i解析：因为复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，所以z ＝1－i. 答案：D9．(2024·天津十二所重点中学毕业班联考)已知复数3i －ai 的实部与虚部相等(i 为虚数单位)，那么实数a ＝________．解析：因为3i －a i ＝－3－a i－1＝3＋a i 的实部与虚部相等，所以a ＝3. 答案：310．[一题多解](2024·江苏卷)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．解析：法一因为z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，所以|z |＝（－1）2＋32＝10.法二 |z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10. 答案：1011．(2024·江苏卷)若复数z 满意i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．解析：因为i·z ＝1＋2i ，所以z ＝1＋2i i ＝（1＋2i ）（－i ）i ×（－i ）＝2－i.所以复数z 的实部为2. 答案：212．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．解析：因为|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 答案： 3B 组素养提升13．(2024·江西八所重点中学联考)设复数z 满意z ＝|2＋i|＋2i i (i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．3 B.10 C ．9 D ．10解析：z ＝|2＋i|＋2i i ＝5＋2i i ＝（5＋2i ）（－i ）i·（－i ）＝2－5i ，则|z |＝|2－5i|＝4＋5＝3. 答案：A14．(2024·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z —，若(1－22i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，z ＝a －b i ，则3z 2＋z－2＝2a ＋b i ，故2a ＋b i ＝5－2i 1－22i＝1＋2i ，故a ＝12，b ＝ 2.则在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，位于第一象限．答案：A15．(2024·三湘名校教化联盟联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i ，则以下为真命题的是( )A ．z 的共轭复数为75－4i5B ．z 的虚部为85C ．|z |＝3D ．z 在复平面内对应的点在第一象限解析：因为z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5，所以z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限．答案：D16．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i (a ∈R)的实部为－3，则|z |＝________．解析：因为z ＝1－a i 1＋i ＝（1－a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－a －（a ＋1）i2的实部为－3，所以1－a 2＝－3，解得a ＝7.所以z ＝－3－4i ，故|z |＝（－3）2＋（－4）2＝5. 答案：5。

人教版最新高考数学复数习题及答案Word版

高考复习试卷（附参考答案）、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题 5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）3 — i1 . (2013 •山东复数等于1 — i A . 1 + 2i B . 1 — 2iC . 2 + iD . 2 — i答案：C 3 + 2i 3 — 2i2. (2013 •宁夏、海南)复数2—i —応 A. 0 B . 2C .— 2iD . 2i答案：D3+ 2i3 — 2i (3 + 2i)(2 + 3i) (3 — 2i)(2 — 3i) 13i — 13i 解析： — = — = — =i + i = 2i.2— 3i 2 + 3i (2 — 3i)(2 + 3i) (2 — 3i)(2 + 3i) 13 13z + 23. (2013 •陕西已知z 是纯虚数，是实数，那么z 等于( )1 — i A . 2i B . iC . — iD . — 2i答案：D解析：由题意得 z = a i.(a € R 且a 丰0).z + 2 (2 + a i)(1 + i) 2 — a + (a + 2)i''1 — i = (1 — i)(1 + i) =2，则 a + 2 = 0 ,'a =— 2.有 z =— 2i ,故选 D.4 . (2013 •武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )= x 3 — x 2 + x — 1，则f (i)= ( )A . 2iB . 0C . — 2iD . — 2答案：B解析：依题意，f (i) = i 3 — i 2 + i — 1 =— i + 1 + i — 1 = 0,选择 B.2 — i5 . (2013 •北京朝阳4月復数z = (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )1 + iA .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案：D2 — i 1 3解析：z = =一一「，它对应的点在第四象限，故选D.1 + i2 22 + i•北京东城3月）若将复数表示为a + b i （a , b € R , i 是虚数单位）的形式,i( ) 1 D._ 2解析：百(3 — i)(1 + i)(1 — i)(1 + 4 + 2ih = 2 + L 故选 C.b则一的值为a6 . (2013答案：A2 + i b解析：=1 —2i，把它表示为a + b i（a, b € R, i是虚数单位）的形式，贝U的值为一2，故选A. iaA. bc + ad 丰 0 C. bc —ad = 0答案：Ca +b i (a + b i)(c —d i) 解析：因为石ac + bd bc —adL +右i，所以由题意有7 . (2013 -北京西城4月）设i是虚数单位，复数z = tan45i • sin60z2等于则( )A.] 3iC・4+ . 3i答案：B解析：z= 8 . (2013J3 1厂i • sin6—1°戸z2= —- 3i，故选 B.2 4 v•黄冈中学一模）过原点和“ 3 —i在复平面内对应的直线的倾斜角为tan45n A.—62 C. —n 35 D.—n 6答案:解析: -3 —i对应的点为C 3 , —1），所求直线的斜率为一5，则倾斜角为一冗,6故选D.9 •设a、b、c、d € R，若a + b i财为实数，则110 .已知复数z= 1 —2i，那么 ==z■525 B.—51 2C.— +_ i5 _1 2D.——i5 5答案:解析:1z= 1 —2i知z= 1+ 2i，于是；=1 + 2i 1 + 41 1 —2i 1 2—_i.故选D.5Z111 .