山东交通学院线代作业纸及答案

第一章 行列式
一、填空
1. 按自然数从小到大为标准次序，则排列3421的逆序数为 5 ，32514的逆序数 为 5 .
2.四阶行列式中含有因子a a 2311的项44322311a a a a -，42342311a a a a .
3.按定义，四阶行列式有!4项，其中有12项带正号，有12项带负号.
4.在函数x
x x x
x
x f 2
1
1
12)(---=中，3x 的系数是2-. 5. =c
b
a
c b
a
2
2
2
1
11
))()((b c a c a b ---.
6.设2
10
132
1
13
---=D ，A ij 为元素a ij 的代数余子式)3,2,1,(=j i ，则=-+33231342A A A 37.
二、选择
1. 四阶行列式
a b a b b a b a 4
43322
1
100
00000
0的值等于（ D ） （A ） b b b b a a a a 43214321- （B ） b b b b a a a a 43214321+
（C ） ))((43432121b b a a b b a a -- （D ） ))((41413232b b a a b b a a --
2.设1
21112
3111211
)(x
x
x
x x f -=
，则x 3
的系数为 （ C ）
（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 3.在五阶行列式)det(a ij 中，下列各项中不是)det(a ij 的项为 （ A ） （A ）a a a a a 5552214331 （B ）a a a a a 5412452331- （C ）a a a a a 5145342312 （D ）a a a a a 3352251441
4.行列式
1
1
1
1
111111111111
--+---+---x x x x 的值为 （ D ）
（A ）0 （B ）2
2
)1()1(-+x x （C ）2x （D ）4
x
三、计算 1.
260
523211
2131412- 21
r r +=====2605232126051
4120=（因有两行相同）
2.ef cf
bf
de cd bd
ae
ac
ab
--- 123
r a
r d r f
÷=====÷÷e
c b e c b e c b adf ---123
c b
c c c e ÷=====÷÷111111111---abcdef 21
31
r r r r +=====+abcdef abcdef 40
20200111=- 3.
d
c
b a
10
110011001--- 12
r ar +=====d c b a ab 10
1
10
1
10
10---+1
c =====d
c a ab 1011
1--+
32 c dc +=====0
1011
1-+-+cd c ad a ab 3
r =====cd
ad ab +-+111ad cd ab +++=)1)(1( 四、证明
1.322
)(1
11
22b a b b a a
b ab a -=+
证 1112222
b b a a b ab
a +13
23
c c c c -=====-1002)
(222
22b b a b a b b ab b a ----12
2
c c -=====1
20)(222
b b a b b ab b a --- 3)(b a -=
2.
0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222
222222222
=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
证
=++++++++++++22
2
2
2
2
2
2
2
2222222
)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(d d d d c c c c b b b b a a a a 433221
c c c c c c -=====--5
232125232125
23
2125232122
222++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
4332
c c c c -=====-02
2122212221222122222
=++++d d c c
b b a a （因有两列相同）
3.01111
2
1010000
0100001a x a x a x a a a a a a x
x x n n n n n
n ++++=------
证： 递推法，按第一列展开，建立递推公式
1
011)1(0
21-*
---+=++x x
a xD D n n n =0022)1(a xD a xD n n n +=-++
又 n a D =1，于是
=+1n D 0a xD n +011)(a a xD x n ++=+0112a x a D x n ++=-
= =011
11a x a x a D x n n n
++++-- .011
1a x a x
a x a n n n n ++++=--
五、计算
1.x a a a x a a
a x D n
=
解x a a a x a
a a x D n =121
[(1)] n r r r r x n a +++=====÷+-])1([a n x ++x
a a a
x a
1
11
1
2,,
i c ac i n -======])1([a n x ++a x a
x --
1
11
].)1([)(1a n x a x n -+-=-
2.1
111)()1()()1(1
1
11
n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+，提示：利用范德蒙德行列式的结果 解 ：将行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将行列式左右翻转，由于上下翻转
与左右翻转交换次数相等，故行列式于上下翻转再左右翻转其值不变.于是，利用范德蒙德行列式的结果，可得
n
n
n
n a n a n a a n a n a D
)1()(1111
1+--+--=
+∏+≤<≤-=1
1).(n i j j i
3.n
n
n
n
n d c d c b a b a D
1
1
112=
，其中未写出的元素都是0
解： n D 22222
n n
r r c c ↔=====↔)
1(20
-n n n
n n
D d c b a )1(2)(--=n n n n n D c b d a
即有递推公式
n D 2)1(2)(--=n n n n n D c b d a
又11111
1
112c b d a d c b a D -==
，利用这些结果递推得
n D 2 )(n n n n c b d a -=.)()(1
1111∏=-=-n
k k k k k c b d a c b d a
4.n
n a a a D +++=
11
1
11111121
，其中021≠n a a a
解 1
2
212332
3
1
1
0000100010
0010001
1n n n n n
a a a c c a a D c c a a a a -----=====
---+
1
11213
12
11
1
1
12
1
1
00010
000
010*******
00
11()(1)n
n n
i i n
n i i
a a a a a a a a a a a a ------===+=+∑∑
5.问λ，μ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
200321
3.21321x x x x x x x x x μμλ有非零解？
解： 方程组的系数行列式必须为0
121
11
11
μμλ
=D 32
r r -=====)1(0
111
1--=λμμμλ
故只有当0=μ或1=λ时，方程组才可能有非零解.
当0=μ，原方程组成为
⎪⎩⎪⎨
⎧=+=++00
31
321x x x x x λ 显然1,1,1321-=-==x x x λ是它的一个非零解. 当1=λ，原方程组成为
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
200321
3.21321x x x x x x x x x μμ 显然1,0,1321==-=x x x 是它的一个非零解. 因此，当0=μ或1=λ时，方程组有非零解.
第一章 练习题
1.3
8
1
141
102
---
解： 利用对角线法则
3108)1(2)1()4(1811)1()1(03)4(2⨯⨯-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯=D
4-=
2.
y
x
y
x x y x y y x y x
+++
解： 利用对角线法则
)(2)()()()(33333y x y x y x yx y x y x yx y y x x D +-=--+-+++++=
3.
7
110
251020214214
解： 12
r r D ↔=====-711002510421420212131
410
r r r r -=====--711020
21504
2702
021---- 42
r r ↔=====
427020215071102
2
1
----3242
157
r r r r +=====+04590085
17007
1102
2
1= 4.4
321532154215431
543254321 解： 从最后一行开始，后行减去前行
1114111411141
1
1
4111154321----=D 1
2,,5
i c c i -======0
5100501050
15
00014
3211----=D 5
1215
i i c c =+=====∑0
5000500050
5
0000
4
3
213----1875)5(34=-⨯=
