初中平面几何最值六法
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当 A’、P、B 三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
【思路概述】 作端点（点 A 或点 B）关于折点（上图 P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
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二、将军饮马模型系列
【一定两动之点点】 在 OA、OB 上分别取点 M、N，使得△PMN 周长最小．
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【一定两动之点线】 在 OA、OB 上分别取 M、N 使得 PM+MN 最小。
此处 M 点为折点，作点 P 关于 OA 对称的点 P’，将折线段 PM+MN 转化为 P’M+MN，即过点 P’作 OB 垂线分别交 OA、OB 于点 M、N，得 PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OA（折点 M 所在直线）、OB（折点 N 所在直线）的对称点，化折线段 PM+MN+NP 为 P’M+MN+NP’’，当 P’、M、N、P’’共线时，△PMN 周长最小． 【例题】如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点， 则△PMN 周长的最小值为___________．
【分析】△PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 对称点 P’、P’’，化 PM+PN+MN 为 P’N+MN+P’’M．
当 P’、N、M、P’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段 P’P’’长，连接 OP’、OP’’，可得△OP’P’’为 等边三角形，所以 P’P’’=OP ’=OP=8．
【两定两动之点点】 在 OA、OB 上分别取点 M、N 使得四边形 PMNQ 的周长最小。
考虑 PQ 是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作点 P、Q 关于 OA、OB 对称，化折线段 PM+MN+NQ 为 P’M+MN+NQ’，当 P’、M、N、Q’共线时，四边形 PMNQ 的周长最小。
B．
(
5 2
，
5 2
)
C． (83 ， 83)
D．(3, 3)
【分析】此处点 P 为折点，可以作点 D 关于折点 P 所在直线 OA 的对称：
也可以作点 C 的对称：
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【隐身的正方形】 （2017·辽宁营口）如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D 在 BC 上，BD=3，DC=1，点 P 是 AB 上的动
【问题简化】 如图，在直线上找一点 P 使得 PA+PB 最小？
【问题分析】 这个问题的难点在于 PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间， 线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【问题解决】 作点 A 关于直线的对称点 A’，连接 PA’，则 PA’=PA，所以 PA+PB=PA’+PB
几何最值六法
（将军饮马，辅助圆，瓜豆，胡不归，阿氏圆，费马点）
最值系列之——将军饮马
一、什么是将军饮马？
【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列 非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【问题描述】 如图，将军在图中点 A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【分析】M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最小值． 过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 7 ．
【隐身的等边三角形】 如图，在 Rt△ABD 中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N 为 AB 上一点且 BN=2AN， M 是 AD 上的动点，连结 BM， MN，则 BM+MN 的最小值是___________．
E+EF，当 C’、E、F 共线时得最小值，C’F 为 CB 的一半，故选 C．
第 4 页 共 31 页
【角分线系列之点线】 （2018·辽宁营口）如图，在锐角三角形 ABC 中，BC=4，∠ABC=60°， BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，M、N 分 别是 BD，BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 ( )
点，则 PC+PD 的最小值为 ( )
A．4
B．5
C．6
Hale Waihona Puke Baidu
D．7
【分析】作点 C 关于 P 点所在直线 AB 的对称点 C’，当 C’、P、D 共线时，PC+PD 最小，最小值为 5，故选 B．
2．三角形中的将军饮马 【等边系列】 如图，在等边△ABC 中，AB=6， N 为 AB 上一点且 BN=2AN， BC 的高线 AD 交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连 结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是___________．
三、几何图形中的将军饮马
【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】 1．正方形中的将军饮马 【关于对角线对称】 如图，正方形 ABCD 的边长是 4，M 在 DC 上，且 DM=1，N 是 AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________．
【分析】考虑 DM 为定值，故求△DMN 周长最小值即求 DN+MN 最小值． 点 N 为折点，作点 D 关于 AC 的对称点， 即点 B，连接 BN 交 AC 于点 N，此时△DMN 周长最小．
【假装不存在的正方形】 （2019·山东聊城）如图，在 Rt△ABO 中，∠OBA=90°，A（4,4），点 C 在边 AB 上， 且 AC:CB=1:3，点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的 点 P 的坐标为 ( )
A． (2, 2)
【分析】对称点并不一定总是在已知图形上．
【角分线系列之点点】 （2018·山东潍坊）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD 平分∠CAB，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE+EF 的最小值为 ( )
A．3
