理论力学截面图形的几何性质

工程应用实例
杭州湾跨海大桥梁
全长36公里 全长36公里 总投资118亿元 总投资118亿元
混凝土箱梁
钢箱梁
工程应用实例
2004年10月24日报道 2004年10月24日报道： 日报道： 上海外三环过街天桥在 吊装完成近五分钟时突 然垮塌，砸毁三辆汽车 然垮塌， 并有数人受重伤。该天 并有数人受重伤。 桥两根长45米 桥两根长45米,宽三四米 的 T 形梁断裂成数段。 形梁断裂成数段。
dA x
A
π2
∫
π 2R
∫∫
0 0
r 2sin 2θ rdrdθ
1 = sin θ dθ ⋅ r dr = πR4 16 0 0
∫
2
∫
R
3
同理可得对 y 轴的惯性矩
1 I y = πR4 16 1 4 IP = I x + I y = πR 8
对原点的极惯性矩
动脑又动笔
D
y
1 I x = I y = πR4 16
重要结论
若坐标轴之一是图形的对称轴，则两根坐标轴
都是图形的惯性主轴。其中对称轴是形心惯性主轴。
分析和讨论
判断图形的形心惯性主轴
结论
若任意过圆心的轴都是圆的形心惯性主轴。
宽为 b 高为 h 的矩形的形心主惯性矩为多少？ 直径为 d 的圆的形心主惯性矩为多少？
三、平行移轴定理
y y′
如果已知图形对某一坐标系的 惯性矩和惯性积， 惯性矩和惯性积，
要使如图的半圆对 K 轴的惯 性矩为最小，b 性矩为最小，b 应取何值？
图示图形的惯性积是正数还 是负数？
零次矩 一次矩 面积） （面积） 定义 A = ∫ dA
A
二 惯性矩
次 惯性积
矩 极惯性矩
Sx = y dA I x = y2dA
A A
Sy
∫ = ∫ x dA
A
∫
A
I xy = xy dA IP = r 2dA
注意 在应用上述公式时，应确保其中一组坐标系过形心。
否则应用公式 I = I ′ + 2aS ′ + a2 A 。 x x x
重要结论 在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的
惯性矩为最小。 惯性矩为最小。
例 求如图的截面对形心轴的惯性矩。
y 3a a a 5a/ 2 a a xc 3a
I x = I1x + I2 x
4 2 − a 3π
故半圆对 y 轴的惯性矩为
4 2 17 8 4 8 4 1 2 1 I y = π − a + πa ⋅ 2 − a = π − a 3 8 8 9π 2 3π
故原图形对 y 轴的惯性矩为
∫
h2 b2
2
∫∫
2
同理可得对 y 轴的惯性矩
b2
1 3 I y = hb 12
h2
对 xy 轴的惯性积
I xy = xy dA =
A
∫
−b 2
∫ xdx ⋅ ∫ y dy = 0
−h 2
例 求如图半径为 R 的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和 极惯性矩。
y
对 x 轴的惯性矩
r
θ
I x = y2dA =
2
1 17 8 4 80 34 4 3 I y = (4a)(4a) − 2⋅ π − a = − π a = 13.3a4 & 12 3 8 3 8
分析和讨论
A B C a D K R b a a
如图的三角形对哪一根轴的 惯性矩最小？对哪一根轴的惯性 矩最大？
求直角三角形对于过形心的 C 轴的惯性矩。
1 3 I K = bh 24
1 KC = h 6
IC =
1 3 bh 36
例 求如图的截面对 x 和 y 轴的惯性矩。
y a a a a a a a a
已知半圆对 x 轴的惯性矩为
x K
1 1 1 I x = ⋅ π(2a)4 = πa4 2 64 8
故图形对 x 轴的惯性矩为
若图形对某一对轴的惯性积为零，则称这对轴为图形的 惯性主轴 ( principal axes of inertia )。 )。 如果惯性主轴通过形心，则称之为形心惯性主轴 如果惯性主轴通过形心，则称之为形心惯性主轴。 形心惯性主轴。 图形关于惯性主轴的惯性矩称之为主惯性矩 图形关于惯性主轴的惯性矩称之为主惯性矩。形心惯性 主惯性矩。形心惯性 主轴对应的惯性矩，称为形心主惯性矩 主轴对应的惯性矩，称为形心主惯性矩。 形心主惯性矩。