5. 利用范德蒙德行列式计算四阶行列式
c
b a d
b a d
c a d
c b
d c b a d c b a d c b a
++++++++33332222
解： D 41
4()
r r r a b c d +=====
÷+++1
111
)(3
3
3
32222
d
c
b
a d c
b a d
c b a
d c b a +++
把行列式的最后一行依次与前面的行交换，共交换三次得
3
3
3
3
22221111
)
(d c b a d c b a d c b a d c b a D +++-=))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-=
6.证明
n
a a a 1
001
112
1
)1
(2132∑
=-=n
i i
n a a a a a ，其中 021≠n a a a 证： 化行列式为下三角形行列式
D
11
2,
i i
n
r r a i n -
======n a a b * 0
002n a a ba 32= 其中，∑=-=n
i i
a a
b 211
，于是).1(2132∑=-=n i i n a a a a a D
7.=n D )det(a ij ，其中j i a ij -=
解： 0
3213
1
2
2101
1210
------=n n n n n n D n 112
21
n n n n r r
r r r r ----=====--1
1
1
1
111111111
210--------
n n
12
n n c c c c +=====+.2)1()1(1
12001
2201
321
21----=---------n n n n n n n
8.求满足下列方程的实数z y x ,,：
11
000100
01
1
=z
y x z y x
解： 将D 按第一行展开得，,02
22=++z y x 解得.0===z y x
9. 问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-++=+-+=+--0
)1(0)3(2042)1(321
3.21321x x x x x x x x x λλλ有非零解？
解： 方程组的系数行列式必须为0
λ
λλ----=
11
1
132421D 13
r r ↔=====4
2
1132111-----λ
λλ 21
312(1)
r r r r λ-=====--2
)1(4301210111λλλλλ--+-----2
)1(431
21λλλλ--+----
=
21c c +=====2
331λ
λλλ
λ----)3)(2(---=λλλ 故32,0或=λ，并且当0=λ时，21-=x ，12=x ，13=x ；当2=λ时，21-=x ，32=x ，13=x ；当3=λ时，11-=x ，52=x ，23=x ；均是原方程组的非零解. 因此，当
32,0或=λ时，方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算 （一）
一．填空
1.设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=321a a a A ，()
12
3B b b b = ，则AB =1112121
222331
32
33a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
；BA = 112233()a b a b a b ++；()T AB =11
213112
223213
23
33a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
；T T A B =()T BA ；T T B A = ()T AB . 2. 设⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=121x A ，⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=012y B ，若BA AB =，则=x 1 ；=y 2 . 3. 设A 为3阶方阵，且2-=A ，则2A = 4 ；=-T A 2 16 ；*A = 4 .
4. 设101A λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则k
A =101k λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
5. 设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，而2n ≥为正整数，则12n n A A --= 0 （零矩阵） . 6. 已知3
A E =，则1
A -=2
A .
二．选择
1. 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有（ D ）. （A ） ACB E = （B ）CBA E = (C) BAC E = （D ）BCA E =
2. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足0AB =，则必有 （ C ） （A ） 0A =或0B = （B ）0BA = (C) 0A =或0B = （D ）0A B +=
3. 设A 、B 都是n 阶方阵，则下列命题中正确的是 （ D ） （A ）若0≠A 且0≠B ，则0≠AB . （B ）若A 、B 都是对称阵，则AB 是对称阵. (C)若AB 不可逆，则A 、B 都不可逆. （D ）若AB 可逆，则A 、B 都可逆.
三．计算与证明
1. 设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪
⎪
-⎝⎭, 123124051B ⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求32AB A -及T A B . 解：32AB A -1111233111124111051⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1112111111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭21322217204292-⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
111123111124111051T A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭058056290⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
2. 13121400121134131402⎛⎫
⎪
-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭
6782056-⎛⎫= ⎪--⎝⎭
3. ()11121311
2
312
2223213
23
333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
()1111212313
121222323
131********x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x ⎛⎫
⎪
=++++++ ⎪
⎪⎝⎭
222
111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++
4. 设,A B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明T
B AB 也是对称阵. 证明：已知：T
A A =
则 ()()T
T
T
T
T
T
T
T
B AB B B A B A B B AB === 从而 T B AB 也是对称阵.
第二章 矩阵及其运算 （二）
一．填空
1. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011B ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=B O O A C ，则 =C -1 .
2. 设12
00n a a A a ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，（120n a a a ≠）. 则1A -=12
1
0101n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
3. 设A 为三阶可逆矩阵，且1
123012001A -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦，则A *=123012001---⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
4. 设⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，则=-*1)(A 10A ；=*
-)(1A 10A .
5.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且a A =，b B =，⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=O B A O C ，则=C (1)mn
ab -. 6．设A 为3阶矩阵，且A ＝
1
2
，则1*(2)5A A --=16- . 二．选择题
1. 设A 为n 阶可逆矩阵，*
A 为A 的伴随矩阵，则必有（ A ） （A ） 1
-*
=n A
A （
B ） A A =* （
C ） n
A A =*
（D ） 1-*=A A