B．4
C． 3 3
D． 2 3
【分析】此处 E 点为折点，可作点 C 关于 AD 的对称，对称点 C’在 AB 上且在 AB 中点，化折线段 CE+EF 为 C’
【思路概述】 作端点（点 A 或点 B）关于折点（上图 P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
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二、将军饮马模型系列
【一定两动之点点】 在 OA、OB 上分别取点 M、N，使得△PMN 周长最小．
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【一定两动之点线】 在 OA、OB 上分别取 M、N 使得 PM+MN 最小。
此处 M 点为折点，作点 P 关于 OA 对称的点 P’，将折线段 PM+MN 转化为 P’M+MN，即过点 P’作 OB 垂线分别交 OA、OB 于点 M、N，得 PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OA（折点 M 所在直线）、OB（折点 N 所在直线）的对称点，化折线段 PM+MN+NP 为 P’M+MN+NP’’，当 P’、M、N、P’’共线时，△PMN 周长最小． 【例题】如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点， 则△PMN 周长的最小值为___________．
【分析】△PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 对称点 P’、P’’，化 PM+PN+MN 为 P’N+MN+P’’M．
当 P’、N、M、P’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段 P’P’’长，连接 OP’、OP’’，可得△OP’P’’为 等边三角形，所以 P’P’’=OP ’=OP=8．
【两定两动之点点】 在 OA、OB 上分别取点 M、N 使得四边形 PMNQ 的周长最小。
考虑 PQ 是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作点 P、Q 关于 OA、OB 对称，化折线段 PM+MN+NQ 为 P’M+MN+NQ’，当 P’、M、N、Q’共线时，四边形 PMNQ 的周长最小。
B．
(
5 2
，
5 2
)
C． (83 ， 83)
D．(3, 3)
【分析】此处点 P 为折点，可以作点 D 关于折点 P 所在直线 OA 的对称：
也可以作点 C 的对称：
第 3 页 共 31 页
【隐身的正方形】 （2017·辽宁营口）如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D 在 BC 上，BD=3，DC=1，点 P 是 AB 上的动
【问题简化】 如图，在直线上找一点 P 使得 PA+PB 最小？
【问题分析】 这个问题的难点在于 PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间， 线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【问题解决】 作点 A 关于直线的对称点 A’，连接 PA’，则 PA’=PA，所以 PA+PB=PA’+PB
几何最值六法
（将军饮马，辅助圆，瓜豆，胡不归，阿氏圆，费马点）
最值系列之——将军饮马
一、什么是将军饮马？
【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列 非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【问题描述】 如图，将军在图中点 A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【分析】M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最小值． 过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 7 ．
【隐身的等边三角形】 如图，在 Rt△ABD 中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N 为 AB 上一点且 BN=2AN， M 是 AD 上的动点，连结 BM， MN，则 BM+MN 的最小值是___________．
E+EF，当 C’、E、F 共线时得最小值，C’F 为 CB 的一半，故选 C．
第 4 页 共 31 页
【角分线系列之点线】 （2018·辽宁营口）如图，在锐角三角形 ABC 中，BC=4，∠ABC=60°， BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，M、N 分 别是 BD，BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 ( )
点，则 PC+PD 的最小值为 ( )
A．4
B．5
C．6
Hale Waihona Puke Baidu
D．7
【分析】作点 C 关于 P 点所在直线 AB 的对称点 C’，当 C’、P、D 共线时，PC+PD 最小，最小值为 5，故选 B．
2．三角形中的将军饮马 【等边系列】 如图，在等边△ABC 中，AB=6， N 为 AB 上一点且 BN=2AN， BC 的高线 AD 交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连 结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是___________．
三、几何图形中的将军饮马
【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】 1．正方形中的将军饮马 【关于对角线对称】 如图，正方形 ABCD 的边长是 4，M 在 DC 上，且 DM=1，N 是 AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________．
【分析】考虑 DM 为定值，故求△DMN 周长最小值即求 DN+MN 最小值． 点 N 为折点，作点 D 关于 AC 的对称点， 即点 B，连接 BN 交 AC 于点 N，此时△DMN 周长最小．
【假装不存在的正方形】 （2019·山东聊城）如图，在 Rt△ABO 中，∠OBA=90°，A（4,4），点 C 在边 AB 上， 且 AC:CB=1:3，点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的 点 P 的坐标为 ( )
A． (2, 2)
【分析】对称点并不一定总是在已知图形上．
【角分线系列之点点】 （2018·山东潍坊）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD 平分∠CAB，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE+EF 的最小值为 ( )
A．3
B．4
C． 3 3
D． 2 3
【分析】此处 E 点为折点，可作点 C 关于 AD 的对称，对称点 C’在 AB 上且在 AB 中点，化折线段 CE+EF 为 C’