附 录 截面图形的性质
Appendix
Properties of Plane Areas
背景材料 本章基本要求 一、 几何图形的一次矩 二、 几何图形的二次矩 三、 平行移轴定理 本章内容小结
背 景 材 料
背 景 材 料
实体形截面
薄壁杆件（闭口） 薄壁杆件（闭口）
背 景 材 料
薄壁杆件（开口） 薄壁杆件（开口）
c c
c
I1x =
c
I2 x
c
1 13 (3a)a3 + 3a2 ⋅ a2 = a4 12 4 1 21 4 17 4 2 2 3 = a(3a) + 3a ⋅ a = a I x = a 12 4 2
c
动脑又动笔
h K C b
1 1 5 4 3 3 I y = a(3a) + 3a ⋅ a = a 12 12 2
半圆对 C 轴的惯性矩
y C a a a a a a a a 4a/ 3π x C K
1 4 1 1 2 4a + − Ic = πa ? ⋅ π(2a) ⋅ 2 4 8 3π
2
8 4 1 = π − a 8 9π
y 轴与 C 间的距离为
数学工具箱
平面图形中的微元面积 直角坐标系
y b dA x
dA = dx dy dA = bdy
y
如果被积函数与 x 无关
极坐标系
dA = r dr dθ dA = ϕr dr
r dA ϕ dA θ
如果被积函数与 θ 无关
x
例 求如图半径为 R 的四分之一圆的形心位置。
y
Sx = y dA =
A
本 章 基 本 要 求
掌握截面图形的各类一次矩、二次矩的定义并 能进行正确的计算。 熟练掌握典型截面的二次矩。 掌握形心在计算面积矩和惯性矩中所起的作用 并能进行熟练的计算。 了解主惯性矩和形心主惯性矩的概念。
一、几何图形的一次矩
面积矩（静矩）( first moment of area ) 面积矩（静矩）
空心圆
D
1 πD4 (1−α 4 ) 32
重要数据 高为 h 宽为 b 的矩形截面对通过形心且平
1 3 行于底边的坐标轴的惯性矩为 bh 。 12
重要数据 实心圆截面对通过圆心的坐标轴的惯性矩 为 1 πD4 ，极惯性矩为 1 πD4 。空心圆截面的惯性矩
64 32 1 1 πD4 (1−α 4 ) ，极惯性矩为 πD4 (1−α 4 ) ，α 为内径 为 64 32
IP = (x2 + y2 )dA = r 2dA
A A
∫
Baidu Nhomakorabea
∫
例 求如图三角形对 x 轴的惯性矩。
y b h dA x
h 斜边的方程 y = x b
I x = y dA =
2 A
∫
∫∫
0
b hx b
1 hx 1 3 y dydx = dx = bh 3 b 12 0 0
2
∫
b
3
另一计算方案： 另一计算方案： 考虑如图的横向微元面积条
2
I xy = I xy′ + abA
平行移轴定理 ( parallel-axis theorem ) parallely y′
重要公式
b c a x x′ dA y′ x′
I x = I x′ + a 2 A I y = I y′ + b 2 A
I xy = I x′y′ + abA IP = IP′ + (a 2 + b 2 ) A
2
5 yc = a 2
=
20a ≈1.37a 3(8 − π)
二、几何图形的二次矩
惯性矩 ( moment of inertia )
x r dA y x
y
I x = y2dA
A
∫
I y = x2dA
A
∫
惯性积 ( product of inertia )
I xy = xy dA
A
∫
极惯性矩 ( polar moment of inertia )
A A
I y = x2dA
恒正
∫
∫
∫
符号 单位
轴过 形心 关于 形心 计算
恒正 m2 不为零
y
Sx = y dA
A
∫
Sy = x dA
A
∫
xC x
C dA y y C
形心 ( center of an area ) 公式
Sy 1 xC = x dA = A AA
x
∫
yC =
S 1 y dA = x AA A
∫
Sx = yC A Sy = xC A