2. 设A 、B 都是n 阶方阵，则下列等式中正确的是 （ D ） （A ）BA AB = （B ）T
T
T
B A AB =)( （
C ）111
)
(---=B A AB （D ）BA AB =
3. 已知A 为n 阶方阵，且满足关系式0432
=++E A A ，则()=+-1
E A ( C )
（A ）1
A E -+ （
B ）
12E A +
（C ） 1
2
E A -- （D ）4A E +
三．计算与证明
1. 求下列方阵的逆阵
（1） 520
02
10000120
011⎛⎫ ⎪
⎪
⎪- ⎪
⎝⎭
解：115221A ⎛⎫=
⎪⎝⎭，1111225A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，221211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1
22121113A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
， 1120025
001200
33110033A --⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪= ⎪
⎪
⎪-
⎪⎝⎭
. （2） 121342541-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
解：2A =, 故1
A -存在 . 11A A A -*=2101313221671-⎛⎫
⎪ ⎪=-- ⎪
⎪--⎝⎭
. 2. 解下列矩阵方程 (1) 2
5461321X -⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
解：1
25461321X --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭35461221--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭22308-⎛⎫
= ⎪⎝⎭.
（2）211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭ ⎪-⎝⎭
解：1
211113210432111X --⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭
2218
2533-⎛⎫ ⎪= ⎪-
- ⎪⎝⎭.
(3) 01010
0143100001201
00
1010120
X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭ 解：1
1
010143100100201001001120010X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭210134102-⎛⎫
⎪
=- ⎪
⎪-⎝⎭
(4) 设,AX B X +=其中01011111,20,10153A B -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
求.X 解：由,AX B X +=得 ()E A X B -=
故 1().X E A B -=- 而 2
133
12
13
31
1330()10E A -⎛⎫ ⎪
-=- ⎪ ⎪-⎝⎭
所以 2
1
33
2
13
31
1330113112
020.05
311X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 3. 设1P AP -=Λ, 其中1411P --⎛⎫=
⎪⎝⎭, 1002-⎛⎫Λ= ⎪
⎝⎭
, 求11A . 解：1
P AP -=Λ故1
A P P -=Λ所以11
11
1
A P P
-=Λ
3P = 1411P *
⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 1
141113P -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
而 11
11
1110100202--⎛⎫⎛⎫Λ== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故11
111
41410331102113
3A ⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪
⎝⎭27312732683684⎛⎫= ⎪--⎝⎭. 4. 设A 为n 阶方阵，并且满足Θ=--E A A 22
,
证明：A 及E A 2+都可逆，并求1-A 及1
)2(-+E A . 解：由已知得：E E A A =-⋅
)(21，故A 可逆，且)(2
1
1E A A -=- 又E E A E A 4)3)(2(-=-+, 故E A 2+可逆，且)3(4
1
)
2(1
E A E A --=+-.
5. 设0k
A =(k 为正整数),证明
121()k E A E A A A ---=+++
+
证明: 由 0k
A =
有 2
1()()k E A A A E A -+++
+-
2121k k k E A A A A A A A --=++++---
-
E =
因此 1
21()
k E A E A A A ---=+++
+
第二章 练习题
1.设A 为4阶方阵，1
,3
A =求134A A *--. 解：
11
1,3
A A A A *--==
11111
343433
A A A A A *----∴-=⋅-=-
4
13
11
(3)81A =-=⋅243.= 2. 已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=130210005A ，求1
-A .
解： ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=2211A O O A A
5
11
11-
=-A
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==
*
-132********
1
22
A A A ⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-
7173
7271 ∴
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--
=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=---71730727100051
122111
1A O
O A A 3. 设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=121011322A ，解矩阵方程E AXA =*（其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵）. 解：计算得1-=A ，并且A 可逆 因为E E A AA -==*
，
故由已知E AXA =*
得A EA A AXA ==*
所以A AX =-
解得E X -=
解：A BA BA A 61
=-- A BA E A
6)(1
=--
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-=--123)(61
1
E A
B 4. 设三阶矩阵A ，B 满足关系式BA A BA A +=-61
，且⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣
⎡=714
1
31A ，求B .
5. 设A 为n 阶方阵，并且满足Θ=-+E A A 2
, 证明：A 及E A -都可逆，并求1-A 及1
)(--E A .
解：由已知得：E E A A =+⋅)(，故A 可逆，且E A A +=-1 又E E A E A -=+-)2)((, 故E A -可逆，且)2()
(1
E A E A +-=-- .
6．设34432022O A O ⎛⎫
⎪
- ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
, 求8A 及4A . 解： 34432022O A O ⎛⎫ ⎪
- ⎪= ⎪ ⎪
⎝
⎭，令13443A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 22022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则1
2A O A O
A ⎛⎫=
⎪⎝⎭
故8
18
2A O A O
A ⎛⎫=
⎪⎝⎭8182A O O
A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
8
8
888
16121210A A A A A ===
44
44
14426
450052022O A O A O
A O ⎛⎫
⎪⎛⎫ ⎪==
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭
. 7．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1
O A B O -⎛⎫
⎪⎝⎭
．
解 ： 将1
O A B O -⎛⎫
⎪⎝⎭分块为123
4C C C
C ⎛⎫
⎪⎝⎭
其中 1C 为s n ⨯矩阵, 2C 为s s ⨯矩阵
3C 为n n ⨯矩阵,
4C 为n s ⨯矩阵
则n n s s O A B O ⨯⨯⎛⎫
⎪⎝⎭1
234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭E ==n
s E O O E ⎛⎫
⎪⎝⎭
由此得到13344111
2
2n s AC E C A AC O C O
BC O C O BC E C B --⎧=⇒=⎪