已知复数Z1 = 3 —b i, Z2 = 1 —2i，若—是实数，则实数Z2的值为C. 0 1D.—6答案:解析: Z1 3 —b i (3 —b i)(1 + 2i)Z2 1 —2i (1 —2i)(1 + 2i)（3 + 2b）+ （6 —b）i是实数，则实数b的值为6 , 故选A.bc —ad 工0bc + ad = 0c2+ d2bc —ad寸=0? bc - ad= °.5i, a(i) =12 . （2013 •广东设z是复数，a z）表示满足z n= 1的最小正整数n ,则对虚数单位C. 65精品文档2答案：B解析： a(i )表示i n = 1的最小正整数 n ,因i 4k = 1( k € N )，显然n = 4，即a(i )= 4•故选B. 1 - 313 .若 z = 一+^—i ,且(x — z )4 = a o x 4+ a i x 3 + a 2X 2+ a 3x + a 4，贝U a 2等于 ( )2 2A . —2+ C . 6 + 33i答案：B 解析：••• T r +1 = C 4x 4—r( — z )r ,由 4 — r = 2 得 r = 2 ,2 B. — 3答案：C(2 — bi )(1 — 2i )(2 — 2b ) (— 4 — b )+ i 5 5 2 — 2b — 4 — b 由 =— 得b5 51也16 .设函数 f (x ) = — x 5 + 5x 4— 10x 5+ 10x 6— 5x + 1，贝U f (； + 2 i )的值为1五 A .— 一+一 i 22'3 1 B. —_ i2 2也1D .—门+」2 21 + 2i解析：6 bi1/a2= C 2(— Z )2= 6 X (—2=—3 + 3 3i .故选 B.14 .若△ABC 是锐角三角形，则复数 z = (cos B — si n A ) + i (si n B — cos A )对应的点位于( A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限答案：B解析：•「△ABC 为锐角三角形,•••A + B > 90 °,B > 90 4,/• cos B v sin A , sin B > cos A ,• cos B — si n A v 0, sin B — cos A > 0 ,•••z 对应的点在第二象限.15 .如果复数 2 — bi土（其中i 为虚数单位,b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于）C .答案：C解析：「f(x) = —(x —1)521 - 3 1 - 3 •••f (2 +〒)=-(2 +〒-1)51乐=—35(其中 3=— 2+ _^i)1 - 3 1 - 3 =—3 =— (———i) = + ^- i. 2 2 2 217 .若i 是虚数单位，则满足(p + qi )2= q + pi 的实数p , q 一共有 A . 1对 B . 2对C . 3对D . 4对答案：D2 2p 2 — q 2= q ,解析：由(p + qi )2= q + pi 得(p 2— q 2) + 2pqi = q + pi ,所以2pq = p .因此满足条件的实数 p , q 一共有4对.总结评述：本题主要考查复数的基本运算，解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决，解答中要特1别注意不要出现漏解现象，如由2pq = p 应得到p = 0或q = ~.2 x20618 .已知0)6的展开式中，不含x p 的项是一，那么正数p 的值是(A . 1B . 2C . 3D . 4答案: C解析: 由题意得1 20:C 6A 2=万，求得 p = 3.故选C.总结评述：本题考查二项式定理的展开式，注意搭配展开式中不含 x 的项，即找常数项19 . 复数z =- -lg( x 2 + 2) — (2x+ 2 — x—1)i (x € R)在复平面内对应的点位于 ( )A .第一象限B .第二象限C. 第三象限 D .第四象限答案：C解析：本题考查复数与复平面上的点之间的关系，复数与复平面上的点是 -- 对应的关系，即 z = a + bi ,与复平面上的点 Z (a , b )对应，由 z = — lg(x 2 + 2) — (2x + 2—x — 1)i (x € R)知：a = — lg(x 2 + 2) v 0 ,又 2x + 2 — x — 1 >2 2x • — x — 1 = 1 > 0； •••—(2x + 2 — x — 1) v 0,即卩b v 0.・a ( b )应为第三象限的点，故选C.20 .设复数z + i (z € C)在映射f 下的象为复数z 的共轭复数与i 的积，若复数3在映射f 下的象为—1 + 2i ,则相应的3 为 () A . 2 B . 2 — 2i C .— 2 + i D . 2 + i答案：A解析：令 3 = a + bi , a , b € R ,贝U 3= [a + (b — 1)i ] + i , •映射 f 下 3 的象为[a — (b — 1)i ] i = (b — 1) + ai = — 1 + 2i .p = 0,p = 0,解得或q = 0, q = — 1 ,\3p=—2，第H卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

【一轮复习】数学新高考-----31道真题+24道模拟题02复数(含解析)可下载

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题02复数1．【2022年全国甲卷理科01】若z =−1+√3i ，则zzz ̅−1=（） A ．−1+√3iB ．−1−√3iC ．−13+√33iD ．−13−√33i【解析】z ̅=−1−√3i ，zz ̅=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4. z zz ̅−1=−1+√3i3=−13+√33i ，故选：C2．【2022年全国乙卷理科02】已知z =1−2i ，且z +az ̅+b =0，其中a ，b 为实数，则（） A ．a =1,b =−2B ．a =−1,b =2C ．a =1,b =2D ．a =−1,b =−2【解析】z ̅=1+2i ，z +az ̅+b =1−2i +a(1+2i)+b =(1+a +b)+(2a −2)i ，由z +az̅+b =0，得{1+a +b =02a −2=0，即{a =1b =−2，故选：A3．【2022年新高考1卷02】若i (1−z)=1，则z +z ̅=（） A ．−2B ．−1C ．1D ．2【解析】由题设有1−z =1i=i i2=−i ，故z =1+i ，故z +z ̅=(1+i)+(1−i)=2，故选：D4．【2022年新高考2卷02】(2+2i)(1−2i)=（） A ．−2+4i B ．−2−4i C ．6+2i D ．6−2i【解析】(2+2i)(1−2i)=2+4−4i +2i =6−2i ，故选：D.5．【2021年全国甲卷理科3】已知(1−i)2z =3+2i ，则z =（） A ．−1−32iB ．−1+32iC ．−32+iD ．−32−i【解析】(1−i)2z =−2iz =3+2i ，z =3+2i −2i=(3+2i)⋅i −2i⋅i=−2+3i 2=−1+32i . 故选：B.6．【2021年新高考1卷2】已知z =2−i ，则z(z ̅+i)=（） A ．6−2iB ．4−2iC ．6+2iD ．4+2i【解析】因为z =2−i ，故z ̅=2+i ，故z (z ̅+i )=(2−i )(2+2i )=4+4i −2i −2i 2=6+2i ，故选：C.7．