人教版八年级上册课件123角的平分线的性质共28张

求证：PD=PE.
D PC
O
B
E
注意
特 的
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC 上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE
A
D
C
1
P
2
O
E
B
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） 1.先证所缺条件
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
A
E E
C
D
B
在△OAB中，OE是它的角平分线，且 EA=EB， EC、ED分别垂直 OA，OB，垂足为 C，D.
求证： AC=BD.
O
要证∴ △AEC≌△BED
有哪些条件？需要先证吗？
C
请写出证明过程 A
D
E
B
提示：有角平分线的条件，常考虑角平分线性质
例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于 点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。
角平分线有什么性质呢？
OC是∠ AOB的平分线，点 P是射线 OC上的任意一点，
1. 操 作 测 量 ： 取 点 P 的 三 个 不 同 的 位 置 ， 分 别 过 点 P 作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足， 测量PD、PE的
长.将三次数据填入下表：
A
PD PE
D p
C 第一次 第二次
第三次
在△PDO和△PEO中
2.写齐条件：一个
∠PDO= ∠PEO（已证） 中心三个基本点A
∠1= ∠2 （已证）
D
OP=OP （公共边）
1
C P
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
O
∴PD=PE （全等三角形的对应边相等）
2
EB
你还可以得到其他什么结论？
1.OD=OE
2.PO是∠DPE的平分线
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言描述：∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
作用：判断线段相等的依据 . 不必再证全等
A D
P到OA的距离
C 角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
B
E
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
O
E
B
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：__P__D__=__P_E___
猜想：
角平分线的性质：角的平分线上的点
两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 即
到角的
结论：它到角的两边的距离相等
数学符号表示已知和求证：
已知：OC是∠AOB的平分线，点 P在OC上， A PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是 D、E.
A
D N
F
M
P
B
E
C
点拨：有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线段
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、 CA，垂足为D、E、F
∵BF是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角同平理分P线E上=P的F.点到角的两边的距离相等A）
∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、
√
B
A
不必再证全等
D C
随课巩固
如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上 ,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是 D 、 E,PD=4cm, 则
4 PE=__________cm.
A
C
P
D B
E
O
例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分 ∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D 到AB的距离为？ DE=CD=BC-BD=8-5=3
12.3角平分线的性质
旧知回顾
1.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的
角，这条射线叫做这个角的平分线.
A
符号语言：
1 2
o
∵射线OC是∠AOB的角平分线
C
∴ ∠1= ∠2
B
旧知回顾
2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
叫做这个点到直线的距离.
点P到直线AB的距离
P
就是垂线段PO的长度
个角的两边的距离相等。
（×）
B
A
D
C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ BD = CD ，(
（×）
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。
)
A
B
D
C
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
３．作射线OC．
射线ＯＣ即为所求．
老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
想一想：
为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC
求证：OC平分∠AOB
A
证明：在△OMC和△ONC中，
ABiblioteka Baidu
O
B
旧知回顾
3.三角形的角平分线：
在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角 平分线．
如何做角平分线呢？
活动1
准备一个三角形纸片 ABC ，按图所示的方 法折叠，展开后，折痕 BD 把∠ABC 分成∠1和∠2 两个角．∠1和∠2 有什么关系？
A
B
CB
D
F
CA的距离相等
P
B
C
E 结论：两内角平分线的交点到三边的距离相等
练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于
点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ
Ｍ
OM=ON，
Ｃ
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）Ｂ Ｎ
ＯO
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
C
1〉平分平角∠AOB
B
O
A
D
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，
把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线
AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。
D
1 2
AC B
A D
C
如果前面活动中的纸片换成木板、
钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
A
1、如图，是一个角平分仪，
其中AB=AD,BC=DC。
D
将点A放在角的顶点,AB和AD
沿着角的两边放下,沿AC画一
条射线AE,AE就是角平分线，
你能说明它的道理吗?
B C
A
?2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知） DC=BC（已知）
D
B
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
C
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的
E
对应角相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
根据角平分仪的制作原理怎样作一个 角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
尺规作角的平分线
画法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢ于Ｎ．