=⇒=⎪⎨=⇒=⎪⎪=⇒=⎩（A 、B 均可逆）
故 1
11O A O B B O A
O ---⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
．
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（一）
一、填空
1. 设A 为n 阶方阵，若有n 阶初等方阵s P P P ,,21，使 ),(),(21B E E A P P P s = ,
则=-1
A
s P P P 21 .
2. 设A 是34⨯矩阵，且A 的秩)(A R =2，而⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=301020201B ,则=)(AB R 2 .
8. 设x 为n 维列向量，1=x x T ，令T
xx E H 2-=，证明H 是对称阵，且T
HH E =. 证明：因为 H xx E xx E xx E H T T T T T T
=-=-=-=2)(2)2(，所以H 是对称阵.
又 ==2H HH
T
4)2)(2()2(2+=--=-E xx E xx E xx E T T T T T T xx xx xx 4))((-
+=-+=E xx x x x x E T T T 4)(4E xx xx T T =-44
3. 设四阶方阵A 的秩)(A R =2，则其伴随矩阵*A 的秩为)(*
A R = 0 .
二．选择
1.从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则A 、B 的秩的关系为（ A ）
(A) 1)()()(-≥≥A R B R A R (B) 1)()()(->≥A R B R A R (C) 1)()()(->>A R B R A R (D) 1)()()(-≥>A R B R A R 2.在秩是r 的矩阵中（ C ） (A) 没有等于0的1-r 阶子式 (B) 没有等于0的r 阶子式
(C) 等于0的1-r 阶子式和等于0的r 阶子式都可能有 (D) 所有1-r 阶子式等于0
三．计算与证明
1.把矩阵化为行最简形矩阵
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---87011111213243
21 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-00
00
31100313010317001 2.用初等变换求解矩阵方程
B AX =,其中⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=520321,10212
3111B A 解：⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--==-13122018
971
B A X 3.试利用矩阵的初等变换，求方阵⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=323513123A 的逆阵1
-A .
解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=-210
21211
2332671
A
4.求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=44311211201
3A 的秩.
解：秩为2
5.设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，求k 为何值时可使)(A R 等于：
（1） 1 ；（2） 2 ；（3） 3 .
解：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+----)2)(1(300)1(3)
1(20321~k k k k k A （1） 当1=k 时，R(A)=1 （2） 当2-=k 时，R(A)=2
（3） 当1≠k 且2-≠k 时，R(A)=3
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（二）
1.求齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=-++=-++0
22202024321
43214321x x x x x x x x x x x x 的解.
解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-134334C
2.求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++6
9413283542432z y x z y x z y x z y x 的解.
解：⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021112C
3.设有⎪⎩
⎪
⎨⎧--=-+--=--+=-+-1
)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x ，问λ为何值时，此方程组有唯一解、无解或
无穷解？并在有无穷解时求其解. 解：)10()1(2λλ--=A
（1）1≠λ且10≠λ时，有唯一解；
（2）10=λ时，无解；
（3）1=λ时，无穷解：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00110201221C C
第三章 练习题
1.求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量是
（1,0,1，0,0）和（1，-1,0,0,0）
解：⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-00000010000010
00001100101
2.求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：
（1）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---44311211201
3
解：秩为2，
01
11
3≠-
（2）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-------81507313
1213123
解：秩为3，08
7
312
123
≠----
3.非齐次线性方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-=++-=-+=+-2
2223212
321321x x x x x x x x x λλ，当λ取何值时有解？并求出它的通解.
解：⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+---)1)(2(000)1(23
30121~λλλλB (1)当2-=λ时， ⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111C
(2)当1=λ时， ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111C
4.设A 为n m ⨯矩阵，证明：
（1）方程m E AX =有解的充分必要条件是m A R =)(； （2）方程n E YA = 有解的充分必要条件是n A R =)(. 解：（1）m E AX =有解),()(E A R A R =⇔
（必要性）显然，m A R ≤)(；另一方面，m E A R ≥),(，故m A R =)( （充分性）m E A R A R m ≤≤=),()(
（2）方程n E YA =有解⇔方程n T
T E Y A =有解⇔n A R T =)(（由1）⇔n A R =)(
5. 设A 为n m ⨯矩阵，证明：若AY AX =，且n A R =)(，则Y X = 证明：Θ=-)(Y X A
因为n A R =)(，所以方程Θ=-)(Y X A 只有零解，即Θ=-Y X ,即Y X =
6.证明1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α及非零行向量T β，使T
A βα⋅=. 证明：（充分）1)()(=≤αR A R ,另一方面T
A βα⋅=，α和T
β又都是非零向量，故
1)(≥A R ，因此1)(=A R
（必要）由于1)(=A R 故⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ΘΘΘ1~A ,所以
()T
Q P Q P A αβ=⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΘΘΘ=0010011 7.已知三阶矩阵0≠B ，且B 的每一个列向量都是以下方程组的解：
)(0
302022321
321321*⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+-=-+x x x x x x x x x λ
（1） 求λ的值； （2） 证明0=B .
解：（1）设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=11312221λA ，由题设0,0=≠AB B ,知0)1(5=--=λA
故1=λ
（2）由1=λ，知2)(=A R ,由0=AB ，知3)()(≤+B R A R ,故1)(≤B R
又已知1)(≥B R ，因此1)(=B R 从而0=B
第四章 向量组的线性相关性（一）
一、选择
1．若向量组γβα,,线性无关，δβα,,线性相关，则 （ C ） （A ）α必可由δγβ,,线性表示；（B ）β必可由δγα,,线性表示； (C) δ必可由γβα,,线性表示； (D) β必不可由δγα,,线性表示。