【2021年全国乙卷理科1】设2(z +z ̅)+3(z −z ̅)=4+6i ，则z =（） A ．1−2iB ．1+2iC ．1+iD ．1−i【解析】设z =a +bi ，则z ̅=a −bi ，则2(z +z ̅)+3(z −z ̅)=4a +6bi =4+6i ，∴{4a =46b =6，解得a =b =1，因此，z =1+i . 故选：C.真题汇总8．【2021年新高考2卷1】复数2−i 1−3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】2−i 1−3i=(2−i)(1+3i)10=5+5i 10=1+i 2，所以该复数对应的点为(12,12)，该点在第一象限，故选：A.9．【2020年全国1卷理科01】若z=1+i ，则|z 2–2z|=（） A ．0 B ．1 C ．√2 D ．2【解析】由题意可得：z 2=(1+i )2=2i ，则z 2−2z =2i −2(1+i )=−2. 故|z 2−2z |=|−2|=2. 故选：D10．【2020年全国3卷理科02】复数11−3i的虚部是（）A ．−310 B ．−110 C ．110 D ．310【解析】因为z =11−3i=1+3i (1−3i)(1+3i)=110+310i ，所以复数z =11−3i的虚部为310. 故选：D.11．【2020年山东卷02】2−i1+2i =（） A ．1B ．−1C ．iD ．−i【解析】2−i 1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i 5=−i ，故选：D12．【2020年海南卷02】2−i 1+2i=（）A ．1B ．−1C ．iD ．−i【解析】2−i 1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i 5=−i ，故选：D13．【2019年新课标3理科02】若z （1+i ）＝2i ，则z ＝（） A ．﹣1﹣i B ．﹣1+i C ．1﹣iD ．1+i【解析】由z （1+i ）＝2i ，得z =2i 1+i=2i(1−i)2＝1+i ．故选：D ．14．【2019年全国新课标2理科02】设z ＝﹣3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】∵z ＝﹣3+2i ，∴z =−3−2i ，∴在复平面内z 对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．故选：C ．15．【2019年新课标1理科02】设复数z 满足|z ﹣i|＝1，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（） A ．（x+1）2+y 2＝1B ．（x ﹣1）2+y 2＝1C ．x 2+（y ﹣1）2＝1D ．x 2+（y+1）2＝1【解析】∵z 在复平面内对应的点为（x ，y ），∴z ＝x+yi ，∴z ﹣i ＝x+（y ﹣1）i ，∴|z ﹣i|=√x 2+(y −1)2=1， ∴x 2+（y ﹣1）2＝1，故选：C ．16．【2018年新课标1理科01】设z =1−i1+i +2i ，则|z|＝（） A ．0B ．12C ．1D ．√2【解析】z =1−i 1+i+2i =(1−i)(1−i)(1−i)(1+i)+2i ＝﹣i+2i ＝i ，则|z|＝1．故选：C ．17．【2018年新课标2理科01】1+2i 1−2i =（）A ．−45−35i B ．−45+35i C ．−35−45i D ．−35+45i【解析】1+2i 1−2i=(1+2i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−35+45i ．故选：D ．18．【2018年新课标3理科02】（1+i ）（2﹣i ）＝（） A ．﹣3﹣i B ．﹣3+i C ．3﹣i D ．3+i【解析】（1+i ）（2﹣i ）＝3+i ．故选：D ．19．【2017年新课标1理科03】设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z∈R ．其中的真命题为（） A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4【解析】若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ，故命题p 1为真命题； p 2：复数z ＝i 满足z 2＝﹣1∈R ，则z ∉R ，故命题p 2为假命题；p 3：若复数z 1＝i ，z 2＝2i 满足z 1z 2∈R ，但z 1≠z 2，故命题p 3为假命题； p 4：若复数z ∈R ，则z =z ∈R ，故命题p 4为真命题．故选：B ．20．【2017年新课标2理科01】3+i 1+i=（）A ．1+2iB ．1﹣2iC ．2+iD ．2﹣i【解析】3+i 1+i=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i 2=2﹣i ，故选：D ．21．【2017年新课标3理科02】设复数z 满足（1+i ）z ＝2i ，则|z|＝（） A ．12B ．√22C ．√2D ．2 【解析】∵（1+i ）z ＝2i ，∴（1﹣i ）（1+i ）z ＝2i （1﹣i ），z ＝i+1．则|z|=√2．故选：C ．22．【2016年新课标1理科02】设（1+i ）x ＝1+yi ，其中x ，y 是实数，则|x+yi|＝（） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解析】∵（1+i ）x ＝1+yi ，∴x+xi ＝1+yi ，即{x =1y =x ，解得{x =1y =1，即|x+yi|＝|1+i|=√2，故选：B ．23．【2016年新课标2理科01】已知z ＝（m+3）+（m ﹣1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（） A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）【解析】z ＝(m +3)+(m ﹣1)i 在复平面内对应的点在第四象限，可得：{m +3＞0m −1＜0，解得﹣3＜m ＜1．故选：A ．24．【2016年新课标3理科02】若z ＝1+2i ，则4i z⋅z−1=（）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i【解析】z ＝1+2i ，则zz−14i(1+2i)(1−2i)−1=4i 5−1=i ．故选：C ．25．【2015年新课标1理科01】设复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z|＝（）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解析】∵复数z 满足1+z 1−z=i ，∴1+z ＝i ﹣zi ，∴z （1+i ）＝i ﹣1，∴z =i−1i+1=i ，∴|z|＝1，故选：A ．26．【2015年新课标2理科02】若a 为实数，且（2+ai ）（a ﹣2i ）＝﹣4i ，则a ＝（） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【解析】∵（2+ai ）（a ﹣2i ）＝﹣4i ，∴4a+（a 2﹣4）i ＝﹣4i ，4a ＝0，并且a 2﹣4＝﹣4，∴a ＝0；故选：B27．