重要结论 坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。
b dA = b − y dy h
b = 1 bh3 I x = y dA = y b − y dy 12 h 0 A
∫
2
∫
h
2
动脑又动笔
y
求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。
h b x
对 x 轴的惯性矩
1 3 I x = y dA = y dxdy = bh 12 A −h 2 −b 2
形心位于左右对称轴上 以下边缘为基准
形心位于左右对称轴上 以下边缘为基准
7 3 Sx = 3a2 ⋅ a + 3a2 ⋅ a 2 2
1 2 4a 2 yC = (2a) ⋅ a − πa ⋅ 2 3π
=15a3
(2a)2 − 1 πa2 ÷ 2
A = 2⋅ 3a
i i
A = ∑ Ai
i
xC = ∑xCi Ai
i
∑A
i
i
Sy = Sy1 − Sy 2
A = A1− A2
Sy1 − Sy2 xC = A − A2 1
例 求如图截面的形心位置。
3a a 7a/ 2 5a/ 2 a
例 求如图截面的形心位置。
a a 1.37a 1.37a x 2a
3a/ 2
3a x
= 1.66×106 mm4
组合图形
组合图形的分割
例 求如图工字形截面关于水平对 称轴的惯性矩。
60 10 10 60 10
截面可视为 三个矩形之和。
组合图形的 负二次矩法
1 I = ×10× 603 12 1 + 2× × 60×103 错在何处？ 12
=1.90×105 mm4
主惯性矩 ( principal moments of inertia )
x′ x
如何求图形关于另一平行坐标 系的惯性矩和惯性积？ 系的惯性矩和惯性积？
特别地，先考虑过形心的坐标系。
平行移轴定理 ( parallel-axis theorem ) parallely y′ x′ dA y′ c a x
（x ，y ）—— 普通坐标系。
x′
b
（x′，y′） —— 形心坐标系。
x
求图形的惯性矩。
y D x
1 D 1 = π = πD4 16 2 256
4
实心圆
1 I x = I y = πD4 64
1 IP = πD4 32
y x d
Ix = I y = IP =
1 1 π(D4 − d 4 ) = πD4 (1−α 4 ) 64 64
d α = D
∫
π 2R
∫∫ r sinθ rdr dθ
0 0
r
θ
dA
x
1 3 = sinθ dθ ⋅ r dr = R 3 0 0
π2
∫
∫
R
2
1 2 A= πR 4
4R yC = 3π xC = 4R 3π
同理
组合图形的计算
分割法 面积矩 面积 形心公式 负面积法 面积矩 面积 形心公式
Sy = ∑Syi = ∑xCi Ai
与外径之比。 重要结论 坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。
组合图形
组合图形的分割
例 求如图工字形截面关于水平对 称轴的惯性矩。
60 10 10 60 10
截面可视为 一个矩形与两个 矩形之差。
组合图形的 负二次矩法
1 3 I = ×60×(60 + 2×10) 12 1 60 −10 3 − 2× × × 60 12 2
Ix =
∫( y′ + a) dA
2 A
I x = y′2dA + 2a y′dA + a2 dA = I x′ + 2aSx′ + a2 A
A A A
∫
∫
∫
由于 x′ 轴过形心 同理
∫
A
y′dA = Sx′ = 0
I x = I x′ + a2 A
IP = IP′ + (a2 + b2 ) A
I y = I y′ + b A
1 1 4 64 π 4 3 I x = (4a) (4a) − 2⋅ πa = − a = 20.55a4 12 8 3 4
半圆对 K 轴的惯性矩
1 1 1 I K = ⋅ π(2a)4 = πa4 2 64 8
半圆对 y 轴的惯性矩为
错在何处？ 1 4 1 4 9 4 2 I x = πa + πa ⋅ (2a) = πa 8 8 4