2．向量组s ααα,,,21 线性无关的充要条件是（ C ） （A ）s ααα,,,21 均不为零向量；
（B ）s ααα,,,21 中任意两个向量的分量成比例；
（C ）s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表示； （D ）s ααα,,,21 中一部分向量线性无关。

3.设向量组321,,,ααα线性无关，则（ B ） （A ）133221,,αααααα+++线性相关； （B ）321211,,αααααα+++线性无关； （C ）133221,,αααααα---线性无关； （D ）321211,,αααααα---线性相关。

二、计算与证明
1.求向量组()T
4,1,2,11-=α，()T
4,10,100,92=α，()T
8,2,4,23---=α的秩，并求一个
最大无关组.
解：⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----==000000010
291~844210141002291),,(321αααA
由此可知2),,(321=αααR ，并且21,αα是它的一个最大无关组.
2.设()T
3,1,0,21-=α，()T
1,1,2,32--=α，()T
9,5,6,51--=β，()T
5,3,4,42--=β，证
明向量组21,αα与21,ββ等价。

证明：⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=00000000
2310
12
01~5913351146204532),,,(2121ββαα 由此可知),(),(2),,,(21212121ββααββααR R R === 所以向量组21,αα与21,ββ等价。

3.设n ααα,,,21 是一组n 维向量，证明它们线性无关的充要条件是：任一维n 向量可由它们线性表示。

证明：必要性：任给n 维向量b ，则n 维向量组b n ,,,,21ααα 线性相关。

又因为n ααα,,,21 线性无关，可知向量b 可以由n ααα,,,21 线性表示。

充分性：设任一n 维向量可由n ααα,,,21 线性表示，特别，n 维单位坐标向量
n e e e ,,,21 能由n ααα,,,21 线性表示，则 n R e e e R n n n ≤≤=),,,(),,(2121ααα
所以n R n =),,(21ααα 所以n ααα,,,21 线性无关。

4.设()T
1,1,11=α，()T
3,2,12=α，()T
t ,3,13=α，
（1）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关；（2）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关，并将3α表示为21,αα的线性组合。

解：⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==50021
0101~31321111),,(321t t A ααα
（1） 当05≠-t ,即5≠t 时，3),,(321=αααR ，向量组321,,ααα线性无关。