【2014年新课标1理科02】(1+i)3(1−i)2=（）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i【解析】(1+i)3(1−i)2=2i(1+i)−2i=−（1+i ）＝﹣1﹣i ，故选：D ．28．【2014年新课标2理科02】设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2+i ，则z 1z 2＝（） A ．﹣5 B ．5C ．﹣4+iD ．﹣4﹣i【解析】z 1＝2+i 对应的点的坐标为（2，1），∵复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z 2＝﹣2+i ，则z 1z 2＝（2+i ）（﹣2+i ）＝i 2﹣4＝﹣1﹣4＝﹣5，故选：A ．29．【2013年新课标1理科02】若复数z 满足（3﹣4i ）z ＝|4+3i|，则z 的虚部为（） A ．﹣4 B ．−45C ．4D ．45【解析】∵复数z 满足（3﹣4i ）z ＝|4+3i|，∴z =|4+3i|3−4i=53−4i=5(3+4i)25=35+45i ，故z 的虚部等于45，故选：D30．【2013年新课标2理科02】设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解析】∵复数z满足z（1﹣i）＝2i，∴z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，故选：A．31．【2020年全国2卷理科15】设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=√3+i，则|z1−z2|=__________.【解析】∵|z1|=|z2|=2，可设z1=2cosθ+2sinθ⋅i，z2=2cosα+2sinα⋅i，∴z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)⋅i=√3+i，∴{2(cosθ+cosα)=√32(sinθ+sinα)=1，两式平方作和得：4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4，化简得：cosθcosα+sinθsinα=−12，∴|z1−z2|=|2(cosθ−cosα)+2(sinθ−sinα)⋅i|=√4(cosθ−cosα)2+4(sinθ−sinα)2=√8−8(cosθcosα+sinθsinα)=√8+4=2√3. 故答案为：2√3.1. 已知复数z满足(1−i)(1+z)=2−i，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵(1−i)(1+z)=2−i，∴z=2−i1−i −1=11−i，∴z=1(1+i)(1−i)(1+i)=12+12i，∴复数z在复平面内对应的点为(12，12)，故复数z在复平面内对应的点在第一象限，故选：A.2．已知z+iz−i=2i（i为虚数单位），则z̅=（）A．45+35iB．35−45iC．35+45iD．45−35i【解析】由题设z+i=2z i−2i2=2z i+2，则(2i−1)z=i−2，所以z=i−22i−1=(i−2)(2i+1)(2i−1)(2i+1)=4+3i5，故z̅=4−3i5. 故选：D3．已知复数a2−4+(a−2)i是纯虚数（i为虚数单位），则a=（）A．2或−2B．2C．−2D．0【解析】因为复数a2−4+(a−2)i是纯虚数，所以a2−4=0且a≠2，所以a=−2．故选：C.4．已知复数z=1+i，则|z2+z|=（）A．√10B．4C．3√2D．10【解析】复数z=1+i，则z2=(1+i)2=2i，故|z2+z|=|1+3i|=√12+32=√10，故选：A5．在复平面内，复数z=1−2ii对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】z=1−2ii =(1−2i)⋅(−i)i⋅(−i)=−2−i，所以复数z在复平面上的对应点为(−2,−1)，该点在第三象限. 故选：C 模拟好题6．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,2)，则1+3iz−i=（）A．−2−2i B．1−i C．2+2i D．1−2i【解析】由题意得z=−1+2i，所以1+3iz−i =(1+3i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=2−4i2=1−2i. 故选：D.7．设z1,z2为复数，z1,z2分别是z1,z2的共轭复数，满足z1⋅z2=|z1|2，则下列一定成立的是（）A．z1=z2B．z1=z2C．z2=0D．z2=z2【解析】设z1=a+bi(a,b∈R)，则z2=|a+bi|2a+bi =a2+b2a+bi=(a2+b2)(a−bi)a2+b2=a−bi，所以C错，z2=a+bi，当b≠0时，z1≠z2，z2≠z2，A错，D错，z1=a−bi=z2，B对，故选：B.8．已知i为虚数单位，a为实数，复数z=a−2i1−i在复平面内对应的点在y轴上，则a的值是（）A．-2B．−12C．12D．2【解析】由z=a−2i1−i =(a−2i)(1+i)(1−i)(1+i)=a+2+(a−2)i2=a+22+(a−2)i2，因为复数z在复平面内对应的点在y轴上，所以a+22=0,a−22≠0，则a=−2，故选：A9．已知复数z̅=1+3i，则1z=（）A．110+310i B．110−310i C．−110+310i D．−110−310i【解析】因为z̅=1+3i，所以z=1−3i，所似1z =11−3i=1+3i(1−3i)(1+3i)=1+3i10=110+310i．故选A．10．在复平面上表示复数z的点在直线x−y=0上，若z是实系数一元二次方程x2+mx+4=0的根，则m=（）A．√2或−√2B．√2或2√2C．2√2或−2√2D．−√2或−2√2【解析】设z=a+ai(a∈R)，则(a+ai)2+m(a+ai)+4=0，化简2a2i+ma+mai+4=0，即(ma+4)+(ma+2a2)i=0，所以{ma+4=0ma+2a2=0，解得m=2√2或−2√2，故选：C.11．已知复数z1,z2，则下列说法正确的是（）A．若|z1|=|z2|，则z1=±z2B．若z12=z22，则|z1|=|z2|C．若|z1|>|z2|，则z1>z2D．若(z1+z2)(z1−z2)=0，则z12=z22【解析】对于A，若z1=1+i,z2=√2i，则满足|z1|=|z2|=√2，而不满足z1=±z2，所以A错误，对于B，由z12=z22，得z12−z22=(z1+z2)(z1−z2)=0，所以z1+z2=0或z1−z2=0，所以z1=−z2或z1=z2，所以|z1|=|z2|，所以B正确，对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误，对于D，由(z1+z2)(z1−z2)=0，得z12−z22=0，所以z12=z22，所以D正确，故选：BD12．在复数范围内，下列命题不正确的是（）A．若z是非零复数，则z−z不一定是纯虚数B．若复数z满足z2=−|z2|，则z是纯虚数C．若z12+z22=0，则z1=0且z2=0D．