材料力学i 截面的几何性质 习题解
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附录I 截面的几何性质 习题解
[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）
解：)(24000)1020()2040(3
mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=
（b ）
解：)(422502
65
)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）
解：)(280000)10150()20100(3
mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=
（d ）
解：)(520000)20150()40100(3
mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=
[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2
半圆对x 轴的静矩为：
3
2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300
2
r r x d dx x S r r
x =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰
πθθθπ
π
因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π
34r
y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ） 解：
(b)解：
(c)
解：
[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )(
四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰
⎰
-⋅==
2/0042
/0
2
3
2
2cos 1]4[sin ππθθ
θθd x d dx x I r r
x
)]2(2cos 21[2142/02
/0
4θθθππd d r ⎰⎰-⋅= }]2[sin 2
12{82
/04πθπ-=r 16
4
r ⋅=
π
由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：
16
4
r I I x y ⋅=
=π
微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：
xydA dI xy =
8
)42(21]42[21)(2144404222
20
2
2r r r x x r dx x r x ydx xdx I r r
x r r
xy =-=-=-==⎰⎰
⎰
- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为
mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。
解：圆的方程为：
222r y x =+
如图，作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：
dy y r dA 222-=
切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：
dy y r y I r r x 22sin sin 22-=⎰
-α
α
α
αsin sin 42
222arcsin 8)2(82r r r y r y r r y y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=
)4sin 41
(24αα-=r )4sin 4(84αα-=r 222
1100)20100(=-+x
360021=x )(601mm x =
34
6020100tan =-=
α )(927.013.533
4arctan 0
rad ===α
)(10963.3)52.212sin 927.04(8
1004704
mm I x ⨯=-⨯=
[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。
解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z ，竖坐标轴为y ）。
dy y dz dy y dz dA y I a a z a z a z a
z a A
z ⎰
⎰
⎰
⎰
⎰+
--
+
---+==2
20
2
22
2222222
2
2
2
][22
20
2
20
22
20
2
2
2dy y dz dy y dz a a z a z a ⎰
⎰
⎰
⎰
+
-+
-+⋅=
[]
[]
][322
20
2
20
3
222
20
3
⎰
⎰+
--+
+⋅=a a z a
a z dz y dz y
])2
2
()22()22()22([3222
030223⎰⎰+-+--++⋅=-a a a z d a z a z d a z
a a a z a z 2
2
40
2
244)22(324)22(32⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⋅=-
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+16163244a a 12
4a = 故正方形对其的对角线的惯性矩为：12
4
a I z =。
[习题I-7] 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x 的惯性矩。
(a) 解：)(21177368])175
150
(1[17514.3641)1(64144424mm D I x =-⨯⨯=-=απ (b)
)(904499991509012
1
210150121433mm I x =⨯⨯-⨯⨯=
[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的 轴的惯性矩。
解：已知三角形截面对以BC 边为轴的惯性矩是 ，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴 的惯性矩