（2） 当,05=-t 即5=t 时，32),,(321<=αααR ，向量组321,,ααα线性相关，并
且2132ααα+-=.
第四章 向量组的线性相关性（二）
一、填空
1.设A 为n 阶方阵，β,X 均为n 维列向量，),(βA B =，则非齐次线性方程组β=AX 有解的充要条件是)()(B R A R =；有唯一解的充要条件是n B R A R ==)()(；有无穷多解的充要条件是n B R A R <=)()(
2.设齐次线性方程组0=AX ，其中A 为n m ⨯矩阵，X 为n 维列向量，r A R =)(，则线性方程组0=AX 的基础解系中有r n -个向量，当n r =时，方程组只有零解。

3.四元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+0042
2
1x x x x 的一个基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011,010021ξξ
4.若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+4143432
321
21a x x a x x a x x a x x 有解，则常数4321,,,a a a a 应满足条件
04321=+++a a a a
二、选择
1.若21321,,,,ββααα都是四维列向量，且四阶行列式
m =1321,,,βααα，
n =2321,,,βααα，则行列式21321,,,ββααα+等于（ A ）
（A ） n m +； (B) )(n m +-； (C) m n -； (D) n m -。

2.设A 为n m ⨯矩阵，0=Ax 是非齐次线性方程组β=Ax 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）
(A) 若0=Ax 仅有零解，则β=Ax 有唯一解； (B) 若0=Ax 有非零解，则β=Ax 有无穷多个解； (C) 若β=Ax 有无穷多个解，则0=Ax 仅有零解； (D) 若β=Ax 有无穷多个解，则0=Ax 有非零解。

3.齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
3213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A ，若存在三阶方阵Θ≠B ，
使Θ=AB ，则（ C ）
(A)02=-=B 且λ； (B) 02≠-=B 且λ； (C) 01==B 且λ； (D) 01≠=B 且λ。

4.已知21,ββ是非齐次线性方程组β=Ax 的两个不同解，
21,αα是对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组β=Ax 的通解为（ B ） (A)2
)(2
121211ββααα-+
++k k (B) 2
)(2
121211ββααα++
-+k k
(C) 2
)(2
121211ββββα-+
++k k (D) 2
)(2
121211ββββα++
-+k k
三、计算与证明
1.求齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-++=--+=-++0
51050363024321
43214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系.
解：对系数矩阵作初等行变换，变成行最简形矩阵，有
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001021~000004001121~5110531631121A
所以有⎩⎨
⎧==-+00
23421x x x x ，令
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0142x x ，得方程组的一个基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001,001221ξξ.
2. 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+++--=+-++=++++=++++31
484112343144332354321543215
432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解.
解：对增广矩阵施行初等行变换：
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛---=000
00
1215100
434010
135
8001~
3148411112314314433123111
11B ，
有⎪⎩⎪
⎨⎧++-=++-=--=12
543413
58543
542541x x x x x x x x x ，令054==x x ，得方程组的一个解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0012413*η
对应齐次线性方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10135,0154821ξξ.
于是所求的通解为
),(21*2211R c c c c x ∈++=ηξξ
3.设*
η是非齐次线性方程组β=Ax 的一个解，r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组
0=Ax 的一个基础解系。

证明：（1）*η，r n -ξξ,,1 线性无关；（2）r n -++ξηξηη*1**,,, 线性无关。

证明：（1）设有关系式
011*0=+++--r n r n k k k ξξη
用矩阵A 左乘等式两边，得
A 0)(11*0=+++--r n r n k k k ξξη βξξη011*0k k A k A k r n r n =+++=--
但0≠β，所以00=k ，于是011=++--r n r n k k ξξ ，因r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，从而线性无关，于是021====-r n k k k 所以*
η，r n -ξξ,,1 线性无关。