若z1，z2为两个复数，则z1−z2一定是实数【解析】对于A，设z=a+bi(a，b∈R)，z=a−bi，z−z=2bi，但有可能b=0，就不一定是纯虚数，故A正确；对于B，设z=a+bi(a，b∈R)，z2=a2−b2+2abi，|z2|=√(a2−b2)2+4a2b2=a2+b2，由条件可知z2=−|z2|，即a2−b2+2abi=−(a2+b2)，所以{a 2=−a22ab=0，因为a，b可同时为0，所以z不一定是纯虚数，故B错误；对于C，若z1=1，z2=i，z12+z22=0，故C错误；对于D，设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R)，则z2=c−di，所以z1−z2=(a−c)+(b+d)i不一定是实数，故D不正确．故选：BCD．13．已知z1，z2均为复数，则下列结论中正确的有（）A．若|z1|=|z2|，则z1=±z2B．若z1=z2，则z1+z2是实数C．(z1−z2)2=|z1−z2|2D．若z1+z2=0，则z1z2是实数【解析】z1=1，z2=−i，|z1|=|z2|而z1≠±z2，A错．令z1=a+bi，则z2=a−bi，z1+z2=2a为实数，B对．z1=1，z2=i，(z1−z2)2=−2i，|z1−z2|2=2，则(z1−z2)2≠|z1−z2|2，C错．令z1=a+bi，则z2=−a−bi，z2=−a+bi，z1⋅z2=(a+bi)(−a+bi)=−a2−b2为实数，D对，故选：BD14．已知复数z满足方程(z2−4)(z2−4z+5)=0，则（）A．z可能为纯虚数B．方程各根之和为4 C．z可能为2−i D．方程各根之积为−20【解析】由(z2−4)(z2−4z+5)=0，得z2−4=0或z2−4z+5=0，即z2=4或(z−2)2=−1，解得：z=±2或z=2±i，显然A错误，C正确；各根之和为−2+2+(2+i)+(2−i)=4，B正确各根之积为−2×2×(2+i)(2−i)=−20，D正确，故选：BCD.15．复数z满足z=2−i（其中i为虚数单位），则|z|=__________．【解析】由已知可得|z|=√22+(−1)2=√5. 故答案为：√5.16．已知i为虚数单位，则复数z=|1+2i|2+i___________.【解析】z=|1+2i|2+i =√12+22⋅1(2+i)=√5⋅2−i(2+i)(2−i)=√5⋅2−i5=2√55−√55i，故答案为：2√55−√55i.17．已知复数z=1−√3i，则z⋅z＝________．【解析】z=√3i)(1−√3i)(1+√3i)−√3+i4，故z⋅z=−√3+i4⋅−√3−i4=3+116=14，故答案为：1418．若1−√3i （i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0的一个复数根，则c b =_________．【解析】∵实系数一元二次方程x 2+bx +c =0的一个虚根为1−√3i ，∴其共轭复数1+√3i 也是方程的根. 由根与系数的关系知，{(1−√3i)+(1+√3i)=−b (1−√3i)(1+√3i)=c，∴ b =−2，c =4. ∴c b =4−2=116，故答案为：11619．如果复数z 满足|z +1−i |=2，那么|z −2+i |的最大值是______ ．【解析】设复数z 在复平面中对应的点为Z ，∵|z +1−i |=2，则点Z 到点C (−1,1)的距离为2，即点Z 的轨迹为以C 为圆心，半径为2的圆，|z −2+i |表示点Z 到点A (2,−1)的距离，结合图形可得|ZA |≤|AC |+2=2+√13，故答案为：2+√13．20．i 是虚数单位，则1+i3+4i的虚部为__________．【解析】1+i3+4i =(1+i )(3−4i )(3+4i )(3−4i )=3−i−4i 232−16i 2=725−125i ，则虚部为−125. 故答案为：−125.21．已知i 是虚数单位，复数z 满足1+z 2i=−11+i ，则z =________．【解析】因为1+z 2i=−11+i，所以z =−2i1+i −1=−2i(1−i)(1+i(1−i)−1=−(i −i 2)−1=−2−i ．故答案为：−2−i ．22．已知i 为虚数单位，则复数z =−1+2i 1+i的实部为______．【解析】z =−1+2i 1+i=(2i−1)(1−i)(1+i)(1−i)=3i+12，所以实部为12. 故答案为：1223．设复数z =a +bi(a,b >0，a,b ∈R)，若复数z(1+i)对应的点在直线x +3y −2=0上，则2a +1b 的最小值为___________【解析】z(1+i)=(a +bi)(1+i)=(a −b)+(a +b)i ,故复数对应的点的坐标为(a −b,a +b) ，又因为点在直线x +3y −2=0，∴(a −b)+3(a +b)−2=0 ，整理得：2a +b =12a+1b=(2a+1b)(2a +b)=5+2b a+2a b≥5+2√2b a·2a b=9 ，当且仅当2b a =2a b时，即a =b 时等号成立，即2a +1b 的最小值为9，故答案为：924．若复数z =2i 1+i，则z 在复平面内对应的点在第______象限．【解析】因为z =2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i(1−i)2=1+i ，所以z 在复平面内对应的点(1,1)在第一象限. 故答案为：一。

2021年新高考数学一轮复习单元检测试卷：第四单元三角函数(B卷提升检测)(解析版)

『高考一轮复习精品』『单元检测试卷AB双卷』第四单元三角函数B 卷滚动提升检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【2020陕西省西安中学期末】已知函数()()sin ,042,0xx f x f x x π⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则()3f -的值为（） A ．1- B ．22C ．1D ．22-【答案】B【解析】依题意()()()()()23321121sin 42f f f f f π-=-+=-=-+===. 故选B2. 【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）． A. (1,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选D.3.【2020浙江省浙江邵外期中】设2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（）象限角 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】∵2α是第一象限角，∴360903602k k α︒<<︒+︒，k Z ∈， ∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角， ∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角. 故选B.4. 【2020云南省云南师大附中高三其他（理）】已知角4πα+的终边与单位圆221x y +=交于0P x ⎛ ⎝⎭，则sin 2α等于（） A ．13- B ．23-C ．13D ．23【答案】A【解析】由任意角三角函数定义可得πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 2cos 22αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2π12sin 143α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，故选A .5.【2020甘肃省高三其他（理）】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当02x <<时，()22x x f x +=-，则()5f =（）A ．