管理经济学中的常用数学模型

管理经济学结课论文之

管理经济学中的常用数学模型

管理经济学中的常用数学模型

摘要：由于历史的原因,我国经济运行中数学的应用曾经处在无足轻重的地位。随着社会的进步和经济的发展,人们越来越清楚认识到数学不仅可以被广泛应用于自然科学和工程技术,而且已经渗透到经济科学和社会科学的众多领域。纵观世界经济理论研究和经济管理科学的发展,不难发现数学在经济学中的地位已发生了巨大的变化。

在本文中，主要介绍并总结几种常见的经济学模型。包括管理经济学，计量经济学，宏观经济学，微观经济学等当面。并对其中的个别模型，尤其涉及到很多数学应用的模型，进行应用举例。

关键字：RT-DE模型 ARCH模型 B-S模型

1.RT-DE模型（回归技术与需求估计模型）

在许多经营管理实践中，管理者要想取得弹性方面的信息，必须先收集一组数据，然后用数学中的统计方法估计需求函数，再根据需求方程算出弹性。

RT-DE模型就是一种估计需求函数的模型。在此，应用回归技术来模拟出函数。下面对回归技术模型基本思想进行应用说明。在此，我们采用成本函数分析为例，因为相对而言，回归技术在成本函数的应用更容易理解。

RT-DE模型，大概分为这样几个的过程：

建立理论模型→收集数据→选择函数形式→估计和解释结果。

1.1回归技术

一般来说，管理者想知道成本和产量之间的关系，即企业的总成本函数，就可以依据函数预测下一个生产周期，怎样模拟出这个函数？在此，我们采用最小二乘回归技术法【1】。

假设总收入和函数是线性的，对上表的数据进行一次拟合，设为bX

Y+

=。

a

之所以选择线性方程，是因为线性方程具有多个有点，比如，不需要改变它的形式，即不需要转换数据就能对它进行处理。而且相对来说，它对变量系数的解释较为简单。在此，把Y的实际值和预测值之间的离差（即点到直线的垂直距离）

'Y Y i -称为残值。易知，有且只有一组确定的直线使得离差的平方和最小，即∑-22)(i i Y Y

最小。我们应用公式： ∑∑---=2

')())((X X Y Y X X b i i i ； X b Y a ''-= 即可拟合出对应的线性曲线。其中，Y X ,是上表中总成本和总产量的平均值。

1.2对回归估计的检验

拟合出来的参数不一定准确，现在来检验两个参数之间的强度。一般，可以用两种方法检验，一种是使用可决系数，即用2R 来衡量整个方程是否能很好地解释因变量的变化。第二种方法是使用t-统计量来检验因变量和一个自变量之间的关系强度。

对于可决系数2R ，有∑∑--=22

'2)()(Y Y Y Y R i

i i

其中，i Y '指的是i X 对应的在拟合出的函数上的值。

上式的可决系数]1,0[2∈R 。当回归方程一点不能解释Y 的变差，即自变量和因变量之间没有关系，2R =0。如果方程能完全解释变差，2R =1。一般地，2R 的值越大，回归方程就“越好”。

t-检验（t-test ）被用来确定因变量和每个自变量之间是否存在显著的关系。这个检验要求计算被估计的回归系数的标准离差（b S ）。

∑∑---=22')()

2/()(X X n Y

Y S i

i i b

根据统计学的原理，可用下式估计b 的95%的信置区间：b k n S t b 1'--±，式中，1--k n t 为一种特殊的概率分布，即学生的t 分布的值【2】。下标（n-k-1）是自由度

数，其中n 为观察次数或数据点，k 为式中自变量的数目。

如果自变量和因变量之间没有关系的话，参数b=0，在统计学中，检验X ，Y 的强弱的标准方法是检查在95%的信置区间内是否包括零值。如果不包括，就说

'b 在统计学上度量的X 和Y 之间的关系显著，

如果包括零值就说'b 不显著，意思是两个变量之间不存在较强联系。

采用上述的两种检验方法检验两变量的强如关系，如果检验的结果比较弱，就要对数据进行重新拟合，进行两次或三次的拟合。反复进行检验，如果检验的结果都如此，则说明X ，Y 之间没有存在联系，即成本和产量之间没有明显的，可估计的关系。

另外，由于产量—成本数据点并不是刚好在回归线上，而是分布在回归线的周围，这意味着回归预测的方程是有误差的。我们定义e S 是估计值的标准差，即对预测值的可能误差的度量。有，

1)

)(()('2------=∑∑k n Y Y X X b Y Y S i i i e

预测值'Y 称为因变量的点估计，那么预测的Y 的值的范围应该是：e k n S t Y 1'--。 特别强调的是，在大多经济关系里，涉及的不仅仅是一个因变量和一个自变量的简单关系。因此，多元回归技术在经济学中应用更广泛。应用上述模型的原理，也可以对相关数据进行多元回归拟合。

1.3 回归技术应用举例：

某种产品的产量和总成本给出以下一组数据：

Hypothetical Data Total Cost and Total Output

生产周期 总成本(i Y ) 总产量(i X ) 1

$100 0 2

150 5 3 160 8

4

240 10 5

230 15 6

370 23 7 410 25

那么，根据回归技术，可以拟合出上表的线性方程是：i i X Y 21.1208.87'

+=， 如图所示：

现在对拟合出来的系数进行检验：

首先，采用可决系数的方法，那么有

∑∑--=22'2)()(Y Y Y Y R i i i 954.086

.7994288.76245= ， 由于2R 的值是0.954，在0到1之间，说明本次拟合的函数很成功。

采用t-检验，有19.140.5115/41.3668==

b S ，那么b k n S t b 1'--±=12.21)19.1(571.2± ，

这表示介于成本和产量之间的可能边际关系（即b 的值）落在这个范围内的概率是0.95。