（2）设有关系式
0)()(*1*1*0=+++++--r n r n k k k ξηξηη
即0)(11*
10=++++++---r n r n r n k k k k k ξξη ，由（1）可得
0210=====-r n k k k k ，所以r n -++ξηξηη*1**,,, 线性无关.
第四章 练习题
1. 设向量组⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132,121,32,13b a 的秩为2，求b a ,.
解：
()341212212
212
2,,,2330132401324111301110025a a a a a a a b a b a b a a b ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪=------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为向量组的秩为2，所以20,50a b -=-=，即2,5a b ==.
2. 设211ααβ+=，322ααβ+=，433ααβ+=，144ααβ+=，证明向量组
4321,,,ββββ线性相关.
证明：123412233441()()()0ββββαααααααα-+-=+-+++-+= 由定义知，向量组4321,,,ββββ线性相关. 3.已知向量组A ：
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1311,4152,0312,1021,120154321ααααα
求向量组A 的秩及其一个最大无关组 ，并将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.
解：()⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=00000111001301001
001
~54
321
αααααA 所以3)(=A R ,并且321,,ααα是向量组的一个最大无关组；
3
253
2143ααααααα+-=-+=
4.设()T
1,1,11=α，()T
3,2,12=α，()T
t ,3,13=α，
（1）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关；（2）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关，并将3α表示为21,αα的线性组合.
解：⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==50021
0101~31321111),,(321t t A ααα 当05≠-t ,即5≠t 时，3),,(321=αααR ，向量组321,,ααα线性无关.
当,05=-t 即5=t 时，32),,(321<=αααR ，向量组321,,ααα线性相关，并且
2132ααα+-=.
5.设n 阶矩阵A 满足A A =2，E 为n 阶单位矩阵，证明n E A R A R =-+)()(
2()()()()()()()()(),()()A A A A E O R A R A E n R A R E A R A E A R E n R E A R A E R A R E A n
=⇒-=⇒+-≤+-≥+-==-=-+-=证明： 另一方面， 因 所以
6.设⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=82593122A ，求一个24⨯矩阵B ，使得2)(,==B R O AB 且. 2141314
421222138011~952851025210,,,
8011010525
2,,(,)8181010
1A x x x x x x x x b B b b ---⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪
---⎝⎭⎝⎭=+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎨ ⎪ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1解：得分别取得基础解系b 于是，令
7.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，且
,4321,5432321⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηηη求该方程组的通解.
解：记该非齐次方程组为Ax b =，对应齐次方程组为0Ax =.因()3R A =，知此齐次方程组的基础解系由一个非零解构成，也即它的任一非零解都是它的基础解系.
向量12334
2()56ξηηη⎛⎫
⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，且0A ξ=，这样ξ就是它的一个基础解系.根据非齐次方
程组解的结构知，原方程组的通解为13243
5465x k k ξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
8.设矩阵),,,(4321αααα=A ，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=，
4321ααααβ+++=，求方程组β=Ax 的通解.
解：因为432,,ααα线性无关，故()3R A ≥，又3212ααα-=，所以123,,ααα线性相关，所以1234,,,αααα线性相关，所以()3R A ≤，因此()3R A =，从而原方程组的基础解系所含向量的个数为431-=.
12312312
220010a a a x Ax ααα⎛⎫ ⎪- ⎪=-⇔-+=⇔== ⎪ ⎪⎝⎭是方程组的基础解系.
又4321ααααβ+++= ，所以11
11⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
是β=Ax 的解，根据非齐次方程组解的结构知，
原方程组的通解为1121
,1101x c c R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
第五章 相似矩阵和二次型（一）
一、选择
1.设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的特征值，则伴随矩阵*
A 的特征值之一是（
B ）
（A ） 1
n A λ
- （B ） 1A λ- （C ） A λ （D ） n
A λ
2.设B A ,，都是n 阶正交矩阵，则下列矩阵是正交矩阵的为（ C ） （A ） A B + （B ）A B - （C ） AB （D ）2
2
A B +
3.设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1
213A -⎛⎫
⎪⎝⎭
有一个特征值等于（ B ）
（A ） 43 （B ）34 （C ）12 （D ）14
二、填空
1. 设),,(21n A ααα =为n 阶正交阵，则内积[]
=j i αα,1,0,i j
i j =⎧⎨
≠⎩
(),1,2,
,i j n =.
2.设n 阶矩阵A 的元素全为1.则A 的n 个特征值是,0(1)n n -重.
3. 设A 为n 阶矩阵，0A ≠， *
A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值
λ，则()
2
*
A
E +必有特征值2
21A λ-+.
4.设矩阵A 满足2
A A =，则A 的特征值只能是 0或1 .
三、计算与证明
1.试用施密特正交化方法把向量组⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=931421111),,(321ααα正交化.
解：[][]⎪
⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-
=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==10111136321,,,111111212211βββαβαβαβ [][][][]⎪
⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=--
=12131,,,,222321113133βββαββββαβαβ 2. 求矩阵122212221A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的特征值与特征向量.
解：2122212(5)(1)02
2
1A E λ
λλλλλ
--=
-=-+=-
所以的特征值为15λ=，231λλ==- 当15λ=时，解方程()-50A E x =，由
4221015242011224000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=-~- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
得基础解系⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=1111p
所以对应于15λ=的全部特征向量为()10kp k ≠
当231λλ==-时，解方程()0A E x +=，由
222111222000222000A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
+=~ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得基础解系23111,
001p p --⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
所以对应于231λλ==-的全部特征向量为()223323,0k p k p k k +不同时为. 3. 已知3阶方阵A 的特征值为1,2,-3，求*
32A A E ++. 解：由特征值性质得()1236A =⨯⨯-=-，知A 可逆， 故*116A A A A --==-，且*
1
32632B A A E A A E -=++=-++
因为当λ为A 的特征值时，1632λ
λ--++是B 的特征值，分别取1,2,3λ=-知，
-1,5，-5是B 的特征值。