3B ．3-C ．7D ．7-【答案】D【解析】由题意可得()()22f x f x +=-+，所以()()()()()()35323211217f f f f f =+=-+=-=-=--=-.故选D.6. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ωππ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962ωπππ-⋅+=-，解得32ω=.所以函数()f x 最小正周期为224332T ωπππ=== 故选C ．7. 【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是A．30303sin tannn n︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭B．30306sin tannn n︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭C．60603sin tannn n︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭D．60606sin tannn n︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】A【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn︒，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为3012sinnn︒，单位圆的外切正6n边形的每条边长为302tann︒，其周长为3012tannn︒，303012sin12tan303026sin tan2n nn n nn nπ︒︒+︒︒⎛⎫∴==+⎪⎝⎭，则30303sin tannn nπ︒︒⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选A．8.【2020湖南省高三其他（理）】已知函数sin(0)y ax b a=+>的图象如图所示，则函数log()ay x b=-的图象可能（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数sin(0)y ax b a=+>的图象可得201,23baπππ<<<<，213a∴<<，故函数log()ay x b=-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b+.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.【2020山东省高三其他】将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数ω可能的取值为（） A ．23B ．1C ．65D ．2【答案】ABC【解析】由题意，将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度，得到函数()sin 12y g x x ωπω⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则满足1222122ωππωπωππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得605ω<≤，所以实数ω的可能的取值为26,1,35. 故选ABC.10.【2020三亚华侨学校高三测试】设函数()f x 是定义在R 上的函数，满足()()0f x f x --=，且对任意的x ∈R ，恒有(2)(2)f x f x +=-，已知当[0,2]x ∈时，21()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（）A ．函数()f x 的最大值是1，最小值是14B ．函数()f x 是周期函数，且周期为2C ．函数()f x 在[2,4]上递减，在[4,6]上递增D ．当[2,4]x ∈时，21()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】因为函数()f x 满足()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，因为()(2)(2)2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，B 错误，因为当[0,2]x ∈时，221()22xx f x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以当[0,2]x ∈时，函数()f x 是增函数，最大值为1，最小值为14，根据函数()f x 是偶函数可知当[2,2]x ∈-时最大值为1、最小值为14，根据函数()f x 是周期为4的周期函数可知当x ∈R 时，最大值为1，最小值为14，A 正确，因为当[0,2]x ∈时，函数()f x 是增函数，所以当[2,0]x ∈-时，函数()f x 是减函数，所以根据函数()f x 周期为4可知函数()f x 在[2,4]上递减，在[4,6]上递增，C 正确，令[2,0]x ∈-，则[0,2]x -∈，()21()2xf x f x +⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故当[2,0]x ∈-，21()2xf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，令[2,4]x ∈，则4[2,0]x ，()24211(4)22x x f x f x +--⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当[2,4]x ∈，()212x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 错误，故选AC.11.【2020山东省济宁一中高三一模】若集合{}sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则正确的结论有（） A ．A B B ⋃= B ．RRB A ⊆C ．AB =∅D ．RRA B ⊆【答案】AB【解析】由{}4sin 21,,44k A x x x x k k Z x x k Z ππππ+⎧⎫⎧⎫====+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，又2,,424k k B y y k Z y y k Z ππππ+⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，显然集合{}{}4,2,x x k k Z x x k k Z ππππ=+∈⊆=+∈ 所以A B ⊆，则A B B ⋃=成立，所以选项A 正确.RRB A ⊆成立，所以选项B 正确，选项D 不正确.A B A =，所以选项C 不正确.故选AB12. 【2019山东省高三月考】函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()g x f x x a =-+只有一个零点，则a 可能取的值有（）A ．2B ．1C ．0D ． 