霍特林模型地思路整合

On Hotelling ’s ‘STABILITY IN COMPETITION ’

by C. d'Aspremont, J. Jaskold Gabszewicz and J.-F. Thisse

一．论文概述

基于霍特林1929年发表的论文的最小差异化理论是无效的，本文作者提出了与霍特林模型相左的观点，以厂商距离一定近时会破坏价格均衡为理由，反驳原模型中寻求最大利润下均衡时两厂商集中靠拢的趋势。通过建立新模型，佐证“最大差异化”这一说法。

二．回顾霍特林模型（这一部分可以只谈假设和结论，推演过程略过） 假设前提：

1、消费者沿着长度为l 个单位的直线均匀分布

2、一厂商在a 点上，另一厂商在1-b 点上

3、两家厂商AB 提供同质产品，与产品差异化的基本空间模型不同假设两家为竞争厂商

生产成本为零。消费者每次只消费一个单位商品。消费者购买价格（效用）=产品价格+运费。

假定纳什均衡下，整个市场需求得以满足。

设位于X 位置的消费者，两种产品对其而言无差异，因此效用相同。即 x )c -b -l )(21（+=-+p c a x p

ac b a l c p p xc 2)()(212+--+-=

a b a l c p p x +--+-=2)(2)(12

X 为厂商A 市场份额

(l-X)为厂商B 市场份额 22)(2)(12a b a l c p p l x l ----+--=- c p p b b a l l 2)(22)2(21

-++---= b c p p b a l +-+--=2)()(2121

)3

(

)3(21b a l c p b a l c p --=*-+=*222)3(2a b l c x p -+=•=π2)(22

)(21

221p a b l c p p b a l c p +-+=+-+=

综上，函数关系反映在图像中可见其是不连续的。即，不是所有情况下，两个厂商都能卖出产品。间断点代表出现无差异人群。

第一段图像反映的是人们买A 产品花的最大金额小于B 的价格，因此，人们会只选择购买A 。

而第三段图像反映的A 产品价格大于人们能买到B 花的最大金额，此时人们只会购买B 。

当两个厂商共同占领市场时，即图中第二部分，

以A 厂商为例，厂商A 利润最大化时，即

02)(21121=-+--+='c p c p b a l a π

得 同理

因此两厂商最大化利润时 )](21)(21[)3b)-(a (1211p p c b a l l c x p -+++•+=•=π2)3(2b a l c -+=

若某一厂商以低价占领整个市场时，设AB 的利润为

以A 为例，如Figure1所示，人们购买A 所花的最大金额应该不大于B 的价格

)3()3

(21b a l c p b a l c p --=*-+=*即21)(p b a l c p ≤--+'，当等号成立时利润最大。即

如果，则厂商会在的基础上降价至，追求更大利润，因此不会达成均衡。则

的条件必须有 即)32(34)3()3

2(2)3(222b a l b a l b a cl a b l c +≥-++≥-+ 同理

)32(34)3(2a b l a b l +≥-+

三．对霍特林模型的反驳

假设（P1*，P2*）是位于均衡点的价格

考虑两种情况：

1. ∣P1*-P2*∣＞c(l-a-b) 价格差远远大于运费

那么，其中收取较高价格的商家获得的利润为零（所有人都去买价格低的那家了）

那它就会调整价格，使价格和价格较低的那个商家所收取的运输费用相等，很明显，这是不均衡的，与我们最初（P1*，P2*）是位于均衡点价格的假设矛盾了。

2. ∣P1*-P2*∣=c(l-a-b) 价格差等于运费

以P1*-P2*=c(l-a-b)为例。

如果P1*=0，那么A 的利润为零，那么，他将提高价格，这个价格小于P2*+c(l-a-b)（也就是顾客买B 家东西支付的全部价格）。

如果P1*＞0，A 仅得到一部分市场， q1小于l ，此时A 稍微降低价格就可以得到全部市场，创造更大利润。

只要0＜ε＜(l-q1)p1*（ε为A 的降价）, 就有，π（P1*-ε，p2*）=l(P1*-ε)＞q1p1*=π(p1*,p2*)

两种情况下，我们都得到与均衡假设相反的结论。因此，一切均衡的（P1*，P2*），必须满足条件∣P1*-P2*∣＜c(l-a-b)

在这个条件下，所有均衡的（P1*，P2*）都必须使得π1、π2最大化。 )32(2)3()]

([211b a cl b a l a b l c l b a l c p l l p R +=++--+•=---•=•'=

通过一阶导得到

均衡情况下的π1、π2一定大于A或B单独占领市场时的利润（l[p*-c(l-a-b)- ε]）,

我们可以得出

如果我们考虑AB以中心对称分布(a=b),那么

为a=b<=l/4.

也就是说，两个商家为了得到古诺均衡的价格，都要设置在四分点外。

如果上式能被严格证明，如霍特林所说的，π1、π2分别对a、b求一阶导都是正的(1/2P1,1/2P2)，那么商家位置的设置都会有向中间靠拢的趋势。

但是我们先前的命题得出的主要结论是如果将古诺均衡点作为市场决策，在上式被打破时，即∣P1*-P2*∣＞=c(l-a-b)下，均衡是不存在的。

四．修正的霍特林模型——将运输成本改为距离二次函数形式cx²

1.模型及假设：

前三个假设同之前的假设。除两厂商的位置不同外，他们的产品同质，两家厂商提供单位成本均为0，价格分别为P₁、P₂。为了纠正之前得出的霍特林悖论，论文在原有Hotelling Model基础上进行修正，将运输成本改为距离二次函数形式cx²。且消费者为每个单位长度支付的运输费用为c。

2.两厂商定价阶段：