注意到B 为3阶方阵，故()()15525B =-⨯⨯-=.
第五章 相似矩阵和二次型（二）
一、选择
1.设A 、B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则（ D ）
（A ）E A E B λλ-=- （B ）A 与B 有相同的特征值和特征向量 （C ）A 与B 都相似于一个对角矩阵 （D ）对于任意常数t ，tE A -与tE B -相似 2. n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的（ B ）
（A ）充分必要条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件
二、计算与证明
1.求矩阵123213336A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的特征值与特征向量，并问它的特征向量是否两两正交？
解：123213(1)(9)03
3
6A E λ
λλλλλλ
--=
-=-+-=-
所以的特征值为11λ=-，230,9λλ== 当11λ=-时，解方程()0A E x +=，由
223110223001337000A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
+=~ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得基础解系1110p -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
当20λ=时，解方程0Ax =，由
123101213011336000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=~ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得基础解系2111p -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
当39λ=时，解方程()90A E x -=，由
8231109283021333000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=-~- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
得基础解系3112p ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
1110p -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2111p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，3112p ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
两两正交.
2.设A 、B 都是n 阶方阵，且0A ≠，证明AB 与BA 相似. 解：因A 可逆，故(
)
()1
1
BA A A BA A AB A --==
由定义，AB 与BA 相似.
3.求矩阵400031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，求一个正交矩阵P ，使1
P AP -=Λ为对角矩阵.
解：2400031(4)(2)00
1
3A E λ
λλλλλ
--=
-=---=-
所以的特征值为12λ=，234λλ== 当12λ=时，解方程()20A E x -=，由
2001002011011011000A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=~ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得单位特征向量1011p ⎛⎫
⎪
=-⎪⎪⎭
当234λλ==时，解方程()40A E x -=，由
0000114011000011000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=-~ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
得基础解系23100,101p p ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪== ⎪⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎭ 令(
)123010,,00
P p p p ⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎝，则P 为正交矩阵，且有 1244T P AP P AP -⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
.
4.设方阵12422421A x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪
⎪
--⎝⎭
，与54y ⎛⎫
⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭
相似，求,x y .
解：
因A 与Λ相似，故A 的特征值是5,,4y -，由特征值性质
542y x +-=+，得1y x =+
由5
2452442
422429(4)04
2
5
9
9
A E x x x ----+=-+-=-+-=-=---得
4x =，代入1y x =+得5y =.
第五章 相似矩阵和二次型（三）
一、填空
1.二次型222
123122322f x x x x x tx x =++++是正定的，则t
的取值范围是⎡⎣.
二、计算与证明
1.用矩阵符号表示二次型：
22221234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+- .
解：11
21113223101201T f x x --⎛⎫
⎪--
⎪
= ⎪
⎪--⎝⎭
.
2.求一个正交变换化二次型222
123232334f x x x x x =+++成标准型 .
解：二次型f 的矩阵为200032023A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
特征多项式为()2000322(1)(5)00
2
3A E λ
λλλλλλ
--=
-=---=-
所以的特征值为11λ=，232,5λλ== 当11λ=时，解方程()0A E x -=，由
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000110001~220220001E A
得单位特征向量1011p ⎛⎫
⎪
=-⎪⎪⎭
当22λ=时，解方程()20A E x -=，由
0000102012001021000A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=~ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得单位特征向量2100p ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
当35λ=时，解方程()50A E x -=，由
3001005022011022000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=-~- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
得基础解系3011p ⎛⎫
⎪
=⎪⎪⎭ 令(
)123010,,00
P p p p ⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎝，则P 为正交矩阵，再作正交变换x Py =
即11223301000
x y x y x y ⎛⎫ ⎪
⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭
⎝⎭ ⎝ 便把f 化为标准型222
12325f y y y =++. 3.判别二次型222
123121326422f x x x x x x x =---++的正定性 .
解：f 的矩阵211160104A -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，它的1阶主子式20-<
2阶主子式
211101
6
-=>-
2阶主子式2
11
1
603801
4
A -=-=-<- 所以f 为负定二次型.
4.证明对称阵A 为正定的充分必要条件是存在可逆矩阵U ，使T
A U U = .
解：充分性：若存在可逆阵U ，使T
A U U =，任取,0n x R x ∈≠，就有0Ux ≠，
并且A 的二次型在该处的值
[]2
(),0T T T f x x Ax x U Ux Ux Ux
====>
即矩阵A 的二次型是正定的，从而由定义知，A 是正定矩阵。

必要性：因A 是对称阵，所以必存在正交矩阵Q ，使
()12,,
,T n Q AQ diag λλλ=Λ=
其中12,,
,n λλλ是A 的全部特征值。

由A 为正定矩阵，故0,1,2,
,i i n λ>=
记对角阵)
1,
n diag
λ
Λ=，则有
)(
)
2112,,,,n
n diag
diag λλλλΛ==Λ
从而 ()()1111T
T
T
A Q Q Q Q Q Q =Λ=ΛΛ=ΛΛ
记()1T
U Q =Λ，显然U 可逆，并且由上式知T
A U U =.
第五章 练习题
1. 判断下列矩阵是不是正交阵:
(1)⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛
---121
31211
2131211; (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------
97949
4949198
9498
91 解：(1)此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 2. 设x 为n 维列向量,1T
x x = 令2T
H E xx =- , 证明H 是对称的正交阵. 证明： 因为
(
)
()
222T
T
T
T
T
T H E xx
E xx
E xx H
=-=-=-=
所以H 是对称矩阵. 因为
(
)()22T T
T
H H E xx E xx E
=--=
所以H 是正交矩阵.
3.求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----20133521
2的特征值和特征向量. 解： 3)1(20
1
335212||+-=-------=
-λλ
λλ
λE A ,
故A 的特征值为1λ=- (三重). 对于特征值1λ=-, 由。