2-【答案】ACD【解析】∵()()g x f x x a =-+只有一个零点， ∴函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点，作函数函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩与函数y x a =-的图象如下，结合图象可知，当0a ≤时；函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点；当0a >时，ln(1)y x =-，可得11y x '=-，令111x =-可得2x =，所以函数在2x =时，直线与ln(1)y x =-相切，可得2a =.综合得：0a ≤或2a =. 故选ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【2020广东省金山中学高三三模（文）】若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】79-【解析】已知π1sin 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，且πππ632αα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππ1cos sin 363αα⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22ππ7cos 22cos 1339αα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．14. 【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为(0,)+∞15. 【2020年高考全国III 卷理数】关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误. 故答案为②③.16. 【2019山东省淄博第十中学高三期末】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，则T =________，当01x <≤时()(1)f x x x =+，则(4)(5) f f +等于________．【答案】4 2【解析】因为()()2f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以周期为4T=，函数为奇函数，则(0)0f =，(4)(0)0f f ==，(5)(1)2f f ==，所以(4)(5)2f f +=．故答案为4；2．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【2020陕西省期末】若角α的终边上有一点(),8P m -，且3cos 5α=-. （1）求m 的值；（2）求()()()sin cos 2tan cos ππαααπα⎛⎫++⎪⎝⎭---的值.【答案】（1）-6；（2）45. 【解析】（1）点P 到原点的距离为r ==根据三角函数的概念可得3cos 5α==-，解得6m =-，6m =（舍去）.（2）原式()()()()()()sin cos sin sin 2sin tan cos tan cos ππααααααπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭===-----，由（1）可得10r =，84sin 5r α-==-， ∴原式4sin 5α=-=. 18．【2020上海高三二模】已知函数()431x f x a =-+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[]1,5x ∈，不等式()3xuf x 恒成立，求实数u 的最大值【答案】（1）2a =，奇函数，2a ≠，非奇非偶函数；理由见解析（2）3. 【解析】（1）若函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即443131x x a a --=-+++，对x ∈R 恒成立，所以24a =，解得2a =，又()()11,13f a f a =--=-，对任意实数a ，()()11f f ≠-，所以()f x 不可能为偶函数，所以2a ≠时，函数()f x 是非奇非偶函数. （2）当()f x 为奇函数时，2a =，()4231xf x =-+，因为对任意的[]1,5x ∈，不等式()3xuf x 恒成立，所以对任意的[]1,5x ∈，不等式423133xxx u ⋅≤-+⋅恒成立，令()()232441613331xxx xg x =⋅=⋅-++-++，令[]14,2443xt +∈=，因为462y t t+⋅-=，在[]4,244是增函数，所以当4t =时，min 3y =，即()min 3g x =，所以3u ≤，所以实数u 的最大值是3.19．【2020辽宁省高三其他（理）】如图，点13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，点A 是单位圆与x 轴的正半轴的交点.（1）若AOB α∠=，求sin 2α；（2）设点P 为单位圆上的动点，点Q 满足OQ OA OP =+，ππ262AOP θθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭，()f OB OQ θ=⋅，求()fθ的取值范围.当OB OQ ⊥时，求四边形OAQP 的面积.【答案】（1）3；（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦32【解析】（1）由三角函数定义，可知3sin α=，1cos 2α=-，所以313sin 22sin cos 2222ααα⎛⎫==⨯-=-⎪⎝⎭. （2）由三角函数定义，知()cos2,sin 2P θθ，所以()1cos2,2sin 2OQ OA OP θθ=+=+，所以()()13π11cos 22sin 2262fOB OQ θθθθ⎛⎫=⋅=-+=-- ⎪⎝⎭，因为ππ62θ≤≤，所以ππ5π2666θ≤-≤，即1πsin 2126θ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，于是()102f θ≤≤，所以()f θ的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.当OB OQ ⊥时，()0f OB OQ θ=⋅=，即π12062sin θ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得π23θ=，易知四边形OAQP 为菱形，此时菱形OAQP 的面积为1π211sin 232⨯⨯⨯⨯=.20. 【2020沈阳市第一七0中学期末】已知函数()()cos sin f x x x x =. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若角(0,)απ∈，3()+252=αf ，求2sin(+)3πα的值.【答案】（1）T π=；单调递增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，，；（2）2sin(+)3πα=【解析】（1）2()sin cos f x x x x =1sin 222x x =+sin(2)3x π=++T π∴=令222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，，（2）因为3()+252=αf ，所以3sin()+3252πα++= 故3sin()35πα+= (0)απ∈，，4()333πππα+∈，又3sin()35πα+=，4cos()35πα∴+=-2sin(+)sin()333πππαα∴=++ sin(+)cos cos()sin 3333ππππαα=++ 3143343525-=⨯-⨯=即2343sin(+)3πα-=. 21.【2020合肥市第八中学月考】已知函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来12，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，当方程()g x m =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不同的实数根时，求m 的取值范围.【答案】（1）()4sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）[)2,4. 【解析】（1）由图象可知，函数()y f x =的最小正周期T 满足31134632T πππ=-=，则2T π=， 0ω>，21Tπω∴==，则()()sin =+f x A x φ，由图象可得()max sin 33f x f A ππϕ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，02πϕ<<，5336πππϕ∴<+<，则32ππϕ+=，可得6π=ϕ，则()sin 6f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()10sin262f A A π===，得4A =，因此，()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）将函数()y f x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来12，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到()4sin 24sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，当-0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤-≤，令52,666u x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则直线y m =与函数4sin y u =在5,66u ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点，如下图所示：由图象可知，当24m ≤<时，直线y m =与函数4sin y u =在5,66u ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点，因此，实数m 的取值范围是[)2,4.22. 【2020全国高三一模】已知函数()()()32120ax a b x b f x x a =+++>为奇函数，且()f x 的极小值为16-.()f x '为函数()f x 的导函数. （1）求a 和b 的值；（2）若关于x 的方程()32f x x m ='+有三个不等的实数根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a =，1b =-；（2）()12,11-- 【解析】（1）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x --=恒成立，则()220a b x +=，所以=-b a ，所以()312f x ax ax =-，则()()()2312322x x f x a x a a =-=+-'，令()0f x '=，解得2x =-或2x =，当()2,2x ∈-时，()0f x '<，当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()2,2-单调递减，在()2,+∞单调递增，所以()f x 的极小值为()2f ，由()28241616f a a a =-=-=-，解得1a =，所以1a =，1b =-，（2）由（1）可知()312f x x x =-，()2312f x x '=-，方程()32f x x m ='+，即为233122x x m -=+，即方程3223120x x m -++=有三个不等的实数根，设()322312g x x x m =-++，只要使曲线有3个零点即可，设()2660g x x x '=-=，0x ∴=或1x =分别为()g x 的极值点，当(),0x ∈-∞和()1,+∞时，()0g x '>，()g x 在(),0-∞和()1,+∞上单调递增，当()0,1x ∈时()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减，所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点.所以要使曲线与x 轴有3个交点，当且仅当()()0010g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即120110m m +>⎧⎨+<⎩，解得1211m -<<-.即实数m 的取值范围为()12,11--.。

安徽省蚌埠市2024年七年级生物上册第一单元《生物和生物圈》人教版质量检测模拟卷

安徽省蚌埠市2024年七年级生物上册第一单元《生物和生物圈》人教版质量检测模拟卷学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：60分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、选择题：本大题共30小题，每小题2分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某地大量捕捉青蛙，以至稻田里害虫大量繁殖，水稻减产，原因是破坏了生态系统的（）A．生产者B．分解者C．食物链D．消费者2.雅园生物兴趣小组的同学调查、记录了学校艺术中心前坪的生物及非生物（见下表）。

下列相关叙述不正确的是（）调查内容名称生物部分草、蝗虫、麻雀（吃虫）、蚂蚁、桂花树非生物部分土壤、阳光、水、空气A．表格中的内容构成一个生态系统还缺少细菌与真菌B．调查的生物构成一条食物链：阳光→草→蝗虫→麻雀C．麻雀生命活动所需能量最终来自太阳D．草、桂花树是生产者3.下列诗句所描写的景象中，不属于生命现象的是（）A．鱼戏莲叶间B．小荷才露尖尖角C．长河落日圆D．稻花香里说丰年4.影响荒漠植物生存的主要非生物因素是（）A．水B．温度C．空气D．阳光5.“远上寒山石径斜，白云深处有人家。

停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”。

诗句中不属于生物的是（）A．枫林B．白云C．霜叶D．二月花6.想要知道某座山上植被的分布，应该采取的科学方法是（）A．观察B．调查C．测量D．分析7.如图表示一条食物链中四种生物的相对数量关系。

下列叙述错误的是（）A．这条食物链可表示为：丙→丁→乙→甲B．图中的四种生物和分解者组成了完整的生态系统C．一段时间内，如果乙的数量增加，会导致甲和丙的数量增加D．甲个体内的DDT含量最高8.下列哪一项属于一个生态系统（）A．一所学校的植物B．扎龙自然保护区内所有的生物C．长江里的所有鱼类D．生物圈9.某城市的一块荒地在城市发展过程中被改造成另一个相对稳定的生态系统，改造前后的一些变化见下表。